第十七章 不等式与不等式组（必备知识+10题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材人教版五四制七年级下册

该初中数学复习讲义通过知识框架图系统梳理了不等式与不等式组的知识体系，从不等式的概念、基本性质到一元一次不等式（组）的定义、解法及应用，按“概念-性质-解法-应用”的逻辑递进呈现，并用对比表格区分不等式与等式性质的异同，清晰展现知识内在联系与重难点。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，涵盖性质应用、错解分析、参数求解等十大题型，如“错解复原问题”引导学生辨析解题步骤培养推理意识，“实际问题”通过购物、销售等情境建立不等式模型发展模型意识。基础巩固与能力提升练习适配不同学生，教师可据此实施精准教学，助力学生系统掌握知识与解题方法。

第十七章 不等式与不等式组（复习讲义） 1. 了解不等式、一元一次不等式及不等式组的意义，体会不等式性质与等式性质的异同，理解解集与函数图象之间的整体联系。 2. 能用不等式的三条基本性质对不等式进行变形，能准确求出一元一次不等式及不等式组的解集，并用数轴表示解集。 3. 理解并利用解一元一次不等式的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并、系数化为1）解决不等式的求解问题。 4. 掌握列不等式解决实际问题的基本步骤，能根据实际问题中的不等关系建立不等式模型并求解。 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3.一元一次不等式（组）的整数解 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到 下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． ②已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点06 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解． 【题型一 不等式的基本性质】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，解答关键是熟知不等式的基本性质：不等式基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变；不等式基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变． 根据不等式的性质，逐一判断各选项是否成立即可． 【详解】解：∵， ∴对于A：给 两边加，得，故A错误，不符合题意； 对于B：给两边加a，得，即，故B正确，不符合题意； 对于C：给两边乘，得，故C错误，不符合题意； 对于D：给两边除以2，得，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的基本性质，正确理解不等式的性质是解题的关键．依据不等式的性质对各选项逐一分析判断． 【详解】解：∵ 对于选项A，当时，，不满足，故A错误； 对于选项B， （根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变），故B正确； 对于选项C， （根据不等式的性质2，不等式两边同时乘以，不等号方向改变）， ，故C错误； 对于选项D，取，，此时，但，，，不满足，故D错误； 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三条基本性质，注意在乘除负数时不等号方向改变，同时要考虑除数不能为0的情况． 【详解】（1）解：对于选项A：，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴，故A错误； 对于选项B：，不等式两边同减，不等号方向不变， ∴，故B错误； 对于选项C：当时，，不等式两边同除以负数，不等号方向改变，得； 当时，，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得； 当时，式子无意义，故C不一定成立； 对于选项D：，不等式两边同除以3，不等号方向不变，得； 再两边同加，不等号方向不变，得，故D正确． 故选：D． 【变式1-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵，则， ∴，，，故A，B，C，选项一定成立， 若，则， ，即， 故D选项不成立，符合题意， 故选：D． 【题型二 一元一次不等式（组）的定义】 【例2】（24-25七年级下·山东烟台·期末）下列式子是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式进行判断即可． 【详解】解：选项A：，含有一个未知数x，次数为1，且为不等式，符合定义，故该选项符合题意， 选项B：，是等式而非不等式，故该选项不符合题意， 选项C：，含有两个未知数x和y，不符合“一元”条件，故该选项不符合题意， 选项D：，未知数x的次数为2，不符合“一次”条件，故该选项不符合题意， 故选：A． 【变式2-1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）下列不等式中属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是的不等式是一元一次不等式，对各选项逐一分析即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解： 不等式含有两个未知数，且次数为，不是一元一次不等式，该选项不合题意；   不等式是一元一次不等式，该选项符合题意；   不等式含有两个未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意；    不等式含有一个未知数，但次数为，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 故选：． 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式组的定义，需由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成，逐一判断各选项． 【详解】解：A、包含等式，不是全由不等式组成，不符合题意； B、包含不等式，其中未知数的次数为，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有和两个未知数，不是一元，不符合题意； D、两个不等式都只含一个未知数，且未知数的次数为，都是一元一次不等式，符合题意． 故选：D． 【变式2-3】（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据一元一次不等式组的定义，即由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，对每个不等式组逐一判断即可． 【详解】解：只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ②只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ③含有两个未知数x和y，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ④只含未知数x，每个不等式都是一元一次不等式， ∴它是一元一次不等式组， ⑤未知数x的最高次数为2和3，不是1次，不符合定义， ∴它不是一元一次不等式组， ∴符合条件的有①②④，共3个， 故选：B． 【题型三 解一元一次不等式（组）】 【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组）： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组,熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的基本步骤是解题的关键． （1）根据解不等式的基本步骤解答即可． （2）根据不等式组的解法步骤解答即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得 ， 移项，得 合并同类项，得 ． （2）解：∵ 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【变式3-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解一元一次不等式组，并写出满足该不等式组的x的整数值． 【答案】不等式组的解集为，满足该不等式组的x的整数值为，0 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解，根据解一元一次不等式组的步骤，求出不等式组的解集，并据此得出满足该不等式组的x的整数值即可． 【详解】解： 由①得． 由②得． ． ∴不等式组的解集为 ∴满足该不等式组的x的整数值为，0 【变式3-2】（25-26八年级上·河北张家口·期末）（1）解不等式，并在下图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在下图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集并写出最小整数解． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）； 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）根据移项、合并同类项、系数化为1等步骤，求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为，最小整数解为． 【变式3-3】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2)，并写出该不等式组的整数解． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析，整数解为 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键： （1）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集，进而确定不等式组的整数解即可． 【详解】（1）解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为； 在数轴上表示解集如图： （2）， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为； 在数轴上表示不等式的解集如图： 不等式组的整数解为：． 【题型四 求一元一次不等式（组）的整数解】 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的正整数解为 ． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 通过解不等式得到 x < 5, 再找出满足条件的正整数． 【详解】解：解不等式 ， 两边同时减去得 两边同时除以（负数）, 不等号方向改变, 得 , ∴正整数解为 ． 故答案为：． 【变式4-1】（25-26七年级下·全国·周测）不等式的非负整数解为 ． 【答案】0，1 【分析】先求解不等式，得到的取值范围，再找出非负整数解． 【详解】解： ， 两边同乘得 ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 即 ． 非负整数解为和． 故答案为． 【变式4-2】（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 先求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解再作和． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 所以不等式组的整数解是，，0，1，2， ， 故答案为：． 【变式4-3】（25-26七年级下·全国·单元测试）不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】7 【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，再找出解集中的所有整数解，最后计算这些整数解的和． 【详解】解：首先解不等式组： 解不等式①： ． 解不等式②： ． 故：． 满足的整数为，． ∴整数解的和． 故答案为：． 【题型五 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】 【例5】（25-26八年级下·宁夏银川·月考）计算：（1）下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 (1)任务一：填空：①第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． (2)任务二：解不等式组：． 【答案】（1）第五步，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变 （2） 【分析】（1）第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； （2）解各不等式求得x的取值范围后取它们的公共部分即可． 【详解】（1）解：第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以，不等号的方向没有改变． （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故原不等式组的解集为． 【变式5-1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）下面是小明解不等式组的部分过程： 解：解不等式①去分母，得，…………第1步 移项、合并同类项，得，………………第2步 两边都除以，得．………………第3步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题． (1)小明的解题过程从哪一步开始出现错误？_____； (2)错误的原因是_____； (3)请写出该不等式组的正确解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)第1步 (2)去分母时，左边的漏乘 (3)解答过程见解析，数轴表示见解析 【分析】（1）去分母时，不等式的两边同乘以2可得，由此即可得； （2）错误的原因是去分母时，左边的漏乘； （3）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解：解不等式①去分母，得， 所以小明的解题过程从第1步开始出现错误． （2）解：错误的原因是去分母时，左边的漏乘． （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 把解集在数轴上表示出来如下： 【变式5-2】（2026·宁夏固原·一模）下面是小亮同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①得，，第一步 解得，第二步 由不等式②得，，第三步 去括号，移项，合并同类项得，，第四步 解得，第五步 所以不等式组的解集为：．第六步 任务一： (1)小亮的解答过程中，第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)第三步的依据是______． 任务二： (3)这个不等式组的正确解集是______． 【答案】(1)五，化系数为1时不等号方向未改变 (2)不等式的基本性质2 (3) 【分析】（1）根据解不等式组的方法及一般步骤即可判断上述解题过程． （2）根据解不等式组的方法及一般步骤即可求解． （3）分别解出不等式①和②的解集，再利用找不等式组的解集的规律即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 小亮的解答过程中，第五步开始出现错误，则错误的原因是：化系数为1时不等号方向未改变． （2）解：第三步的依据是不等式的性质2． （3）解：由不等式①得，， 解得， 由不等式②得，， 去括号，移项，合并同类项得，， 解得， 所以不等式组的解集为：． 【变式5-3】（25-26八年级下·河南·月考）下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助东东完成相应任务． 解不等式． 解：，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 …．第五步 (1)①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的； ②该题第________步出现错误，错误的原因是________； (2)请你根据平时的学习经验，就不等式的求解过程给其他同学提一条建议．________． (3)张老师将以上不等式与不等式组成不等式组，请你帮助东东同学完善下列解不等式组的过程． 解不等式①，得________； 解不等式②，得________； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来； ∴原不等式组的解集为________． 【答案】(1)①不等式的基本性质2；②五，不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号 (2)解一元一次不等式时需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 (3)；；见解析； 【详解】（1）解：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质2进行变形的； ②该题第五步出现错误，错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号； （2）解：解一元一次不等式时需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变； （3）解不等式①，得； 解不等式②，得； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来： ∴原不等式组的解集为． 【题型六 根据一元一次不等式的解集求参数】 【例6】（2026七年级下·全国·专题练习）已知为非零实数，若的解集为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，一元一次不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 由不等式解集的形式判断的符号，再根据解集端点建立方程求解． 【详解】解：∵的解集为， ． 当时，解不等式，得． 又该不等式的解集为， ， 解得． 检验：符合题意， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级下·全国·周测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】先根据已知不等式的解集​，判断出的符号，并得到与的数量关系，再将该关系代入待求不等式，化简后求解． 【详解】解：关于的不等式的解集是， ∴，． ∴． 将代入不等式得： ． ∵，两边同时除以（负数），不等号方向改变： ． 约去后得到：． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解集的包含关系，掌握解两个不等式，通过解集的包含关系建立新不等式求参数是解题的关键． 先解不等式 得到解集 ，再解不等式 得到解集 ，根据题意，第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，因此 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 去分母得 ， 化简得 ， 解得 ； 解不等式 ， 移项得 ， 解得 因为不等式 的解都能使不等式 成立， 所以 ， 解得 故答案为 ． 【变式6-3】（25-26八年级下·全国·周测）关于的一元一次不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和根据解集求参数的方法，掌握系数化为 1 时，若系数为负数，不等号方向要改变的性质是解题的关键． 通过解不等式求出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：解不等式 ， 两边同乘以得 ， 移项得 ， 两边同除以得 ． 由解集为 ，得 ， 解得 ． 代入 得 ． 故答案为：． 【题型七 利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围】 【例7】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键，解不等式，得到，再由不等式只有3个正整数解，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式只有3个正整数解， ∴， 故答案为：． 【变式7-2】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的解法．解题中要注意分析不等式组的解集的确定． 首先解不等式，根据解的情况确定的取值范围．特别是要注意不等号中等号的取舍． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， 此不等式组有3个整数解， 这3个整数解为3，4，5， 的取值范围是， 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 【题型八 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 【例8】（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 【变式8-1】（25-26八年级上·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交集，即，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式8-2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 由于不等式组有解， 则． 故答案为：． 【变式8-3】（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数的取值范围，先分别解不等式组中的两个不等式，再根据解集为确定的取值范围即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵数使关于的不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 【题型九 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】 【例9】（25-26七年级下·全国·周测）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式． 先解方程求的值，然后根据解是正数，求出的取值范围即可． 【详解】解：解原方程得． ∵原方程的解是正数，即， ， 解得． 故答案为：． 【变式9-1】（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程组两方程相加得到 ，即，代入条件 得 ，解得 ，非正整数包括负整数和零，满足条件的非正整数为 ，求和即可 【详解】解：∵ 方程组 ， ① + ② 得：   ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ 则m的非正整数为， ∴  ． 故答案为：． 【变式9-2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先将方程组中的两个方程相加可得，则，再根据可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 由①②得：，即， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是 ； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及二元一次方程组的解，熟知解一元一次不等式组的步骤及解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）先求出不等式组中两个不等式的解集，再结合不等式组的解集即可得出m的取值范围． （2）先用m表示出方程组的解，再结合（1）中的取值范围即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 解不等式得，； 解不等式，得，． ∵不等式组的解集为， ∴． 故答案为：． （2）解方程组得，． ∵此方程组的解为整数，且整数m为整数， ∴或或， 解得或或5或1或4或2． 又∵， ∴符合条件的所有整数m的和是：． 故答案为：6． 【题型十 用不等式与不等式组解决实际问题】 【例10】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）年月，浙江城市篮球赛浙在全省范围内举行，各地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种玩偶的单价是元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的． (1)求乙种玩偶的单价． (2)某游客计划用不超过元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多个，求该游客最多可以购买多少个甲种玩偶． 【答案】(1)元 (2)个 【分析】本题主要考查了分数乘法的应用、一元一次不等式的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式并求解是解题的关键。 （1）根据乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的，直接用甲种玩偶的单价乘以即可求出乙种玩偶的单价。 （2）设购买甲种玩偶的数量为未知数，根据乙种玩偶数量比甲种多个表示出乙种玩偶的数量，再根据总费用不超过元列出不等式，解不等式后取符合条件的最大整数解。 【详解】（1）解：元． 答：乙种玩偶的单价为每个元． （2）解：设该游客购买了个甲种玩偶． 由题意得， 解得 因为为整数，所以该游客最多购买个甲种玩偶． 【变式10-1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【答案】(1)销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元 (2)销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， （1）设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元，根据“销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数），根据“销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论； 解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【详解】（1）解：设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元， 依题意，得：， 解得：， 答：销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元； （2）解：设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数）， 依题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴（个）， 答：销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个． 【变式10-2】（2026·河南周口·二模）2026年4月23日是第31个“世界读书日”．为进一步营造浓厚的读书氛围，王老师要为班级补充一些名著，现获取信息如下： (1)求每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价． (2)现按照优惠方案购买《西游记》． ①当购买数量不超过10本时，请直接写出王老师应选择哪种优惠方案； ②当购买数量超过10本时，王老师应如何选择优惠方案？ 【答案】(1)每本《朝花夕拾》的原价为15元，每本《西游记》的原价为20元 (2)①选择方案二优惠；②当购买数量为20本时，两种方式的费用一样；当时，选择方案二；当时，选择方案一 【分析】（1）设每本《朝花夕拾》的原价为x元，每本《西游记》的原价为y元，根据小明与小亮的对话内容列出方程组，求解即可； （2）设购买《西游记》m本，①当购买数量不超过10本时，列出两种方案的付费金额，比较即可解答； ②当购买数量超过10本时，列出两种方案的付费金额，分类讨论即可． 【详解】（1）解：设每本《朝花夕拾》的原价为x元，每本《西游记》的原价为y元， 根据题意，得， 解得． 答：每本《朝花夕拾》的原价为15元，每本《西游记》的原价为20元． （2）解：设购买《西游记》m本，则， ①当购买数量不超过10本时， 方案一：付费元， 方案二：付费元， 而， ∴选择方案二优惠； ②当购买数量超过10本时， 方案一：付费：元， 方案二：付费：元， 当，解得， 当，解得， 当，解得， ∴当购买数量为20本时，两种方式的费用一样；当时，选择方案二； 当时，选择方案一． 【变式10-3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台，根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于万元，其中空调、彩电的进价和售价如右表所示： 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． 项目 空调 彩电 进价（元/台） 售价（元/台） (1)试写出与之间的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可以选择？ (3)根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)有三种购买方案：方案1：购买空调台，彩电台，方案2：购买空调台，彩电台，方案3：购买空调台，彩电台 (3)购买空调台，彩电台时，利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用． (1)根据空调和彩电的利润列出与之间的函数关系式； (2)根据总利润不低于万元，进货资金不超过万元，列不等式组，解不等式组可得，又因为为整数，可得进货方案； (3)根据一次函数的性质可得最大利润． 【详解】（1）解：购进空调台，则购进彩电台， 销售空调的利润是元，销售彩电的利润是元， ， 与之间的函数关系式是； （2）解：由题意得：， 解得：， 为整数， 或或， 有三种购买方案， 方案1：购买空调台，彩电台， 方案2：购买空调台，彩电台， 方案3：购买空调台，彩电台； （3）解：一次函数，中， 该函数随的增大而增大， 当时，取得最大值，此时， 时，利润最大，最大利润为元． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是() A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义；一元一次不等式是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵A项中含有两个未知数k和b，∴不是一元一次不等式． ∵B项中只含有一个未知数t，且t的次数为1，且为不等式，∴是一元一次不等式． ∵C项是方程，不是不等式，∴不符合． ∵D项中没有未知数，∴不是一元一次不等式． ∴属于一元一次不等式的是B项． 故选：B． 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 直接代入具体数据判断A，根据不等式的性质判断B、C、D即可． 【详解】解：A选项：取，，满足，但，，， 故不恒成立，A错误； B选项：∵，根据不等式性质2，不等式两边同乘正数4，不等号方向不变， ∴，故B错误； C选项：∵，根据不等式性质3，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴，再根据不等式性质1，不等式两边同加4，不等号方向不变， ∴，故C错误； D选项：∵，根据不等式性质3，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴，故D正确； 故选：D． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若点在第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中第二象限点的坐标特征，一元一次不等式组，掌握知识点是解题的关键． 根据第二象限点横坐标为负、纵坐标为正的特征列出不等式组，求解即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵点在第二象限 ∴ 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， ∴m的取值范围是． 故选B． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值可以是（   ） A．6 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，关键是掌握解不等式组的方法．先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有且只有2个整数解，求出的取值范围即可求解． 【详解】解：， 两边乘2得，， 解得，； ， 移项得，， 解得，， 不等式组的解集为． 恰有2个整数解， 整数解为2和3， ， 即， 对比选项，只有3.5满足． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）写出一个整数的值，使大于，则这个整数的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解不等式，通过解不等式得到，从而确定整数为负整数． 【详解】解：由题意得：， 移项得：， 即， 两边同时除以，不等号方向改变得：， 所以， 因此整数可以是任何负整数，如． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江台州·月考）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式，解题的关键是解一元一次不等式． 先解方程求x的值，然后根据解是正数，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 关于x的方程的解是正数， ， 解得：． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 首先解不等式组中的第一个不等式，然后根据不等式组无解，可以得到答案． 【详解】解：解不等式 ，得； ∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 三、解答题 9．（25-26八年级上·浙江台州·期末）解下列一元一次不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组． （1）直接移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）分别求出两不等式的解集，进而可求不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：解得； 解得； ∴不等式组解集是． 10．（25-26七年级下·山西临汾·期中）综合与实践 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售的全过程．同学们了解到，该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤，每盒售价25元 每盒5斤，每盒售价30元 (1)在活动中，学生共卖出了1100斤草莓，销售总收入为8000元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ (2)现在需要对90斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这90斤草莓整盒分装完，设分装成m盒精包装，则分装________盒简包装．（用含m的代数式表示） (3)在（2）的条件下，每个精包装盒的成本为2元，每个简包装盒的成本为1元，若购买包装盒的成本不能超过26元，请你设计出符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】(1)精包装销售了200盒，则简包装销售了100盒 (2) (3)精包装分装5盒，简包装分装15盒，理由见解析 【分析】（1）设精包装销售了x盒，则简包装销售了y盒，根据共卖出了1100斤草莓，销售总收入为8000元，列出二元一次方程组求解即可； （2）根据对90斤草莓进行分装，列代数式即可； （3）根据每个精包装盒的成本为2元，每个简包装盒的成本为1元，包装盒的成本不能超过26元，列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设精包装销售了x盒，则简包装销售了y盒， 根据题意得， 解得， 答：精包装销售了200盒，则简包装销售了100盒． （2）解：依题意得，简包装的盒数为； （3）解：根据题意得， 解得， ∵m和均为正整数， ∴，， 答：精包装分装5盒，简包装分装15盒． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列四个判断：其中正确的有（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，逐一判断每个命题的正确性，注意乘除运算中正负号对不等式方向的影响. 本题考查不等式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ① ∵，且 ，但不等式成立时 （否则 ，矛盾）， ∴ ， 两边同除以 得 ，正确. ② ∵ 若 ，则 ，有 ，此时 不成立，错误. ③ ∵，两边加 2 得 ，正确. ④ ∵，两边乘 （负数），不等式方向改变，得 ，正确. 综上，正确命题有 3 个. 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数，掌握不等式组的解法是解题关键． 先解不等式组得到解集为，由整数解只有4个，可知整数解为，，，，从而确定的范围． 【详解】解不等式组得，， ∵关于x的不等式的整数解只有4个， ∴整数解为，，，， ∴的取值范围是， 故选：B． 3．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图、代数式求值、不等式等知识点，理解流程图是解题的关键． 先把代入可得，由；再把代入可得；由，重复计算，直到，方可输出． 【详解】解：把代入可得，由； ∴把代入可得，由； 把代入可得，由； 把代入可得，由，输出． 故选C． 二、填空题 4．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的相关知识，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键． 先解每个不等式，再根据不等式组无解的条件，即两个解集的交集为空集，确定a的取值范围即可． 【详解】解：， ： 解得， ： 解得， ∵不等式组无解， ∴ 解得， 故答案为：． 5．（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．将方程组两方程相加得到 ，即，代入条件 得 ，解得 ，非正整数包括负整数和零，满足条件的非正整数为 ，求和即可 【详解】解：∵ 方程组 ， ① + ② 得：   ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ 则m的非正整数为， ∴  ． 故答案为：． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及新定义的应用，掌握解一元一次不等式组的步骤，以及根据新定义转化条件的方法是解题的关键． 先分别解不等式组C和D，确定不等式组C有解的条件；再计算C的解集中点值，根据中点包含的定义，让该中点值满足不等式组D的解集，最后结合所有条件推导m的取值范围． 【详解】解：解不等式组C：，得； 解不等式组D：，得． 不等式组C有解需满足， 解得； 不等式组D有解需满足， 解得， 但已涵盖． C的解集中点值为． 由中点包含，需满足D的解集，即． 解得； 解得． 结合， 故． 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上． (1)． (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1，再在数轴上表示出来即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： 两边同乘3，得 展开，得 移项，得 合并，得 两边同除以，不等号方向改变，得 将其解集表示在数轴上，如图， （2）解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ， 将其解集表示在数轴上，如图， 8．（2026·山东威海·模拟预测）以下是小贤解不等式组的解答过程． 解：由①得，第一步 所以，第二步 由②得，第三步 所以，第四步 故原不等式组的解集是．第五步 小贤的解答过程从哪一步开始出现错误?请判断，并写出正确的解答过程． 【答案】从第四步开始出现错误，见解析 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，准确的计算是解决本题的关键． 先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：小贤的解答过程从第四步开始出现错误． 正确的解答如下： 由①得 解得， 由②得 解得， 故原不等式组的解集为． 9．（25-26七年级下·海南海口·期中）风靡世界的“拉布布”玩偶凭借独特设计，展现了中国文化魅力与创新实力，这类中国原创潮玩走出国门，体现了我国软实力的提升，受到各国年轻人的喜爱，已知某网店销售甲、乙两款玩偶，甲款玩偶的售价比乙款玩偶售价的2倍少30元，购买2个甲款玩偶和3个乙款玩偶共需255元（免运费）．请解答下列问题：    (1)该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？ (2)根据市场需求，该网店计划用不超过8900元购进甲、乙两款玩偶共200个，且甲款数量超过87个．已知甲款玩偶每个进价50元，乙款玩偶每个进价40元，该网店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，网店推出促销活动：一次性购买同一款玩偶超过10个，赠送1个同款玩偶．若本次购进的玩偶全部售出，共赠送4个，总获利1250元，直接写出甲、乙两款玩偶各赠送几个． 【答案】(1)该网店甲种玩偶每个售价60元，乙种玩偶每个售价45元 (2)该网店有3种进货方案：方案一、购进甲种玩偶88个，乙种玩偶112个；方案二、购进甲种玩偶89个，乙种玩偶111个；方案三、购进甲种玩偶90个，乙种玩偶110个 (3)甲玩偶赠送1个，乙玩偶赠送3个 【分析】（1）设甲种玩偶每个售价元，乙种玩偶每个售价元，根据甲款玩偶的售价比乙款玩偶售价的2倍少30元，购买2个甲款玩偶和3个乙款玩偶共需255元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种玩偶个，则购进乙种玩偶个，根据两种玩偶的费用不超过8900元列出不等式，解不等式得出，再根据甲款数量超过87个，得出m的取值范围，然后根据m为正整数，即可得出答案； （3）分三种情况：购进甲种玩偶88个，乙种玩偶112个时；购进甲种玩偶89个，乙种玩偶111个时；购进甲种玩偶90个，乙种玩偶110个时；分别列出方程求出结果，即可得出答案． 【详解】（1）解：设甲种玩偶每个售价元，乙种玩偶每个售价元， 根据题意，得， 解得， 答：该网店甲种玩偶每个售价60元，乙种玩偶每个售价45元； （2）解：设购进甲种玩偶个，则购进乙种玩偶个， 根据题意可得， 解得， ， 为整数， 、89、90，，111，． 该网店有3种进货方案： 方案一、购进甲种玩偶88个，乙种玩偶112个； 方案二、购进甲种玩偶89个，乙种玩偶111个； 方案三、购进甲种玩偶90个，乙种玩偶110个； （3）解：分三种情况： ①购进甲种玩偶88个，乙种玩偶112个时； 设该网店甲玩偶赠送了个，则乙玩偶赠送了个，根据题意得， ， 解得（舍弃）； ②购进甲种玩偶89个，乙种玩偶111个时； 设该网店甲玩偶赠送了个，则乙玩偶赠送了个，根据题意得， ， 解得：， ， 故甲玩偶赠送1个，乙玩偶赠送3个； ③购进甲种玩偶90个，乙种玩偶110个时； 设该网店甲玩偶赠送了个，则乙玩偶赠送了个，根据题意得， ， 解得，（舍去）， 综上所述，甲玩偶赠送1个，乙玩偶赠送3个． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 不等式与不等式组（复习讲义） 1. 了解不等式、一元一次不等式及不等式组的意义，体会不等式性质与等式性质的异同，理解解集与函数图象之间的整体联系。 2. 能用不等式的三条基本性质对不等式进行变形，能准确求出一元一次不等式及不等式组的解集，并用数轴表示解集。 3. 理解并利用解一元一次不等式的一般步骤（去分母、去括号、移项、合并、系数化为1）解决不等式的求解问题。 4. 掌握列不等式解决实际问题的基本步骤，能根据实际问题中的不等关系建立不等式模型并求解。 知识点01 不等式的概念 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 知识点02 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 知识点03 不等式的解与解集 1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 知识点04 一元一次不等式（组）的定义 1.一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． 知识点05 解一元一次不等式（组） 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 3.一元一次不等式（组）的整数解 ①利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到 下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． ②已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点06 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式（组）解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解． 【题型一 不等式的基本性质】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）若，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 一元一次不等式（组）的定义】 【例2】（24-25七年级下·山东烟台·期末）下列式子是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）下列不等式中属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026七年级下·全国·专题练习）下列不等式组，其中是一元一次不等式组的个数（ ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型三 解一元一次不等式（组）】 【例3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组）： (1)． (2) 【变式3-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解一元一次不等式组，并写出满足该不等式组的x的整数值． 【变式3-2】（25-26八年级上·河北张家口·期末）（1）解不等式，并在下图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在下图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集并写出最小整数解． 【变式3-3】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）解不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2)，并写出该不等式组的整数解． 【题型四 求一元一次不等式（组）的整数解】 【例4】（25-26八年级下·全国·课后作业）不等式的正整数解为 ． 【变式4-1】（25-26七年级下·全国·周测）不等式的非负整数解为 ． 【变式4-2】（2025·黑龙江大庆·三模）求不等式组：整数解之和 ． 【变式4-3】（25-26七年级下·全国·单元测试）不等式组的所有整数解的和为 ． 【题型五 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题】 【例5】（25-26八年级下·宁夏银川·月考）计算：（1）下面是小亮同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 (1)任务一：填空：①第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________． (2)任务二：解不等式组：． 【变式5-1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）下面是小明解不等式组的部分过程： 解：解不等式①去分母，得，…………第1步 移项、合并同类项，得，………………第2步 两边都除以，得．………………第3步 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题． (1)小明的解题过程从哪一步开始出现错误？_____； (2)错误的原因是_____； (3)请写出该不等式组的正确解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【变式5-2】（2026·宁夏固原·一模）下面是小亮同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务． 解：由不等式①得，，第一步 解得，第二步 由不等式②得，，第三步 去括号，移项，合并同类项得，，第四步 解得，第五步 所以不等式组的解集为：．第六步 任务一： (1)小亮的解答过程中，第______步开始出现错误，错误的原因是______； (2)第三步的依据是______． 任务二： (3)这个不等式组的正确解集是______． 【变式5-3】（25-26八年级下·河南·月考）下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助东东完成相应任务． 解不等式． 解：，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 …．第五步 (1)①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的； ②该题第________步出现错误，错误的原因是________； (2)请你根据平时的学习经验，就不等式的求解过程给其他同学提一条建议．________． (3)张老师将以上不等式与不等式组成不等式组，请你帮助东东同学完善下列解不等式组的过程． 解不等式①，得________； 解不等式②，得________； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来； ∴原不等式组的解集为________． 【题型六 根据一元一次不等式的解集求参数】 【例6】（2026七年级下·全国·专题练习）已知为非零实数，若的解集为，则 ． 【变式6-1】（25-26八年级下·全国·周测）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是 ． 【变式6-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【变式6-3】（25-26八年级下·全国·周测）关于的一元一次不等式的解集为，则的值为 ． 【题型七 利用一元一次不等式（组）的整数解求参数的取值范围】 【例7】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是 ． 【变式7-1】（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ． 【变式7-2】（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如果不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 ． 【变式7-3】（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【题型八 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围】 【例8】（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【变式8-1】（25-26八年级上·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【变式8-2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是 ． 【变式8-3】（25-26八年级上·重庆南川·期中）若数使关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【题型九 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题】 【例9】（25-26七年级下·全国·周测）若关于x的方程的解是正数，则m的取值范围为 ． 【变式9-1】（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为 ． 【变式9-2】（2025八年级上·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式9-3】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于的不等式组的解集为． （1）的取值范围是 ； （2）若整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【题型十 用不等式与不等式组解决实际问题】 【例10】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）年月，浙江城市篮球赛浙在全省范围内举行，各地结合自身特色设计了相关的文创产品，深受人们喜爱．已知某文旅中心销售玩偶类文创产品，其中甲种玩偶的单价是元/个，乙种玩偶的单价是甲种玩偶单价的． (1)求乙种玩偶的单价． (2)某游客计划用不超过元购买甲、乙两种玩偶，且乙种玩偶的数量比甲种玩偶的数量多个，求该游客最多可以购买多少个甲种玩偶． 【变式10-1】（25-26八年级上·浙江金华·期末）金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【变式10-2】（2026·河南周口·二模）2026年4月23日是第31个“世界读书日”．为进一步营造浓厚的读书氛围，王老师要为班级补充一些名著，现获取信息如下： (1)求每本《朝花夕拾》和每本《西游记》的原价． (2)现按照优惠方案购买《西游记》． ①当购买数量不超过10本时，请直接写出王老师应选择哪种优惠方案； ②当购买数量超过10本时，王老师应如何选择优惠方案？ 【变式10-3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台，根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不低于万元，其中空调、彩电的进价和售价如右表所示： 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． 项目 空调 彩电 进价（元/台） 售价（元/台） (1)试写出与之间的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可以选择？ (3)根据你所学的有关函数知识选择哪种方案获利最大，最大利润为多少？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）下列式子中，属于一元一次不等式的是() A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）若点在第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如果关于x的不等式组 恰有2个整数解，符合条件的a的取值可以是（   ） A．6 B．3.5 C．4 D．4.5 二、填空题 5．（25-26七年级上·江苏南京·期末）写出一个整数的值，使大于，则这个整数的值可以是 ． 6．（25-26八年级上·浙江台州·月考）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 8．（25-26八年级上·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是 ． 三、解答题 9．（25-26八年级上·浙江台州·期末）解下列一元一次不等式（组）： (1) (2) 10．（25-26七年级下·山西临汾·期中）综合与实践 学习素材 素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售的全过程．同学们了解到，该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒3斤，每盒售价25元 每盒5斤，每盒售价30元 (1)在活动中，学生共卖出了1100斤草莓，销售总收入为8000元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？ (2)现在需要对90斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这90斤草莓整盒分装完，设分装成m盒精包装，则分装________盒简包装．（用含m的代数式表示） (3)在（2）的条件下，每个精包装盒的成本为2元，每个简包装盒的成本为1元，若购买包装盒的成本不能超过26元，请你设计出符合要求的分装方案，并说明理由． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列四个判断：其中正确的有（    ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·浙江金华·月考）关于x的不等式的整数解只有4个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·陕西榆林·期中）一组“数值转换机”按如图所示的程序计算，如果开始输入的值是，则最终输出的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）若不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 5．（2025八年级上·重庆·专题练习）已知关于x，y的方程组．若方程组的解满足，则m的非正整数和为 ． 6．（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为 ． 三、解答题 7．（25-26八年级上·陕西西安·期末）解下列不等式（组），并将其解集表示在数轴上． (1)． (2) 8．（2026·山东威海·模拟预测）以下是小贤解不等式组的解答过程． 解：由①得，第一步 所以，第二步 由②得，第三步 所以，第四步 故原不等式组的解集是．第五步 小贤的解答过程从哪一步开始出现错误?请判断，并写出正确的解答过程． 9．（25-26七年级下·海南海口·期中）风靡世界的“拉布布”玩偶凭借独特设计，展现了中国文化魅力与创新实力，这类中国原创潮玩走出国门，体现了我国软实力的提升，受到各国年轻人的喜爱，已知某网店销售甲、乙两款玩偶，甲款玩偶的售价比乙款玩偶售价的2倍少30元，购买2个甲款玩偶和3个乙款玩偶共需255元（免运费）．请解答下列问题：    (1)该网店甲、乙两款玩偶每个售价各是多少元？ (2)根据市场需求，该网店计划用不超过8900元购进甲、乙两款玩偶共200个，且甲款数量超过87个．已知甲款玩偶每个进价50元，乙款玩偶每个进价40元，该网店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，网店推出促销活动：一次性购买同一款玩偶超过10个，赠送1个同款玩偶．若本次购进的玩偶全部售出，共赠送4个，总获利1250元，直接写出甲、乙两款玩偶各赠送几个． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $