宁夏回族自治区银川一中2027届高三年级一轮复习检测卷（五）数学试卷

**基本信息** 以基础概念与综合应用为双轴，覆盖函数、几何、概率等核心模块，通过多考点融合题型培养数学思维与表达能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-4题|概念辨析与简单应用|集合运算→向量共线→函数奇偶性→统计量计算，层层递进| |空间几何|10、15题|动态探究与翻折问题|正方体动点轨迹→面面垂直证明→二面角计算，空间想象与推理结合| |代数综合|6、7、12、13、19题|数列应用、函数单调性、新定义、导数证明|等差模型→不等式恒成立→新定义迁移→导数综合，体现代数推理链| |概率统计|8、17题|独立事件与分布列|独立重复试验→期望计算，概率思维与数据分析结合| |解析几何|5、11、14、18题|圆锥曲线与直线综合|抛物线焦点→直线与圆位置关系→双曲线方程→椭圆面积最值，几何性质与代数运算融合|

2027届高三年级一轮复习检测卷（五） 数 学 试 卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，不共线，且，则（     ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 4．一组数据从小到大排列为：，，，，，．若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第80百分位数是（  ） A．4 B．12 C．13 D．14 5．已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 6．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止……，根据这些信息第三个孩子分得（    ）斤棉花？ A．99 B．116 C．133 D．150 7．设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知在5次独立重复试验中，每次试验成功的概率为，设事件表示第一次试验成功，事件表示5次试验中成功3次，若事件与事件相互独立，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9．设，则（     ） A． B． C． D． 10．如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段和线段上的动点，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若为中点时，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度为 11．已知直线与单位圆（为坐标原点）交于两点，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为2 B．当直线过点时，的最小值为 C．当时，中点的轨迹方程为 D．当原点到直线的距离为时，的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．定义数列的“局部弯曲量”为．已知，则____． 13．已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________． 14．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．(本小题13分) 如图，在四边形中，，，，.将沿翻折至（为点的对应点），使得平面与平面垂直. (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 16．(本小题15分) 在中，内角,,的对边分别为,,,的面积为S，且． (1)求的大小； (2)已知点在边上，，且．证明：． 17．(本小题15分) 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球.约定甲先投，先中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响. (1)求甲获胜的概率； (2)求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望 (3)主办方调整甲的投篮装备，优化后甲单次命中概率提升，乙投篮条件与命中率保持不变.设装备调整前甲获胜概率为，装备优化后甲获胜概率为，请直接写出两者的大小关系.（结论不要求证明） 18．(本小题17分) 已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为. （i）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ii）求的面积的最大值及此时直线的方程. 19．(本小题17分) 已知函数，． (1)判断函数的单调性． (2)若方程有两个根． (i)求实数的取值范围； (ii)证明：． 试卷第2页，共4页 高三一轮复习数学试卷 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2027届高三年级一轮复习检测卷（五） 数学试卷答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A C D D A B C ACD AC ACD 1．A 【解析】集合，，则 2．A 【解析】由题意可知平面向量不共线，且，则. 3．C 【解析】函数的定义域为.因为函数为奇函数，所以，即，得.当时，，，. 所以函数为奇函数.所以. 4．D 【解析】由题意可得，且中位数为，极差为， 所以，解得，所以此组数据为，，，，，．共6个数，又因为，所以此组数据的第80百分位数是第5个数，为14. 5．D 【解析】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 6．A 【解析】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列， 设该等差数列为，公差为d，前n项和为，第一个孩子所得棉花斤数为， 则由题意得：，解得：， 所以． 7．B 【解析】因为函数和均是增函数， 所以是上的增函数，只需要满足，即，解得. 由得 ，即 恒成立. 因为，即.所以实数的取值范围是. 8．C 【解析】，，， 由事件与事件相互独立，可得， 即，化简可得. 9．ACD 【解析】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ，∴，该选项正确. 对于D选项，∵分子，分母， ∴，是实数，故，该选项正确. 10．AC 【解析】 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，， 则，， 因，所以，故A正确； ， 当且仅当，即时成立，故B错误； 若为中点时，则,，， ，， ，，， ，故C正确； 设三棱锥的外接球球心为，因为平面，则， 因为为直角三角形，球心在与平行的中垂线上， 所以，，则球心为，球心的轨迹为一条线段， 当时，球心为，当时，球心为， 轨迹长度为，故D错误. 11．ACD 【解析】对于A，由题设，圆，圆心为原点，半径为1， 所以，当直线过原点时所得最大，为2，故A正确， 对于B，显然点在圆内，若直线过该点， 则该点与点所在直线与直线垂直时，最小，为，故B错误， 对于C，由，则其中点与圆心的距离， 所以中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则方程为，故C正确， 对于D，若原点到直线的距离为，即中点在圆上，且， 设，则，与垂直的一个单位向量为， 而，则，又， 所以，而关于对称，则 ， 所以，，则 且， 所以时，最大值为，故D正确. 12．36 【解析】由，及，得． 计算：，，．所以． 13． 【解析】设函数的最小正周期为，由题意可知，因为函数在上单调递增，则，即，可得，解得，且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且，则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 14． 【解析】因为双曲线的一条渐近线与平行，所以， 又因为双曲线的焦点为，且双曲线的一个焦点在直线上， 而直线与x轴的交点为，所以， 所以，所以， 所以双曲线的方程为：. 15．【解析】（1）取线段的中点，连接， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； （2）作，垂足为，连接， 因为，所以全等， 所以，， 则或其补角为平面与平面所成角， 设，则， 因为平面平面平面，平面平面， ，所以平面， 因为平面，所以，则， 所以等腰底边上的高为， 则，得， 在中， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 16．【解析】（1）因为，又，所以， 即．     由余弦定理得：，即．     所以，    所以，又，所以． （2） 在中，由正弦定理得， 则，     在△ABC中，由正弦定理得，则，     因为， 所以，     在中，由正弦定理得，即，     所以 ， 所以，即． 17．【解析】（1）甲获胜包含三类互斥的情形： ①甲第一次投篮命中直接获胜，由独立事件概率公式得； ②甲、乙第一次投篮均未命中，甲第二次投篮命中获胜， 概率； ③甲、乙在前两次投篮中均未命中，甲第三次投篮命中获胜， 概率； 由互斥事件概率加法公式，甲获胜的总概率为； （2）投篮结束时甲的投篮次数的所有可能取值为、、， ①对应“甲第一次投篮命中获胜”或“甲第一次未命中、乙第一次投篮命中获胜”， 两个事件互斥，故； ② 对应“甲、乙第一次均未命中，第二轮投篮结束”， 故； ③对应“甲、乙在前两次投篮中均未命中”，无论第三次投篮结果如何均结束投篮， 故， 因此的分布列为： 1 2 3 由离散型随机变量期望公式得； （3），理由如下： 由（1）可得：，设优化后甲单次命中概率为，则， ， 则， 由，，则，故，即. 甲单次投篮命中率提升，其他规则与乙命中率不变，因此甲获胜概率增大，即. 18． 【解析】（1）由题意知，，所以，所以椭圆的标准方程为. （2）（i）当斜率不为时，设直线的方程为， ，， 联立得，， ， 点到的距离，所以， ， 根据韦达定理代入得， ， 当斜率为时，不妨设横坐标大于0，则此时、两点坐标为，或，， 所以，综上，为定值. （ii）当斜率为时，， 当斜率不为时，， 所以， 因此， 则， 当且仅当，即时取等，所以的最大值为， 当时，，当时，， 所以直线的方程为或或或. 19．【解析】（1）因为，，所以． 由，得；由，得 所以函数在上单调递减，在上单调递增． （2）①方程，即，，则． 设，，则方程有两个根， 即函数的图象与直线有两个不同的交点． 因为，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，也是最小值． 因为，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围是． ②证明：由①可知，， 则证不等式，即证， 转化为证． 令，，则． 令，则． 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以．由①知，． 令，，则． 令，则． 因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，．所以单调递增，所以．所以当时，． 由①及题意可知，，所以． 因为且在上单调递减，所以， 所以，所以． 所以，所以． 答案第1页，共2页 高三一轮复习数学试卷答案 第4页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $