第02讲 二次函数的图像（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第02讲 二次函数的图像 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数图象的画法与识别 题型2 的图象特征 题型3 二次函数图象的左右平移 题型4 二次函数图象的上下平移与综合平移 题型5 一般式二次函数的图像特征 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数图象 抛物线 描点法 开口方向、开口大小 顶点、对称轴 图象平移 顶点式 一般式 配方法 1.会用描点法画简单二次函数的图象，经历列表、描点、连线的作图过程，认识二次函数的图象是一条抛物线。 2.掌握二次函数的图象特征，能判断其开口方向、顶点坐标、对称轴，并能从图象外观上理解a对开口大小的影响。 3.理解二次函数图象的平移规律，能说出与的位置关系，知道其顶点为(m,0)，对称轴为直线x=m。 4.掌握顶点式的图象要素，能根据表达式确定开口方向、顶点坐标、对称轴，并能描述它由经过怎样的平移得到。 5.会通过配方法把一般式转化为顶点式，能求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴，为后续学习二次函数的性质打好基础。 学习重点：二次函数图象的画法，抛物线的基本特征，、、的图象位置关系，顶点式中开口方向、顶点坐标和对称轴的确定，一般式二次函数顶点与对称轴的求法。 学习难点：理解二次函数图象平移与表达式变化之间的对应关系，准确区分中m、k对图象位置的影响，会用配方法将一般式转化为顶点式，并根据图象要素求简单的二次函数表达式。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数图象的画法与y=ax2的图象特征 1.二次函数y=ax2的图象的画法： 画函数图象时，常用的方法是描点法。画二次函数图象也可以用描点法，一般按照以下步骤进行： 第一步：列表。在自变量允许的范围内，让x取一此代表性的值(正数、负数或0)，代入函数解析式，求出对应的y值,列出表格。 第二步：描点。把表中每一组对应值(x,y)看作平面直角坐标系中的一个点，并在坐标系中描出这些点。 第三步：连线。用平滑的曲线顺次连接所描出的点，得到函数图象。 【示例】在同一平面直角坐标系中作出、、和的图象. 解：列表如下 x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… …… 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …… …… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …… …… 9 4 1 0 1 4 9 …… …… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …… 描点:如图所示,以表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点. 连线:用光滑的曲线顺次连接各点. 描点法总结： (1)列表时,自变量应以О为中心,左右两边要对应取值; (2)画图象时,图象应越过端点,表示为向下或向上无限延伸﹔ (3)图象在两个象限内画出的曲线是对称的,顶点处不能画成尖形,应该保持平滑. 2.抛物线的概念：通过描点作图可以发现，二次函数的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线。因此，二次函数的图象也常称为抛物线。如：y=x2和y=-x2都是一条抛物线。 3.二次函数y=ax2的图象特征： (1)二次函数的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。 (2)当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 (3)a影响抛物线的开口大小和方向。 即时即练与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【答案】 【分析】根据题意，顶点相同形状相同说明顶点坐标不变，二次项系数的绝对值不变，开口方向相反说明二次项系数符号相反，据此即可求解． 【详解】解：已知抛物线的顶点坐标为，由题意可知，所求抛物线顶点坐标不变，二次项系数绝对值不变，符号相反，因此所求抛物线的解析式为． 【易错提醒】 （1）列表时，注意自变量x一般取整数；取点越多，图象就越精确. （2）描点时，用光滑的曲线顺次连接起来。不能出现线段、折线等，特别是顶点处，不能画成尖的. （3）利用描点法所画的函数图象只是整个图象的一部分，由于x可取一切实数，所以图象在对称轴两侧应是无限延伸的. （4）判断的开口方向时，只看的正负。，开口向上；，开口向下. （5）|a|决定抛物线开口大小，|a|越大,抛物线开口越小. 知识点02 二次函数图象的平移 1.的图象 二次函数的图象可以看作由的图象左右平移得到. 当时，的图象可以看作由的图象向右平移个单位得到； 当时，的图象可以看作由的图象向左平移个单位得到. 的顶点是：;它的对称轴是直线：. 2.的图象 二次函数的图象可以看作由的图象经过左右平移和上下平移得到，其中，与图象的左右平移有关，与图象的上下平移有关. 当时，向右平移个单位；当时，向左平移个单位。 当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位。 的顶点是：;它的对称轴是直线：. 3.顶点式：因为从二次函数中可以直接看出其对应的抛物线的顶点为，所以通常把叫做二次函数的顶点式. 即时即练已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 【易错提醒】 （1）判断左右平移时，最容易看错括号内的符号，注意是针对x本身的“左加右减”，如x−3对应向右平移3个单位；x+3对应向左平移3个单位. （2）顶点式的顶点是，不是. （3）图象平移只改变抛物线的位置，不改变它的开口方向和开口宽窄。开口方向和开口宽窄仍由决定. （4）抛物线与x轴可能有交点，也可能没有交点,但与y轴一定有一个交点. 知识点03 一般式二次函数图象的顶点与对称轴 1.一般形式与图象的关系 对于二次函数的一般形式，通过变形，可以将其转化为： 。 由此可见，函数的图象与函数图象的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以通过平移的图象得到。 2.一般式的顶点和对称轴公式 对于二次函数的一般形式，通过变形： 即转化为：。 因此，它的对称轴是直线：；顶点坐标是： 3.一般式图像特征 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是。当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 即时即练通过配方，写出函数的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】，开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【易错提醒】 （1）配方法使用时，当二次项系数不是1时，要先提取二次项系数，再进行配方. （2）在实际解题时，可以先用公式求出对称轴，再把对称轴对应的值代入原函数解析式，求出顶点的纵坐标。这样既能减少记忆负担，也能降低计算错误. 题型1 二次函数图象的画法与识别 【例1】根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 【例2】在同一平面直角坐标系中，画出函数与的图象． (1)列表： x … 0 1 3 … … … … … (2)描点并连线． (3)写出这两个图象的位置关系：______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)关于x轴对称 【分析】本题主要考查二次函数图象的绘制及性质．本题先通过代入计算得到函数值完成列表，再根据函数性质判断图象位置关系． （1）根据函数表达式，将给定的值代入计算和的值； （2）直接根据（1）的表格数据描点并连线即可； （3）通过观察所绘制的图象得出两个图象的位置关系． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 3 … … 3 0 3 … … 0 … （2）解：如图所示． （3）解：观察图像可知：关于x轴对称． 【易错提醒】 （1）二次项系数a决定开口方向：容易记错二次项系数a的符号与抛物线开口方向、顶点最值的对应规律，比如a<0时误判为开口向上、顶点是最低点；判断函数值正负对应的x取值范围时，也常忽略抛物线的对称性，只写出单侧范围。 （2）描点法作图规范：用描点法画图时，容易把曲线画成折线，尤其在顶点处画成尖角，不符合“平滑曲线连接”的要求；同时容易忽略抛物线向两侧无限延伸的性质，误以为图象只存在于所描点的范围内。 【变式1-1】在经历了一次函数的学习后，同学们掌握了利用图象来分析函数性质的方法．某位同学打算探究函数的性质，他先通过列表、描点、连线得到该函数的图象（如图），然后通过观察图象得到“在的取值范围内，无论取何值，函数值恒大于0，”的结论．其中所蕴含的数学思想是（ ） A．演绎思想 B．分类讨论思想 C．公理化思想 D．数形结合思想 【答案】D 【分析】从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现． 【详解】探究函数的性质，他先通过列表、描点、连线得到该函数的图象（如图），然后通过观察图象得到“在的取值范围内，无论取何值（x≠0），函数值恒大于0，”的结论，其中所蕴含的数学思想是数形结合思想． 故选：D． 【变式1-2】用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数的图象，并按照要求回答下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 4.5 0.5 0 2 4.5 … (1)补齐上表； (2)在所给坐标系内描出表格中的点； (3)将上述各点用平滑曲线连线． (4)由图象可知：当时， ；当时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析； (4)8，； 【分析】（1）根据计算填空即可； （2）在坐标系内描点即可； （3）将各点用平滑曲线连接即可； （4）通过图象可知：当时，图象上对应点的纵坐标即为答案；当时，可直接写出的取值范围． 【详解】（1）当时，； 当时，； 故答案为：． 题型2 的图象特征 【例3】函数与的图象的关系是（ ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；对于，其对称轴为y轴，顶点为坐标原点；当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下，由此即可作出判断． 【详解】解：函数与的图象顶点为原点，对称轴为y轴；而函数中二次项系数为正，故开口向上，中二次项系数为负，故开口向下；除A选项外，其它选项均不正确； 故选：A． 【例4】抛物线与相比（ ） A．开口更大 B．开口更小 C．开口相同 D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 二次函数的开口大小由二次项系数的绝对值决定，绝对值越大，开口越小依此进行判断即可． 【详解】解：对于抛物线，二次项系数， 对于抛物线，二次项系数， ∵， ∴的开口比的开口更小，∣a∣越大，开口越窄（越小），故选：B． 【易错提醒】 （1）开口大小规律易记反：极易误认为二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越大。实际规律为：越大，抛物线开口越窄、越小；越小，抛物线开口越宽、越大。 （2）共性特征易误判：容易误以为二次项系数改变时，抛物线的对称轴、顶点坐标也会变化。所有形如的抛物线，对称轴均为y轴（直线x=0），顶点均为坐标原点，仅开口方向与大小发生改变。 【变式2-1】嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（ ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，比较原抛物线与新抛物线的系数a，分析开口方向、开口大小、对称轴和顶点坐标的变化即可求解． 【详解】解：在二次函数和中，对称轴均为直线，顶点坐标为， 故选项C、D不符合题意； ∵原函数，新函数， ∴开口方向均向上，未改变，故选项B不符合题意； ∵， ∴开口大小改变，故选项A符合题意， 故选：A． 【变式2-2】（1）在同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象． （2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题： ①由图象可知抛物线与抛物线___________的形状相同，且两抛物线关于___________轴对称；同样，抛物线与抛物线___________的形状相同，也关于___________轴对称． ②当相同时，抛物线开口大小___________；当变大时，抛物线的开口___________；当变小时，抛物线的开口___________． 应用：抛物线与中，开口较小的抛物线是___________． 【答案】（1）见详解，（2）①，x，，x；②相同，较小，较大， 【分析】（1）按要求作图即可； （2）①结合轴对称梯形的特点，根据（1）中的图象作答即可；②根据（1）的图象特点直接作答即可． 【详解】（1）作图如下： （2）①由图象可知抛物线与抛物线的形状相同，且两抛物线关于x轴对称；同样，抛物线与抛物线的形状相同，也关于x轴对称． 故答案为：，x，，x； ②当相同时，抛物线开口大小相同；当变大时，抛物线的开口较小；当变小时，抛物线的开口较大． 应用：抛物线与中，开口较小的抛物线是． 故答案为：相同，较小，较大，． 题型3 二次函数图象的左右平移 【例5】抛物线的形状与抛物线相同，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 由抛物线的形状相同得到，运算解答即可． 【详解】∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴， 故选：D． 【例6】某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可． 【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下． ∴该抛物线的函数表达式为． 故选：C． 【易错提醒】 （1）抛物线形状相同仅由二次项系数的绝对值决定，与开口方向无关。已知形状相同求参数a时，极易只写出与原抛物线一致的正值，漏掉开口反向的负值情况，正确结果应为（k为已知抛物线的二次项系数）。 （2）图象平移只改变抛物线的位置，不改变开口方向和开口大小，即二次项系数a始终保持不变。解题时易混淆平移变换和伸缩变换的区别，错误修改a的取值。 （3）二次函数左右平移遵循“左加右减”，且仅对自变量x本身操作，向右平移易错误写成“x+平移距离”；顶点式的顶点横坐标为h，当括号内为时，对应顶点横坐标为，极易直接误判为正号。 【变式3-1】函数是向右平移2个单位后的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握“左加右减”的平移法则． 根据二次函数图象“右移减”的平移规律，将中替换为，得到平移后的解析式． 【详解】解：原函数为，向右平移2个单位， 新函数为． 故选C 【变式3-2】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质和二次函数的图象，掌握好二次函数的顶点坐标是解题关键． 由反比例函数的图象确定，二次函数的顶点坐标为，因此选择顶点在x轴正半轴上的图即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴， ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的顶点在x轴正半轴上， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选：D． 题型4 二次函数图象的上下平移与综合平移 【例7】二次函数的图象不经过的象限为（ ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了确定抛物线的大致位置，解题的关键是掌握通过求顶点坐标，开口方向，与坐标轴的交点，画出图象判断； 根据抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，开口方向，与轴的交点，可确定抛物线的大致位置，判断其不经过的象限． 【详解】解：∵二次函数，顶点坐标为，在轴上，且开口向上， ∴抛物线不经过第三象限和第四象限， 故选：A． 【例8】将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点坐标为，然后通过向右平移个单位后，再向下平移个单位进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴把向右平移个单位后，再向下平移个单位得到， ∴所得抛物线的顶点坐标为． 【易错提醒】 （1）左右平移遵循“左加右减”且仅对自变量x本身进行加减（需对x加括号）；上下平移遵循“上加下减”，作用在常数项上。 （2）图象平移只改变抛物线的位置，二次项系数a保持不变，因此开口方向、开口大小、增减性规律均不会改变，解题时容易误以为平移后形状或开口会发生变化。 【变式4-1】关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（ ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、形状、顶点坐标及增减性的相关知识逐一分析选项． 【详解】∵二次函数（）中，决定开口方向和形状，两个函数的相同 ∴开口方向相同，形状相同，故A、B选项结论正确． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴两个函数顶点坐标不同，故C选项结论不正确． ∵两个函数的对称轴均为轴，且开口向上 ∴当时，随着的增大而减小，故D选项结论正确． 故选：C． 【变式4-2】已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求抛物线的解析式，二次函数的平移和二次函数的性质．熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． （1）根据抛物线的顶点坐标，可得，即，将点的坐标代入，求出的值，即可求解； （2）先根据抛物线的平移规律求出平移后的解析式，根据平移后的顶点坐标式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 故， ∵抛物线经过点， 故将代入，得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后， 得到的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标是． 题型5 一般式二次函数的图像特征 【例9】已知二次函数，那么它的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：∵抛物线 ∴，抛物线开口向上，顶点坐标是． 【例10】已知二次函数的图象过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)写出该二次函数的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2) 顶点坐标为，对称轴为直线 【分析】（1）将代入计算即可； （2）将原解析式化为顶点式，进而作答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 即此二次函数的解析式为； （2）解：， 则该二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线． 【易错提醒】 （1）求一般式二次函数的顶点除了配方法化成顶点式外，还可以用公式法求顶点坐标是：。 （2）逆向平移方向易混淆：已知平移后的解析式反推原抛物线时，容易顺向重复平移操作，正确做法是逆向还原（向右平移的逆过程是向左平移，向下平移的逆过程是向上平移）；且左右平移仅对自变量x本身操作，必须给x加括号，不能直接在常数项上加减。 【变式5-1】将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，将平移后的抛物线逆向平移即可得到原抛物线表达式，可先将平移后的抛物线化为顶点式再计算． 【详解】解：， 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为， 原抛物线是平移后的抛物线先向上平移个单位，再向左平移个单位得到的， 原抛物线的表达式为， 整理得：， 原抛物线表达式为． 【变式5-2】已知二次函数． (1)用配方法将二次函数化为顶点式，并写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)描点画图，结合图象直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)，对称轴是直线，顶点坐标是； (2)作图见解析，当时，的取值范围为． 【分析】本题考查了二次函数的三种形式及二次函数的图象及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的三种形式及二次函数的图象及二次函数的性质． （1）利用配方法把一般式转化为顶点式，据此即可求解． （2）列表，描点，连线，即可画出图象；根据图象直接回答问题． 【详解】（1）解：， ∴该抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是； （2）解：由抛物线解析式列表， 函数图象如图所示： 根据图象知，当时的取值范围为． A组 基础过关 1．二次函数的对称轴方程和顶点坐标分别是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查把抛物线的一般式化为顶点式，求抛物线的顶点坐标，对称轴方程，利用配方法把变形为顶点式即可． 【详解】解：， 可得对称轴方程为，顶点坐标为， 故选：A． 2．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（ ） A．对称轴 B．开口方向 C．和y轴的交点 D．顶点． 【答案】B 【分析】求出平移后的抛物线，再比较对称轴，顶点，开口方向，与y轴交点，进而求解． 【详解】的对称轴为y轴，开口向上，与y轴交点（0，0），顶点（0,0） 将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后解析式为： ∴平移后对称轴为，开口向上，与y轴交点（0，4），顶点（1,2） ∴开口方向不变 故选：B 3．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确；故选D． 4．二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为　　 A．向下，直线， B．向下，直线， C．向上，直线， D．向下，直线， 【答案】D 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据二次项系数可判断开口方向，根据解析式可知顶点坐标及对称轴． 【详解】解：由二次函数y=-（x+3）2+2，可知a=-1＜0，故抛物线开口向下； 顶点坐标为（-3，2），对称轴为x=-3． 故选D． 5．关于抛物线，下列说法正确的是( ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质及平移规律，关键是掌握抛物线()的相关性质：的正负决定开口方向，对称轴为直线，顶点坐标为；平移遵循“左加右减，上加下减”的规律． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向下，A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，此抛物线中， ∴对称轴是直线，B选项错误； ∵抛物线的顶点坐标为，此抛物线中，， ∴顶点坐标是，C选项正确； 抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的抛物线为，与不符，D选项错误； 故选：C． 6．已知抛物线． (1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)将这个抛物线平移，使顶点移到点的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程． 【答案】(1)对称轴是直线，顶点坐标为 (2)新抛物线的表达式为，平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减． （1）利用配方法将函数解析式转化为顶点式，就可得出抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）根据平移后的顶点坐标为，就可得出平移后的抛物线的解析式及平移的过程． 【详解】（1）解： ， ∴对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：∵新顶点为， ∴所得抛物线的表达式为， ∴平移过程为：向右平移3个单位，再向下平移3个单位． B组 综合提升 7．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A．对称轴在轴的右侧 B．与轴的交点坐标为 C．顶点坐标为 D．是由抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数，， ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线， ∴对称轴在轴的右侧，故选项A说法正确，不符合题意； 当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为，故选项B说法正确，不符合题意； ∴顶点坐标为，故选项C说法正确，不符合题意； 抛物线向左平移2个单位，得，再向下平移1个单位得到，与原函数解析式不同，故选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 8．一位运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线， （1）求铅球所经过路线的函数表达式； （2）求出铅球的落地点离运动员有多远． 【答案】（1）；（2）铅球的落地点离运动员有 【分析】（1）由图象可知：顶点坐标为（4,3），且图象过点（0，）， 设函数解析式为，将点（0，）代入，解得：a=，即可顶点函数解析式； （2）求当y=0即时的解即可顶点答案． 【详解】（1）由图象可知：顶点坐标为（4,3），且图象过点（0，）， 设函数解析式为，将点（0，）代入，得16a+3=， 解得：a=， ∴铅球所经过路线的函数表达式为； （2）当y=0时，即， 解得：x1=10，x2=-2（舍去）， 答：铅球的落地点离运动员有10m． 9．已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． (1)求这个二次函数的关系式； (2)判断点是否在这条抛物线的图像上． 【答案】(1)； (2)不在这条抛物线的图象上，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出的值即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为 将点代入得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在这条抛物线的图象上． 10．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．    （1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）求水管AB的长． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；（2）2.25m 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x−1）2＋3，将（3，0）代入求得a值； （2）由题意可得，x＝0时得到的y值即为水管的长． 【详解】解：（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m， 则设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3， 代入（3，0）求得：a＝﹣（x﹣1）2+3． 将a值代入得到抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）； （2）令x＝0，则y＝＝2.25． 故水管AB的长为2.25m． C组 挑战突破 11．已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据顶点的纵坐标求出m的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线的最低点的纵坐标为， ∴， 即 ∴， 当m=1时，抛物线为． 故选：B． 【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握抛物线的顶点坐标为． 12．如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为_____． 【答案】(6，5) 【分析】根据二次函数的性质得到点A与点B关于直线x=1对称，即可求解． 【详解】∵AB与x轴平行， 而点A，B均在抛物线上， ∴点A与点B关于直线x=1对称， ∵点A的坐标为， ∴B点坐标为， 故答案为． 13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线＞0， ∴b＞0， ∵与y轴的负半轴相交， ∴c＜0， ∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限， 反比例函数y=图象在第二四象限， 只有D选项图象符合． 故选：D． 14．将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值． 【详解】由题意可得新抛物线的顶点为， ∴原抛物线的顶点为， 设原抛物线的解析式为， 代入得：， ∴，． 故选：D． 15．如图，直线l过A(3，0)和 B(0，3)两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求该二次函数的解析式． 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式为，则可设P(t，—t+3)( )，再根据三角形面积公式得到 ，解出t的值，确定点Р的坐标，最后把点Р的坐标代入 中求出a的值即可． 【详解】解：设直线AB对应的函数解析式为 ， 把A(3，0)，B(0，3)代入，得 解得 所以直线AB对应的函数解析式为 ． 设点P(t，—t＋3)(0<t<3)．因为△AOP的面积为3，所以 解得t=1，所以点Р的坐标为(1，2)． 把P(1，2)代入 ，得a=2， 所以二次函数的解析式为 ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 二次函数的图像 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数图象的画法与识别 题型2 的图象特征 题型3 二次函数图象的左右平移 题型4 二次函数图象的上下平移与综合平移 题型5 一般式二次函数的图像特征 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数图象 抛物线 描点法 开口方向、开口大小 顶点、对称轴 图象平移 顶点式 一般式 配方法 1.会用描点法画简单二次函数的图象，经历列表、描点、连线的作图过程，认识二次函数的图象是一条抛物线。 2.掌握二次函数的图象特征，能判断其开口方向、顶点坐标、对称轴，并能从图象外观上理解a对开口大小的影响。 3.理解二次函数图象的平移规律，能说出与的位置关系，知道其顶点为(m,0)，对称轴为直线x=m。 4.掌握顶点式的图象要素，能根据表达式确定开口方向、顶点坐标、对称轴，并能描述它由经过怎样的平移得到。 5.会通过配方法把一般式转化为顶点式，能求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴，为后续学习二次函数的性质打好基础。 学习重点：二次函数图象的画法，抛物线的基本特征，、、的图象位置关系，顶点式中开口方向、顶点坐标和对称轴的确定，一般式二次函数顶点与对称轴的求法。 学习难点：理解二次函数图象平移与表达式变化之间的对应关系，准确区分中m、k对图象位置的影响，会用配方法将一般式转化为顶点式，并根据图象要素求简单的二次函数表达式。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数图象的画法与y=ax2的图象特征 1.二次函数y=ax2的图象的画法： 画函数图象时，常用的方法是描点法。画二次函数图象也可以用描点法，一般按照以下步骤进行： 第一步： 。在自变量允许的范围内，让x取一此代表性的值(正数、负数或0)，代入函数解析式，求出对应的y值,列出表格。 第二步： 。把表中每一组对应值(x,y)看作平面直角坐标系中的一个点，并在坐标系中描出这些点。 第三步： 。用 曲线顺次连接所描出的点，得到函数图象。 【示例】在同一平面直角坐标系中作出、、和的图象. 解：列表如下 x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 …… …… 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …… …… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 …… …… 9 4 1 0 1 4 9 …… …… -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …… 描点:如图所示,以表中各组对应值为点的坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点. 连线:用光滑的曲线顺次连接各点. 描点法总结： (1)列表时,自变量应以О为中心,左右两边要对应取值; (2)画图象时,图象应越过端点,表示为向下或向上无限延伸﹔ (3)图象在两个象限内画出的曲线是对称的,顶点处不能画成尖形,应该保持平滑。 2.抛物线的概念：通过描点作图可以发现，二次函数的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线。因此，二次函数的图象也常称为抛物线。如：y=x2和y=-x2都是一条抛物线。 3.二次函数y=ax2的图象特征： (1)二次函数的图象是一条抛物线，它关于 对称，顶点是 。 (2)当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的 ；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的 。 (3) 影响抛物线的开口大小和方向。 即时即练与抛物线形状相同，顶点相同，开口方向相反的抛物线是________． 【易错提醒】 （1）列表时，注意自变量x一般取整数；取点越多，图象就越精确. （2）描点时，用光滑的曲线顺次连接起来。不能出现线段、折线等，特别是顶点处，不能画成尖的. （3）利用描点法所画的函数图象只是整个图象的一部分，由于x可取一切实数，所以图象在对称轴两侧应是无限延伸的. （4）判断的开口方向时，只看的正负。，开口向上；，开口向下. （5）|a|决定抛物线开口大小，|a|越大,抛物线开口越小. 知识点02 二次函数图象的平移 1.的图象 二次函数的图象可以看作由的图象 平移得到. 当时，的图象可以看作由的图象向 平移 个单位得到； 当时，的图象可以看作由的图象向 平移 个单位得到. 的顶点是： ；它的对称轴是直线： . 2.的图象 二次函数的图象可以看作由的图象经过左右平移和上下平移得到，其中，与图象的 平移有关，与图象的 平移有关. 当时，向右平移个单位；当时，向左平移个单位。 当时，向 平移 个单位；当时，向 平移 个单位。 的顶点是： ;它的对称轴是直线： . 3.顶点式：因为从二次函数中可以直接看出其对应的抛物线的顶点为，所以通常把 叫做二次函数的顶点式. 即时即练已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（ ） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）判断左右平移时，最容易看错括号内的符号，注意是针对x本身的“左加右减”，如x−3对应向右平移3个单位；x+3对应向左平移3个单位. （2）顶点式的顶点是，不是. （3）图象平移只改变抛物线的位置，不改变它的开口方向和开口宽窄。开口方向和开口宽窄仍由决定. （4）抛物线与x轴可能有交点，也可能没有交点,但与y轴一定有一个交点. 知识点03 一般式二次函数图象的顶点与对称轴 1.一般形式与图象的关系 对于二次函数的一般形式，通过变形，可以将其转化为： 。 由此可见，函数的图象与函数图象的 、 均相同，只是 不同，可以通过平移的图象得到。 2.一般式的顶点和对称轴公式 对于二次函数的一般形式，通过变形： 即转化为：。 因此，它的对称轴是直线： ；顶点坐标是： 3.一般式图像特征 二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点坐标是。当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 即时即练通过配方，写出函数的顶点式，并写出其开口方向、对称轴和顶点坐标． 【易错提醒】 （1）配方法使用时，当二次项系数不是1时，要先提取二次项系数，再进行配方. （2）在实际解题时，可以先用公式求出对称轴，再把对称轴对应的值代入原函数解析式，求出顶点的纵坐标。这样既能减少记忆负担，也能降低计算错误. 题型1 二次函数图象的画法与识别 【例1】根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【例2】在同一平面直角坐标系中，画出函数与的图象． (1)列表： x … 0 1 3 … … … … … (2)描点并连线． (3)写出这两个图象的位置关系：______________． 【易错提醒】 （1）二次项系数a决定开口方向：容易记错二次项系数a的符号与抛物线开口方向、顶点最值的对应规律，比如a<0时误判为开口向上、顶点是最低点；判断函数值正负对应的x取值范围时，也常忽略抛物线的对称性，只写出单侧范围。 （2）描点法作图规范：用描点法画图时，容易把曲线画成折线，尤其在顶点处画成尖角，不符合“平滑曲线连接”的要求；同时容易忽略抛物线向两侧无限延伸的性质，误以为图象只存在于所描点的范围内。 【变式1-1】在经历了一次函数的学习后，同学们掌握了利用图象来分析函数性质的方法．某位同学打算探究函数的性质，他先通过列表、描点、连线得到该函数的图象（如图），然后通过观察图象得到“在的取值范围内，无论取何值，函数值恒大于0，”的结论．其中所蕴含的数学思想是（ ） A．演绎思想 B．分类讨论思想 C．公理化思想 D．数形结合思想 【变式1-2】用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数的图象，并按照要求回答下列问题： x … 0 1 2 3 … y … 4.5 0.5 0 2 4.5 … (1)补齐上表； (2)在所给坐标系内描出表格中的点； (3)将上述各点用平滑曲线连线． (4)由图象可知：当时， ；当时，x的取值范围是 ． 题型2 的图象特征 【例3】函数与的图象的关系是（ ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【例4】抛物线与相比（ ） A．开口更大 B．开口更小 C．开口相同 D．无法比较 【易错提醒】 （1）开口大小规律易记反：极易误认为二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越大。实际规律为：越大，抛物线开口越窄、越小；越小，抛物线开口越宽、越大。 （2）共性特征易误判：容易误以为二次项系数改变时，抛物线的对称轴、顶点坐标也会变化。所有形如的抛物线，对称轴均为y轴（直线x=0），顶点均为坐标原点，仅开口方向与大小发生改变。 【变式2-1】嘉嘉用软件绘制抛物线时，将系数“3”误认为“”，得到的新抛物线与原抛物线相比，发生改变的是（ ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【变式2-2】（1）在同一直角坐标系中，画出函数，，与的图象． （2）观察（1）中所画的图象，回答下列问题： ①由图象可知抛物线与抛物线___________的形状相同，且两抛物线关于___________轴对称；同样，抛物线与抛物线___________的形状相同，也关于___________轴对称． ②当相同时，抛物线开口大小___________；当变大时，抛物线的开口___________；当变小时，抛物线的开口___________． 应用：抛物线与中，开口较小的抛物线是___________． 题型3 二次函数图象的左右平移 【例5】抛物线的形状与抛物线相同，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例6】某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【易错提醒】 （1）抛物线形状相同仅由二次项系数的绝对值决定，与开口方向无关。已知形状相同求参数a时，极易只写出与原抛物线一致的正值，漏掉开口反向的负值情况，正确结果应为（k为已知抛物线的二次项系数）。 （2）图象平移只改变抛物线的位置，不改变开口方向和开口大小，即二次项系数a始终保持不变。解题时易混淆平移变换和伸缩变换的区别，错误修改a的取值。 （3）二次函数左右平移遵循“左加右减”，且仅对自变量x本身操作，向右平移易错误写成“x+平移距离”；顶点式的顶点横坐标为h，当括号内为时，对应顶点横坐标为，极易直接误判为正号。 【变式3-1】函数是向右平移2个单位后的解析式是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）． A． B． C． D． 题型4 二次函数图象的上下平移与综合平移 【例7】二次函数的图象不经过的象限为（ ） A．第三象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第一象限、第二象限 D．第一象限、第四象限 【例8】将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为______． 【易错提醒】 （1）左右平移遵循“左加右减”且仅对自变量x本身进行加减（需对x加括号）；上下平移遵循“上加下减”，作用在常数项上。 （2）图象平移只改变抛物线的位置，二次项系数a保持不变，因此开口方向、开口大小、增减性规律均不会改变，解题时容易误以为平移后形状或开口会发生变化。 【变式4-1】关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（ ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 【变式4-2】已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式； (2)将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标． 题型5 一般式二次函数的图像特征 【例9】已知二次函数，那么它的图像大致为（ ） A． B． C． D． 【例10】已知二次函数的图象过点． (1)求此二次函数的解析式； (2)写出该二次函数的顶点坐标和对称轴． 【易错提醒】 （1）求一般式二次函数的顶点除了配方法化成顶点式外，还可以用公式法求顶点坐标是：。 （2）逆向平移方向易混淆：已知平移后的解析式反推原抛物线时，容易顺向重复平移操作，正确做法是逆向还原（向右平移的逆过程是向左平移，向下平移的逆过程是向上平移）；且左右平移仅对自变量x本身操作，必须给x加括号，不能直接在常数项上加减。 【变式5-1】将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知二次函数． (1)用配方法将二次函数化为顶点式，并写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)描点画图，结合图象直接写出当时的取值范围． A组 基础过关 1．二次函数的对称轴方程和顶点坐标分别是（　　） A． B． C． D． 2．将抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得新抛物线和原抛物线相比，不变的是（ ） A．对称轴 B．开口方向 C．和y轴的交点 D．顶点． 3．关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 4．二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为　　 A．向下，直线， B．向下，直线， C．向上，直线， D．向下，直线， 5．关于抛物线，下列说法正确的是( ) A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．可由抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度得到 6．已知抛物线． (1)求这个抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)将这个抛物线平移，使顶点移到点的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程． B组 综合提升 7．关于二次函数的图象，下列说法错误的是（ ） A．对称轴在轴的右侧 B．与轴的交点坐标为 C．顶点坐标为 D．是由抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的 8．一位运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线， （1）求铅球所经过路线的函数表达式； （2）求出铅球的落地点离运动员有多远． 9．已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． (1)求这个二次函数的关系式； (2)判断点是否在这条抛物线的图像上． 10．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C．高度为3m．水柱落地点D离池中心A处3m．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．    （1）求水柱所在抛物线的函数解析式； （2）求水管AB的长． C组 挑战突破 11．已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（ ） A． B． C． D． 12．如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为_____． 13．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 14．将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为（ ） A．， B．， C．， D．， 15．如图，直线l过A(3，0)和 B(0，3)两点，它与二次函数的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求该二次函数的解析式． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $