第2章 素能培优(1) 指对幂的大小比较（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指对幂大小比较”核心考点，依据高考评价体系明确考查要求，即综合运用幂函数、指数函数、对数函数的运算及单调性等知识。通过梳理借助中间值、基本不等式、构造函数等五种常考题型，精准对接高考命题规律，体现备考的针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题与模拟题训练结合，如例1借助中间值0和1比较大小，例3通过构造函数分析单调性，培养学生数学思维与数学眼光。系统归纳“中间值法”“构造函数法”等突破技巧，帮助学生高效掌握答题方法，提升得分率，为教师复习教学提供清晰的题型分类与方法指导。

素能培优(一)　指对幂的大小比较 指、对、幂“比大小”是高考中的经典题型,命题者常将其设计为选择题,综合考查幂函数、指数函数、对数函数等的运算和单调性等知识.这类题目难度灵活多变.解答时,可从代数与几何双角度切入,灵活运用函数性质与图象分析进行求解. 以下通过例题对比较大小的常用方法进行归纳总结. 题型一　借助中间值比较大小 例1　(1)(2026·福建厦门高三期中)设a=log0.43,b=log43,c=30.4,则(　　) A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.b<a<c A 解析 a=log0.43,因为0.4<1,所以a<log0.41=0;b=log43,因为4>1,所以0=log41<b<log44=1;c=30.4,因为3x单调递增,所以c>30=1.因此a<b<c. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (2)(2025·辽宁本溪期中)设a=80.4,b=()-1.3,c=lg 92,则a,b,c的大小关系为(　) A.a<c<b B.c<b<a C.a<b<c D.c<a<b D 解析 因为函数y=2x在R上单调递增,所以()-1.3=21.3>21.2=80.4>2,即b>a>2.又因为函数y=lg x在区间(0,+∞)上单调递增,所以lg 92<lg 100=2,所以c<a<b.故选D. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 规律方法　当底数、指数、真数等都不相同时,可寻找中间量0,1或者其他能判断大小关系的中间量,借助中间值进行大小关系的判定. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练1](2025·广东佛山模拟)已知a=log721,b=log510,c=log33,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b B 解析 由已知得c=log33=log3,a=log721=log7(3×7) =1+log73>1+log7=1+,b=log510=log5(2×5) =1+log52<1+log5=1+,所以a>c>b.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型二　利用基本不等式比较大小 例2　(2025·四川乐山模拟)若a=log32,b=log43,c=e-2,则a,b,c的大小关系 是(　　) A.b<c<a B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b D 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 由于a=log32>log3,b=log43>log4,c=e-2<,所以a>c,b>c. (方法1)又a-b=log32-log43==0,所以a<b,因此c<a<b.故选D. (方法2)又=1,所以a<b,因此c<a<b.故选D. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 规律方法　当两个对数的底数与真数都不相同,特别是形如:logm(m+k), log(m+k)(m+2k),log(m+2k)(m+3k)的对数比较大小时,可通过作差或作商,并利用换底公式化为同底数的对数,然后利用基本不等式将两个对数的积进行放缩,从而确定差的符号或商与1的大小关系,从而确定两个数的大小. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练2]已知a=log75,b=log97,c=log119,则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a A 解析 因为log75-log97=,lg 7lg 9>0, 又因为lg 5lg 9<()2=()2<()2=lg27,所以log75-log97<0,即a<b.因为log97-log119=,又lg 7lg 11<()2 =()2<()2=lg29,所以log97-log119<0,即b<c, 所以a<b<c,故选A. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型三　构造函数比较大小 例3　(1)(2025·福建龙岩模拟)已知实数a,b,c满足2a+a=2,2b+b=, c=log163,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<a<b B.a<b<c C.a<c<b D.b<c<a A 解析 c=log163<log164=log16,构造函数f(x)=2x+x,x∈R,则f(a)=2a+a=2,f(b)=2b+b=,由于f(x)单调递增,且2<,即f(a)<f(b),所以a<b. 又f()=<2,所以f(a)>f(),即a>,所以c<a<b.故选A. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (2)(2025·山西大同模拟)已知a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为(　) A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.c<a<b D 解析 令f(x)=,f'(x)=,令f'(x)>0,得0<x<e,令f'(x)<0,得x>e,所以f(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减. 因为c==f(),a==f(3),b==f(e),且>3>e,所以f()<f(3)<f(e),即c<a<b.故选D. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 规律方法　某些数或式子的大小关系问题,看似与函数单调性无关,但仔细挖掘问题的内在联系,抓住其本质,将各个值中共同的量用变量替换,构造函数,利用导数研究得到函数的单调性,即可比较大小. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练3](2025·浙江宁波期末)若ln x-ln y>y2-x2,则下列选项正确的 是(　　) A.ex-y>1 B.ex-y<1 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0 A 解析 由ln x-ln y>y2-x2可得x2+ln x>y2+ln y,令f(x)=x2+ln x,x>0,可知y=f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,由x2+ln x>y2+ln y,即f(x)>f(y),可得x>y>0.对于选项A,B,因为x>y>0,则x-y>0,且y=ex在R上单调递增,所以ex-y>e0=1,故A正确,B错误;对于选项C,D,利用x=2,y=1,满足x>y>0,但ln|x-y|=ln 1=0,故C,D错误.故选A. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型四　利用函数图象比较大小 例4　(1)已知a=loa,b=lob,c=loc,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a D 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 a=loa可以看成y=x与y=lox图象的交点的横坐标为a,b=lob可以看成y=x与y=lox图象的交点的横坐标为b,c=loc可以看成y=x与y=lox图象的交点的横坐标为c,画出函数的图象如图所示, 由图象可知,c<b<a. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (2)若正数x,y,z满足5x=6y=log7z,则下列选项正确的是(　　) A.z>y>x B.x>z>y C.y>z>x D.z>x>y D 解析 不妨令5x=6y=log7z=k(k>0), 设f(x)=5x,g(x)=6x,h(x)=log7x,p(x)=k,在同一坐标系中分别作出函数f(x),g(x),h(x),p(x)的图象(如图所示),由图象可得z>x>y.故选D. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 规律方法　借助函数与方程思想,将要比较大小的量视为相关函数图象上点的纵坐标或横坐标,然后通过图象的高低位置进行大小比较. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练4](2025·浙江绍兴模拟)若()a=log2a,()b=b2,=2-c,则正数a,b,c的大小关系是(　　) A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c B 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 由()a=log2a,则a为y=()x与y=log2x交点的横坐标,由()b=b2,则b为y=()x与y=x2交点的横坐标,由=2-c,即=()c,则c为y=()x与y=交点的横坐标,作出y=()x,y=log2x,y=x2,y=的图象如图所示,由图可知,c<b<a.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型五　特殊化方法比较大小 例5　已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.a>c>b C 解析 (方法1　取特殊值法)不妨取a=0,则b=e,c=1,于是有b>c>a.故选C. (方法2　构造函数法)设f(x)=ln x-x,则f'(x)=-1=,当0<x<1时,f'(x)>0,则函数f(x)在(0,1)内单调递增,当x>1时,f'(x)<0,则函数f(x)在(1,+∞)内单调递减,所以f(x)max=f(1)=-1<0,所以ln x<x,所以a=ln c<c.又因为ln(ln b)=ln c,所以c=ln b<b,所以b>c>a.故选C. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 规律方法　当要比较大小的几个量不是具体数值,而是具有某种等量关系的几个字母时,可以将其中的字母取一组符合等量关系的特殊的简单数值,通过这组特殊数值来确定它们的大小关系. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练5]已知正数a,b,c满足aln b=b·ec=c·a,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<b<a D 解析 (方法1　取特殊值法)取b=e,则c=1,a=e2,显然c<b<a.故选D. (方法2　构造函数法)a,b,c均为正数,因为aln b=c·a,所以c=ln b,设aln b =b·ec=c·a=t(t>0),则a=,b=,c=ln b,令f(x)=ln x-x(x>0),则f'(x)=-1 =,当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)≤f(1)=-1<0,即ln x<x,所以ln b<b.因为>1,所以a>b.又因为c=ln b,得c<b. 综上,c<b<a.故选D. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 $