1.1 二次函数（知识解读）-2026-2027学年浙教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数概念及列关系式核心知识点，系统梳理二次函数定义（形如y=ax²+bx+c，a≠0）、三要素（整式、最高次2、a≠0）及自变量取值范围，构建从概念识别到参数求解、一般形式转化，再到实际与几何模型建立的递进式学习支架。 资料以题型分类为特色，含5类核心题型及例题、变式题，通过悬索结构抛物线识别培养几何直观（数学眼光），参数求解强化推理意识（数学思维），销售利润与矩形面积模型建立发展模型观念（数学语言）。课中辅助分层教学，课后随堂检测助力学生查漏补缺。

1.1 二次函数（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 二次函数的识别】 2 【题型2 根据二次函数的定义求参数】 3 【题型3 二次函数的一般形式】 5 【题型4 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）】 6 【题型5 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）】 8 【随堂检测】.................................................................................................................................................................9 ... 知识点1 二次函数的概念 1. 一般地，形如（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数. 一次项系数 常数项 二次项系数 （a不为0） b,c没有 条件限制 必须化为一般形式， 方可判断各项的系数 2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0. 3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义. 知识点2 列二次函数关系式 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 【题型1 二次函数的识别】 【例1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 【变式1-1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义：形如的函数是二次函数，逐一判断各选项，即可作答． 【详解】解：A、，最高次数为1，不是二次函数，故该选项不符合题意； B、，最高次数不是2，不是二次函数，故该选项不符合题意； C、，符合二次函数定义，故该选项符合题意； D、，最高次数为3，不是二次函数，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式1-2】如图，工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型．下列函数图像是抛物线的是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型， ∴函数图像是抛物线的是二次函数， 故选：． 【变式1-3】在下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；根据二次函数的定义，形如（其中为常数，且)的函数是二次函数，据此问题可求解． 【详解】解：A、，不是二次函数； B、，可能为0，所以不一定是二次函数； C、，，是二次函数； D、，含有分式，不是二次函数； 故选：C． 【题型2 根据二次函数的定义求参数】 【例2】已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 【变式2-1】若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 【变式2-2】若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．需满足自变量最高次数为2且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数． ∴根据二次函数定义可得： 由，得， 即或 又∵， ∴ ∴． 故选：C 【变式2-3】若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：B． 【题型3 二次函数的一般形式】 【例3】将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 【变式3-1】把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的一般式，把函数的表达式化简成的形式即可求解，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 【详解】解：化成一般式为， ∴二次项系数和一次项系数分别为，， 故选：． 【变式3-2】把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次函数的一般形式． 将二次函数化为一般形式，需展开并合并同类项，即可得到一次项系数． 【详解】解：∵， ∴ 一次项系数为． 故选：C． 【变式3-3】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 【题型4 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）】 【例4】某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 【详解】解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 【变式4-1】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 【变式4-2】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【变式4-3】已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 【题型5 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）】 【例5】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据长方形的面积公式列出函数关系式即可. 【详解】解：设鸡场的宽为． 由题意可得：， ∴. 故选：B 【变式5-1】小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 【变式5-2】在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：设剩下部分的面积为y，则：， 故选：B． 【变式5-3】若正方形的边长为，边长增加，面积增加，则关于的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示出原边长为6的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y可列出方程． 【详解】原边长为6的正方形面积为：6×6=36， 边长增加x后边长变为：x+6， 则面积为：（x+6）2， ∴y=（x+6）2-36=x2+12x． 故选D． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 1．下列函数中，一定属于二次函数的是（   ）随堂检测c A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义、一次函数和反比例函数的概念，熟练掌握二次函数的定义及一般形式中二次项系数不为0的条件是解题的关键．根据二次函数的定义，即形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，逐一分析选项即可． 【详解】∵二次函数的定义为形如（、、是常数，）的函数， ∴对各选项分析如下： A选项：中未明确，当时，不是二次函数，故A不符合题意； B选项：是一次函数，不符合二次函数定义，故B不符合题意； C选项：是反比例函数，不符合二次函数定义，故C不符合题意； D选项：满足的二次函数形式，故D符合题意； 故选：D． 2．若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 3．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 4．已知与的平方成正比，当时，，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数的解析式．根据题意，与的平方成正比，可设，再代入已知条件求出比例常数，即可得到函数关系式． 【详解】解；∵ 与成正比， ∴ 设（为常数）， 当时，， ∴ ， 解得，， ∴． 故选：A． 5．下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义条件：（1）一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为；（1）二次函数的定义条件是：、、为常数，，自变量最高次数为．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A、两直角边的和为的直角三角形， 设两直角边分别为，则， ∴ ∴ ∴面积与斜边的关系是二次函数，故此选项符合题意； B、关系式为：，是一次函数，故此选项不符合题意； C、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 6．某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 7．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 8．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【详解】解：， 故答案为：． 9．已知函数． （1）当______时，该函数为一次函数： （2）当______时，该函数为二次函数． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一次函数的定义，利用函数的定义建立方程或不等式是解本题的关键． （1）根据一次函数的定义，一次项的系数不能为零，且二次项的系数应该为0，据此求解得出k的值； （2）根据二次函数的定义，二次项的系数不能为0，列出不等式，求解得出k的取值范围． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数， ∴，且， 解得：且， ∴； （ 2 ）∵函数为二次函数， ∴， ∴． 故答案为：；． 10．一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 首先表示出原边长为4厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为4厘米的正方形面积为：（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：， 则面积为：平方厘米， ∴． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 二次函数（知识解读） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 二次函数的识别】 2 【题型2 根据二次函数的定义求参数】 2 【题型3 二次函数的一般形式】 2 【题型4 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）】 3 【题型5 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）】 3 【随堂检测】.................................................................................................................................................................4 ... 知识点1 二次函数的概念 1. 一般地，形如（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中，是自变量，二次函数的二次项系数、一次项系数分别是a,b，常数项是c .自变量的取值范围是全体实数. 一次项系数 常数项 二次项系数 （a不为0） b,c没有 条件限制 必须化为一般形式， 方可判断各项的系数 2. 二次函数必须同时满足三个条件：（1）函数解析式为整式；（2）化简后自变量的最高次数是2；（3)二次项系数不为0. 3. 二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义. 知识点2 列二次函数关系式 1.理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言； 2.分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式； 3.列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式. 【题型1 二次函数的识别】 【例1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，工程师为了保证桥梁稳固，悬索结构设计成抛物线型．下列函数图像是抛物线的是（    ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．二次函数 【变式1-3】在下列各式中，y是x的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据二次函数的定义求参数】 【例2】已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】若是关于的二次函数，则的值是（ ） A． B． C． D．或 【变式2-3】若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型3 二次函数的一般形式】 【例3】将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（  ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-2】把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B．3 C． D． 【变式3-3】将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【题型4 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用）】 【例4】某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A．B．C． D． 【题型5 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形）】 【例5】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长），墙对面有一个宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长，若鸡场的宽为，养鸡场面积为，则S与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】若正方形的边长为，边长增加，面积增加，则关于的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 1．下列函数中，一定属于二次函数的是（   ）随堂检测c A． B． C． D． 2．若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知与的平方成正比，当时，，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 5．下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 6．某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 7．若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 8．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为______． 9．已知函数． （1）当______时，该函数为一次函数： （2）当______时，该函数为二次函数． 10．一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $