第2章 第10节 函数与方程（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数与方程”专题，依据新课标要求覆盖函数零点定义、零点存在定理、二分法求近似解等核心考点，通过真题改编题与模拟题分析考点权重，归纳判断零点所在区间、个数及参数范围等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“考点突破+规律总结+变式训练”的备考策略，如例2结合图像法与性质法判断零点个数，培养学生数学思维与直观想象素养，提供“零点存在定理应用”“嵌套函数换元法”等技巧，帮助学生掌握答题方法，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

第10节　函数与方程 课标解读　1.结合学过的函数图象,了解函数的零点与方程解的关系.会判断函数零点所在区间及零点个数.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.3.能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版必修第一册习题4.5第2题改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,部分对应关系如表所示,则该函数的零点个数至少为(　　) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64 A.2 B.3 C.4 D.5 B 解析 由表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,所以函数f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点. 2.(人教B版必修第一册习题3-2A第10题改编)若函数f(x)是偶函数,且其图象与x轴有四个交点,则f(x)的所有零点之和为(　　) A.4 B.8 C.0 D.无法计算 C 解析 由于偶函数的图象关于y轴对称,且f(x)有4个零点,所以其成对出现,每一对零点的和都为0,所以f(x)的所有零点之和为0.故选C. 3.(人教A版必修第一册习题4.5第1题改编)下列图象所表示的函数中,不能用二分法求零点的是(　　) B 解析 观察图象与x轴的交点,若交点附近的函数图象是连续的,且在交点两侧的函数值符号相异,则可用二分法求零点,而B不能用二分法求零点. 4.(人教A版必修第一册复习参考题4第5(3)题改编)已知函数f(x)=2x+x, g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别是a,b,c,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c B 解析 在同一坐标系中作出函数y=2x,y=log2x,y=x3以及y=-x的图象,则函数y=2x,y=log2x,y=x3与直线y=-x的交点横坐标分别为三个函数的零点,由图象可知a<0,b>0,c=0,因此a<c<b.故选B. 知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x),我们把使　　　　　的实数x叫做函数y=f(x)的零点.  　　　　　零点不是点,是一个实数 f(x)=0 2.函数零点存在定理 微点拨 1.零点存在定理只能判断零点是存在的,但不能确定零点的个数,但如果函数是单调函数,又满足零点存在定理,则函数在该区间上有唯一的零点. 2.图象连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值同号. 微思考 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,y=f(x)在(a,b)内有零点,那么一定有f(a)f(b)<0吗? 提示 不一定.例如,函数f(x)=x2-1在区间[-2,2]上的图象是连续不断的一条曲线,且在(-2,2)内有零点,但f(-2)f(2)>0.事实上,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么“f(a)f(b)<0”是“y=f(x)在(a,b)内有零点”的充分不必要条件. 3.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且　　　　　　　　的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在区间　　　　　　,使所得区间的两个端点逐步逼近　　　　,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.  微点拨 连续不断的函数图象,在零点的左右两侧,函数值可能变号,也可能不变号.二分法求的是变号零点. f(a)f(b)<0 一分为二 零点 研考点•精准突破 考点一　判断函数零点所在的区间 例1　(1)(2025·湖北十堰模拟)函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) C 解析 函数f(x)=x+ln x-4的定义域为(0,+∞),因为f(x)在区间(0,+∞)上连续且单调递增,且f(2)=-2+ln 2<0,f(3)=-1+ln 3>0,则f(2)·f(3)<0.由零点存在定理可知,函数f(x)=x+ln x-4的零点所在的区间是(2,3). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(2026·北京朝阳高三期中)若方程x+ln x=8在区间(n,n+1)(n∈N*)上有解,则n=(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 C 解析 由x+ln x=8,则x-8+ln x=0,x>0,因为函数y=x-8,y=ln x在区间(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=x-8+ln x在区间(0,+∞)上单调递增.又f(6)=-2+ln 6 =-ln e2+ln 6=ln<ln 1=0,f(7)=-1+ln 7=-ln e+ln 7=ln>ln 1=0,则函数f(x)有且仅有一个零点x0,且x0∈(6,7),则n=6. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　判断函数y=f(x)在某个区间内是否存在零点的方法 利用函数零 点存在定理 首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点;若没有,则不一定有零点 图象法 通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间内是否有交点来判断 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练1](2025·浙江宁波期末)方程2x+x3-9=0的实数根所在区间为(　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) B 解析 令f(x)=2x+x3-9,则方程2x+x3-9=0的实数根就是函数f(x)的零点,易知f(x)为单调递增函数,且f(1)=2+1-9=-6<0,f(2)=4+8-9=3>0,所以f(x)在区间(1,2)内有零点,即方程的实数根所在区间是(1,2).故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点二　判断函数零点的个数 例2　(1)(2025·江苏扬州模拟)函数f(x)=sin x-sin 2x在区间[0,π]上的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 解析 因为f(x)=sin x-sin 2x=sin x-2sin xcos x=sin x(1-2cos x),令f(x)=0,得 sin x=0或1-2cos x=0,即sin x=0或cos x=.又x∈[0,π],所以当sin x=0时,解得x=0或x=π;当cos x=时,解得x=,因此函数f(x)=sin x-sin 2x在区间[0,π]上共有3个零点.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(2025·广东韶关模拟)函数f(x)=ln|x|+3-x的零点个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 A 解析 令f(x)=ln|x|+3-x=0得ln|x|=x-3,在同一坐标系中分别作出函数y=ln|x|,y=x-3的图象(如图所示),可以发现两个函数图象共有3个交点,因此函数f(x)一共有3个零点.故选A. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)已知函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),当x∈[0,2)时,f(x)=x3-x2-2x,则f(x)在[0,8]上的零点个数为(　　) A.4 B.6 C.8 D.9 D 解析 因为f(x+1)=f(x-1),所以f(x+2)=f(x),因此f(x)的周期为2,当x∈[0,2)时,f(x)=x3-x2-2x,令f(x)=x3-x2-2x=0,解得x=0或x=或x=(舍去),所以当x∈[0,2)时,f(x)有两个零点,于是f(x)在[0,8)上的零点个数为2×4=8,又因为f(8)=f(0)=0,所以f(x)在[0,8]上的零点个数为9,故选D. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　函数零点个数的判断方法 直接法 令f(x)=0,该方程有几个不同的根就有几个零点 图象法 单个函 数图象 函数f(x)的图象与x轴交点的个数就是函数f(x)的零点个数 两个函 数图象 将f(x)拆成两个函数h(x)和g(x)的差,根据f(x)=0⇔h(x)=g(x),则f(x)的零点个数就是h(x)和g(x)的图象的交点个数 性质法 利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等分析判断函数零点个数 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练2](2025·吉林长春期末)函数f(x)=的零点个数 为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 解析 当x≤0时,由x5-x3=0,解得x=0或x=-1或x=1(舍去);当x>0时,令g(x) =ln x-,则g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(e)=ln e- =1->0,所以g(x)在区间(1,e)上存在唯一的一个零点. 综上,f(x)的零点个数为3.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考点三　函数零点的应用 考向1　根据函数零点情况求参数范围 例3　(1)(2025·广东深圳期末)已知函数f(x)=x5+4x+a在区间(-1,1)内有零点,则实数a的取值范围是(　　) A.(-5,5) B.(-∞,-5)∪(5,+∞) C.[-5,5] D.(-∞,-5]∪[5,+∞) A 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 因为y=x5是增函数,y=4x+a也是增函数,所以f(x)是R上的增函数. 又因为f(x)在区间(-1,1)内有零点, 所以 解得-5<a<5.故选A. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)[一题多变](2025·江苏扬州模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(　　) A.[,1) B.(,1) C.[,1] D.[,+∞) B 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 依题意方程f(x)-a=0有三个实数根,即函数y=f(x)与y=a的图象有三个交点.作出f(x)的图象(如图所示),当x≤0时,f(x)=x2+x+1=(x+)2+,即f(-)=,当x>0时,f(x)=2-x=()x,所以0<f(x)<1,由图象可得实数a的取值范围是<a<1.故选B. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (3)(2025·上海浦东模拟)已知函数f(x)=x4+2alog2(|x|+2)-a-1的零点有且只有一个,则实数a的取值集合为　　　　　.  {1} 解析 因为f(x)定义域为R,且f(-x)=(-x)4+2alog2(|-x|+2)-a-1 =x4+2alog2(|x|+2)-a-1=f(x),所以f(x)为偶函数.又因为函数f(x)的零点有且只有一个,所以该零点就是0,即f(0)=0,因此2a-a-1=0,解得a=1,所以实数a的取值集合为{1}. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 AI变式 [变式1](改变零点个数)本例(2)中,若函数f(x)解析式不变,将条件改为“若函数g(x)=f(x)-a有零点”,则实数a的取值范围为　　　　　.  (0,+∞) 解析 因为函数g(x)=f(x)-a有零点,所以方程f(x)-a=0有实数根,即a=f(x),由函数f(x)的图象可知f(x)的值域为(0,+∞),因此实数a的取值范围是(0,+∞). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [变式2](求零点和的范围)本例(2)中,若所有条件不变,并且设3个不同的零点分别为x1,x2,x3(x1<x2<x3),则x1+x2+x3的取值范围为　　　　　　　.  (-1,1-log23) 解析 由图象可知,x1,x2两个零点关于直线x=-对称,所以x1+x2=-1,于是x1+x2+x3=-1+x3.又当a=1时,x3=0,当a=时,x3=lo=-log2=2-log23,所以0<x3<2-log23,因此x1+x2+x3∈(-1,1-log23). 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　已知函数零点情况求参数取值范围的方法 (1)分离参数法:若已知函数有零点(个数未知),可将参数分离到等式一边,等式另一边视为函数解析式,则该函数的值域即为参数的取值范围; (2)数形结合法:若已知函数零点的个数,可将解析式变形,进而构造两个函数,在同一坐标系中画出两个函数的图象,利用数形结合的方法求得参数取值范围; (3)函数性质分析法:已知函数零点个数时,可以结合对函数奇偶性、单调性、周期性的分析,将条件进行转化,建立参数应满足的条件不等式,进而求出其取值范围; (4)零点存在定理法:若已知函数零点所在的区间,可根据函数零点存在定理,结合函数的单调性建立不等式求得参数的取值范围. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练3](2026·陕西渭南模拟)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-a恰有3个零点,则实数a的取值范围为(　　) A.(-1,3] B.[0,3] C.(-1,0] D.[3,+∞)∪{-1} A 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 若函数g(x)=f(x)-a恰有3个零点,即函数y=f(x)与y=a的图象有3个交点,而当x≤0时,f(x)=x2+4x+3在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间(-2,0]上单调递增,当x>0时,由对数函数性质得f(x)=1+lox单调递减,当x=0时,f(x)=3,当x=-2时,f(x)=-1, 可得函数y=f(x)的图象如图所示,结合图象可得-1<a≤3,故A正确. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 考向2　函数零点的综合应用 例4　(多选题)(2025·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=ex+2x-2,g(x) =2ln x+x-2的零点分别为x1,x2,则下列说法正确的是(　　) A.0<x1<,1<x2<2 B.x1=ln x2 C.2x1+x2=2 D.x1+x2≤ ABC 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 对于A,由f(x)=0,g(x)=0得ex=-2x+2,ln x=-x+1,所以函数y=ex与 y=-2x+2图象交点的横坐标即为x1,函数y=ln x与y=-x+1图象交点的横坐标即为x2(如图所示),由图象可知0<x1<,1<x2<2,故A正确;对于B,C,由已知得+2x1-2=0,2ln x2+x2-2=0,所以+2x1=2ln x2+x2=2,即+2ln =2ln x2+x2=2.令h(t)=2ln t+t,则h()=h(x2),又h(t)=2ln t+t是单调函数,所以=x2,从而x1=ln x2,且2x1+x2=2x1+=2,故B,C均正确;对于D,(方法1)由2ln x2+x2=2,x1=ln x2以及1<x2<2可得x1+x2=ln x2+x2==1+x2>,故D错误. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (方法2)由于2x1+x2=2且0<x1<,所以x1+x2=(2x1+x2)-x1=2-x1>,故D错误.故选ABC. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　函数零点综合应用的策略 (1)合理运用函数与方程思想进行转化:函数零点即方程的根,所以解决函数零点问题,经常转化为方程问题进行求解; (2)善于运用数形结合思想解决问题:借助数形结合可以直观、形象、简洁地解决函数零点问题. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练4]设k为实数,若函数f(x)=x2-2x+k在区间[-1,0]上有零点,则实数k的取值范围是　　　　　.  [-,1] 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 (方法1　图象法)因为函数f(x)=x2-2x+k在区间[-1,0]上有零点,所以关于x的方程x2-2x+k=0在区间[-1,0]上有解,即函数y=x2+k与y=2x的图象在区间[-1,0]上有交点,在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2+k,y=2x的图象,如图所示. 由图象知,当y=x2+k的图象过点(0,1)时,k=1; 当y=x2+k的图象过点(-1,)时,k=-. 故实数k的取值范围是[-,1]. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (方法2　定理法)易知函数y=x2和函数y=-2x在区间[-1,0]上单调递减,从而函数f(x)在区间[-1,0]上单调递减.又函数f(x)在区间[-1,0]上有零点, 所以f(-1)f(0)=(+k)·(-1+k)≤0,解得-≤k≤1. 故实数k的取值范围是[-,1]. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 思维进阶(四)　嵌套函数的零点 形如y=f(f(x))或y=f(g(x))的函数称为嵌套函数.嵌套函数零点涉及内外两层函数零点,常采用换元法处理.求解时要注意抓住两点:(1)转化换元;(2)充分利用函数的图象与性质. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 典例(1)(2025·江苏镇江模拟)已知函数f(x)=则y=f(f(x))-1的零点个数为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 C 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 令f(x)=t,则由y=f(t)-1=0可得 解得t=ln 4或t=0或t=-2. 作出函数f(x)的大致图象(如图所示),结合图象可知,当t=f(x)=ln 4时,由于1<ln 4<2,所以有3个解;当t=f(x)=0时,有2个解;当t=f(x)=-2时,有1个解.故函数y=f(f(x))-1的零点个数为6.故选C. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(2026·湖南衡阳模拟)已知函数f(x)=若有另一函数g(x)=af2(x)-2f(x)+1-2a有且仅有3个不同零点,则实数a的取值范围为(　　) A.() B.() C.(] D.(] D 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 作出函数f(x)=的图象, 函数g(x)=af2(x)-2f(x)+1-2a的零点等价于方程af2(x)-2f(x)+1-2a=0,当a=0时,此时方程化为-2f(x)+1=0,可得f(x)=,由f(x)=,结合图象,可得方程仅有2个解,此时不满足题意,故a≠0; 当a=时,此时方程化为f2(x)-2f(x)=0,可得f(x)=0或f(x)=4, 考点一 考点二 考点三 思维进阶 由f(x)=0可得方程有一个解为x=1, 由f(x)=4,结合图象,可得方程有3个解,此时不满足题意,故a≠; 所以要使得函数g(x)有且仅有3个不同零点,则满足f(x)≥3, 由于Δ=4-4a(1-2a)=4(2a2-a+1)=4[2(a-)2+]>0, 所以二次方程at2-2t+1-2a=0的根仅有一个满足t≥3,另一个根t<0,则满足 解得<a≤. 综上,实数a的取值范围为(]. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 规律方法　求函数y=f(g(x))的零点个数的方法 (1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)和t=g(x)的图象; (2)由函数y=f(t)的图象观察有几个t的值满足条件,结合t的值观察t=g(x)的图象,求出每一个t被x对应,将x的个数汇总后,即为y=f(g(x))的实数根的个数,即“从外到内”; (3)由零点的个数结合t=g(x)与y=f(t)的图象特点,从而确定t的取值范围,进而决定参数的范围,即“从内到外”. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 [对点训练](1)(2025·山东临沂三模)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))有8个零点,则实数a的取值范围为(　　) A.(1,+∞) B.(-∞,0) C.(-1,0) D.(-∞,-1) D 考点一 考点二 考点三 思维进阶 解析 当a≥0,x≤0时,f(x)=-x2+2ax,y=-x2+2ax的图象的对称轴为x=a≥0,所以f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,函数图象如下, 考点一 考点二 考点三 思维进阶 令f(x)=t,y=f(f(x))=f(t)=0,解得t=0或t=1,即f(x)=t=0或f(x)=t=1,根据图象f(x)=t=0有2个解,f(x)=t=1有1个解,所以此时y=f(f(x))有3个零点,不符合题意;当a<0,x≤0时,f(x)=-x2+2ax,y=-x2+2ax的图象的对称轴为x=a<0,所以f(x)在区间(-∞,a)上单调递增,在区间(a,0)上单调递减,函数图象如下, 令f(x)=t,y=f(f(x))=f(t)=0, 解得t=2a或t=0或t=1,根据图象f(x)=t=2a<0有2个解, f(x)=t=0有3个解,又y=f(f(x))有8个零点, 所以f(x)=t=1要有3个解, 即解得a<-1. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 (2)(2025·福建宁德期末)已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))的所有零点之和为　　　　　.  解析 设m=f(x),则f(m)=0,当m≤0时,2m+2=0,得m=-1;当m>0时,log4m=0,得m=1,所以由f(m)=0,得m=-1或m=1.当m=f(x)=-1时,可得解得x=-或x=;当m=f(x)=1时,可得解得x=-或x=4.综上,函数y=f(f(x))的所有零点为-,-,4,所有零点的和为(-)++(-)+4=. 考点一 考点二 考点三 思维进阶 A B C D $