素养提升2 动态平衡和平衡中的临界、极值问题-【优学精研】2027年高考物理一轮总复习学用Word

该高中物理高考复习学案系统梳理动态平衡与平衡中的临界、极值问题，整合解析法、图解法等核心方法，按问题类型构建“方法-实例-应用”知识链，通过递进式问题设计引导学生自主推导规律，形成完整的力学平衡认知框架。 亮点在于诊断性例题与分层训练设计，开篇设置改编题引导自主分析，各方法模块配套真题演练及反思提示，培养科学思维与模型建构素养。学生可通过“尝试解答”自测诊断，教师依据学情实施针对性指导，助力自主提升与因材施教。

素养提升2　动态平衡和平衡中的临界、极值问题 提升点一 寻规探律 　提示：（1）保持F水平，由平衡条件得F1cos θ＝mg，F＝mgtan θ，缓慢增大θ角，则cos θ逐渐减小，tan θ逐渐增大，则F1、F都逐渐增大。 （2）对小球受力分析，作出各力矢量图如图所示， 小球受重力mg、外力F和细线拉力F1作用，保持小球位置不变，即θ角不变，缓慢减小α角直至α＝θ，由图可知，外力F先减小后增大。 （3）保持α角不变，增大θ角，直至细线水平，细线和F的方向都逆时针转动，如图所示 由图可知，细线的拉力F1水平时，外力F最大，所以该过程外力F逐渐增大。 【例1】　B　轿车缓慢向上移动的过程中受力平衡，合外力一直为0，A错误；轿车向上移动过程中，缆绳与竖直方向的夹角越来越小，如图所示，则缆绳拉力越来越大，斜面对轿车的支持力变小，B正确，C错误；对整个系统受力分析可知，地面所受摩擦力为0，D错误。 【例2】　D　零件受力示意图如图所示。可知力的矢量三角形与几何三角形AOO'相似，则有＝＝，解得FN＝6 N，FT＝8 N，故A、B错误；缓慢地拉轻绳使零件由A运动到B，其中mg、h、R均不变，L逐渐减小，根据FN＝，FT＝可知，FN不变，FT变小。故C错误，D正确。 【例3】　D　对铲斗逆时针缓慢转动过程，做出如图所示的动态圆，可得F1先增大后减小，故A、B错误；F2一直增大，故C错误，D正确。 【例4】　B　空竹受力如图所示，由于空竹缓慢移动，则其受力平衡，由平衡条件可知2Fsin θ＝mg，设绳长为L，由几何关系可知cos θ＝，当一只手沿虚线a缓慢向左移动时，d减小，θ增大，空竹的高度降低，故A错误；沿虚线b向上移动，d不变，θ不变，故B正确；沿虚线c斜向上移动，d增大，θ减小，细线的拉力增大，故C错误；沿虚线d向右移动，d增大，θ减小，细线对空竹的合力始终等于空竹的重力，所以细线对空竹的合力不变，故D错误。 提升点二 【例5】　B　对整体进行受力分析，如图。根据三角形定则可知当弹簧上的拉力F与细线上的拉力垂直时，拉力F最小，为Fmin＝4mgsin θ＝2mg，故弹簧最小形变量为Δx＝＝，故选B。 【例6】　A　方法一、解析法 设拉力F与斜面夹角为θ，根据矿石匀速向上运动，在垂直于斜面方向：FN＋Fsin θ＝mgcos 15°，沿斜面方向上：Fcos θ＝μFN＋mgsin 15°，联立以上两式可得F＝，结合三角函数知识可得，当θ＝30°时，此时F最小，故F的最小值为mg，故A正确。 方法二、利用“摩擦角”速求极值 对矿石受力分析如图 将FN与Ff合成，设其合力方向与FN成α夹角，易知tan α＝＝，得α＝30°，分别作出FN、FN与Ff合力的反向延长线，可知重力与FN的反向延长线夹角与斜面倾角相等，即β＝15°，由几何关系得，过重力的下端点作FN与Ff合力反向延长线的垂线，即为所需的拉力最小值，Fmin＝mgsin（α＋β），得Fmin＝mg，故A正确。 强化训练 　B　将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，小球始终静止在A点，根据三角形定则，画出小球的受力变化情况，如图所示，由图中可以看出，F先变小后变大，当F与FN垂直时拉力最小为Fmin＝mgsin 30°＝mg，FN一直减小，根据正弦定理可知最小值为＝， 解得FNmin＝mg，故A错误，B正确；将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，如图。则拉力F、FN都在增大，FN的最小值为FNmin'＝＝mg，故C、D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $ 素养提升2　动态平衡和平衡中的临界、极值问题 1.学会运用解析法、图解法等分析处理动态平衡问题。 2.会分析平衡中的临界与极值，并会进行相关计算。 提升点一　动态平衡问题 　〔人教版必修第一册P81·T5改编〕如图，用轻质柔软的细线将一质量为m的小球悬挂于天花板上的O点，小球在外力F、细线的拉力F1及自身重力mg的作用下处于平衡状态。初始时F水平，细线与竖直方向夹角为θ，与F的夹角为α。 （1）保持F水平，缓慢增大θ角，分析F 和F1如何变化？ （2）保持小球位置不变，缓慢减小α角直至α＝θ，分析F如何变化？ （3）保持α角不变，缓慢增大θ角，直至细线水平，则F如何变化？ 　动态平衡问题常用方法 方法 适用情况 常见实例 解析法 物体受三个力的作用，一个力恒定，另一个力始终与恒力垂直，三力可以构成直角三角形 图示法 物体受三个力作用，一个力恒定（如重力），另一个力方向不变（大小一般改变），第三个力大小、方向都变化 相似 三角 形法 物体受三个力作用，一个力恒定（通常是重力），另外两个力的方向均发生变化，但可以找到与力构成的矢量三角形相似的几何三角形 ＝＝ 动态 圆法 物体受三个力作用，一个力大小、方向均不变（通常是重力），另外两个力方向、大小都在变，但两力的夹角不变 点拨：动态圆法也叫辅助圆法，通常能用动态圆法求解的问题也可用拉密定理法（或正弦定理法）求解。 拉密定理：同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任意一个力与其他两个力夹角正弦的比值相等，即＝＝。其实质就是正弦定理的变形。 （2025·黑龙江哈尔滨二模）如图所示，一辆静止在水平地面的卡车利用缆绳，沿固定斜面向上缓慢拉动轿车，忽略轿车与斜面的摩擦，不计缆绳质量，则在轿车向上运动的过程中（　　） A.轿车所受合外力变大 B.缆绳的拉力变大 C.斜面对轿车的支持力变大 D.地面所受的摩擦力变大 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ★（2026·河北廊坊期末）如图甲所示是某中学科技馆外部照片，该建筑外形呈球形，表面可视为光滑球面。该球面对应的圆心为O、半径R＝3 m。现要在其顶部安装一质量为1 kg的球形光滑零件（可视为质点）。如图乙所示，工作人员用一轻质细绳一端系住零件，另一端连在吊装机的小滑轮上，吊装机的左端小滑轮始终在球心O正上方5 m处。现转动滑轮收缩轻绳使零件从图示位置的A点缓慢移动到球形建筑物顶端的B点，整个过程零件始终没有脱离球面。A点到小滑轮的距离为4 m，重力加速度大小为g＝10 m/s2，则下列说法正确的是（　　） A.零件静止在A点时，圆形球面对零件的支持力大小FN＝5 N B.零件静止在A点时，绳对零件的拉力大小FT＝10 N C.缓慢地收轻绳使零件由A移动到B，该过程中零件所受支持力大小先变小后变大 D.缓慢地收轻绳使零件由A移动到B，该过程中绳子拉力逐渐变小 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ★（2026·福建厦门联考）铲车在基建中发挥了一定作用，其铲斗结构简易图如图乙所示，铲斗DC和BA边延长线夹角为45°，由于运输需要铲斗逆时针缓慢转动，当AB边与水平夹角θ从15°转到90°的过程中，AB和CD边分别对石头的作用力F1和F2，下列说法正确的是（　　） A.F1一直增大 B.F1先减小后增大 C.F2先增大后减小 D.F2一直增大 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2026·天津滨海联考）抖空竹是一种传统杂技。如图所示，表演者右手控制A点不动，左手控制B点沿图中的四个方向缓慢移动，忽略空竹转动的影响，不计空竹和轻质细线间的摩擦，且认为细线不可伸长。下列说法正确的是（　　） A.沿虚线a向左移动，空竹的高度不变 B.沿虚线b向上移动，细线与竖直方向的夹角不变 C.沿虚线c斜向上移动，细线的拉力不变 D.沿虚线d向右移动，细线对空竹的合力减小 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 “晾衣绳类”模型 1.模型特点 悬挂点（“活结”）：两侧轻绳上拉力大小相等。2.结论 （1）如图，夹角θ只与横向间距d和绳长L有关，与悬挂重物的质量m无关，而拉力F的大小与夹角θ和重物质量m有关。 　 （2）若横向间距d不变，在竖直方向上移动结点A或B，夹角θ与轻绳拉力均不变；若横向间距d变大，则夹角θ减小，轻绳拉力F增大。 提升点二　平衡中的临界与极值问题 　　 1.临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等词语。 2.极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值。 3.解决临界、极值问题的方法 图解法 根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值 极限法 首先要正确地进行受力分析和过程分析，把某个物理量推向极端（极大或极小），从而找出临界点或极值点 解析法 通过对问题的分析，依据平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、三角函数极值等） （2026·吉林长春期末）如图所示，小球a质量为m，小球b质量为3m，它们用细线相连并悬挂于O点。现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为θ＝45°，已知弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g。则弹簧形变量最小值是（　　） A. B. C. D. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 我国明代综合性科技巨著《天工开物》中的《五金》篇中提到为了将矿石从矿坑中运出，工人们会搭建简易的斜面通道，这是古代劳动人民智慧的结晶。如图所示，若斜面的倾角为15°，方形矿石与斜面间的动摩擦因数为，重力加速度为g。现用轻绳拉着质量为m的矿石沿斜面匀速上滑，所需的拉力最小值为（　　） A.mg B.mg C.mg D.mg 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 巧用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡 　　在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F'代替支持力与摩擦力，FN与Ff的合力F'方向一定，即“摩擦角”α满足tan α＝ ＝μ，则Fmin＝mgsin α，此时θ＝α。 　（2026·山东日照一模）如图所示，水平地面上固定着一个竖直圆形轨道，圆心为O，轨道内壁光滑。轨道内放置一个质量为m的小球，在水平拉力F的作用下静止在轨道内侧A点，AO连线与竖直方向的夹角θ＝30°，轨道对小球的支持力大小为FN，重力加速度为g。改变拉力F，小球始终静止在A点。下列说法正确的是（　　） A.将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，F的最小值为mg B.将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，FN的最小值为mg C.将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，F先减小后增大 D.将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，FN的最小值为2mg 提示：完成课后作业　第二章　素养提升2 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $