第2章 第7节 指数函数（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦指数函数专题，依据课标和高考评价体系梳理概念、图象性质及应用三大核心考点，通过教材改编题与模拟题分析考点权重，归纳定义域值域、单调性判断等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件特色为“知识梳理+真题训练+技巧总结”，微点拨区分指数函数与指数型函数，规律方法总结比较大小四步法培养数学思维，典型题例如用中间量法比较幂值大小，助学生掌握技巧，为教师提供系统复习框架，提升教学效率。

第7节　指数函数 课标解读　1.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.2.能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教B版必修第二册习题4-1B第4(3)题改编)函数f(x)=的定义域和值域分别是(　　) A.R,(0,+∞) B.[0,+∞),(0,+∞) C.[0,+∞),[1,+∞) D.[0,+∞),R C 解析 要使函数有意义,应满足x≥0,因此定义域为[0,+∞),当x≥0时,≥0,所以≥1,即函数的值域为[1,+∞).故选C. 2.(苏教版必修第一册第六章本章测试第8题改编)设a>0,a≠1,如果函数f(x)=ax满足f(2)>f(3),那么a的取值范围是(　　) A.(0,1) B.(1,2] C.(2,3] D.(3,+∞) A 解析 因为函数f(x)=ax为单调函数,且f(2)>f(3),故函数f(x)=ax为减函数,所以0<a<1. 3.(人教B版必修第二册4.1.2节例2改编)已知实数a,b满足()a>()b,则6a与6b的大小关系为　　　　　.  6a<6b 解析 函数y=()x为减函数,所以由()a>()b得a<b.又因为y=6x为增函数,所以应有6a<6b. 4.(人教A版必修第一册习题4.2第9题改编)已知函数f(x)=a·()|x|+b的图象过原点,且无限接近直线y=2,但又不与该直线相交,则f(x)的解析式为　　　 　　　　.  f(x)=2-2·()|x| 解析 依题意有解得 所以f(x)=2-2·()|x|. 知识梳理 1.指数函数的概念 函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域为R,a是底数. 微点拨 形如y=kax,y=akx+b+h(a>0,且a≠1,k≠0)等的函数称为指数型函数,不是指数函数. 2.指数函数的图象与性质 y=ax 0<a<1 a>1 “撇增捺减” 图象     定义域 R 值域 ____________________  (0,+∞) 性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1    比较幂值大小的重要依据 在定义域R上是　　　　  在定义域R上是　　　　  减函数 增函数　 微思考 如何确定指数型函数y=kamx+n+b(a>0,a≠1,k≠0,m≠0)图象所过的定点? 提示 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图象经过定点(0,1)的原因是a0=1.因此要确定指数型函数y=kamx+n+b(a>0,a≠1,k≠0,m≠0)图象所经过的定点,应该令mx+n=0,解得x=-,此时y=ka0+b=k+b,故其经过定点(-,k+b). 研考点•精准突破 考点一　指数函数的图象及其应用 例1　(1)(2025·安徽安庆模拟)已知函数f(x)=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点M(m,n),则函数g(x)=n-mx的图象一定不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 解析 令x-2=0,得x=2,f(x)=2,所以f(x)的图象恒过定点(2,2),即m=n=2,则g(x)=2-2x,则g(x)在R上单调递减,且图象过点(0,1),(1,0),所以g(x)的图象一定不经过第三象限.故选C. 考点一 考点二 (2)(多选题)(2025·山东滨州模拟)已知非零实数a,b满足等式()a=()b,则下列结论不可能成立的有(　　) A.0<b<a B.a<b<0 C.0<a<b D.b<a<0 CD 考点一 考点二 解析 (方法1)在同一直角坐标系中作出函数y=()x与y=()x的图象如图所示, (方法2)由题意,等式()a=()b两边同时取对数,得aln=bln,即aln 2=bln 3,当a=b=0时,显然成立;当ab≠0时,得>1,所以a,b同号且|a|>|b|,所以a<b<0或0<b<a,由此可知C,D选项不可能.故选CD. 设()a=()b=M,当M>1时,结合图象可得a<b<0;当M=1时,结合图象可得a=b=0;当0<M<1时,结合图象可得a>b>0.故选CD. 考点一 考点二 规律方法　指数函数图象的识别及应用技巧 (1)求函数y=af(x)+b(a>0,且a≠1)图象所过的定点时,一般可令f(x)=0得x=x0,此时y=a0+b=1+b,从而所过的定点为(x0,1+b). (2)已知函数解析式识别其图象时,可借助图象特征分析函数单调性、对称性、所过定点、函数值正负等情况,从而确定其图象. (3)已知函数解析式及其图象,可通过函数单调性、所过定点、渐近线等情况确定解析式中参数的取值范围. (4)研究函数零点问题时,一般可转化为函数图象交点问题,通过观察函数图象得到零点个数或参数取值范围. 考点一 考点二 [对点训练1](1)(多选题)(2026·湖南岳阳模拟)若函数f(x)=eax-b的图象经过第二、三、四象限,则下列选项正确的有(　　) A.a<0 B.0<a<1 C.b>1 D.b<0 AC 解析 若函数f(x)=eax-b的图象经过第二、三、四象限,则f(x)=eax-b的图象如图所示,函数f(x)=-b单调递减,所以0<ea<1=e0,所以a<0,由题意可知f(0)=1-b<0,解得b>1,所以a<0,b>1.故选AC. 考点一 考点二 (2)(2025·浙江宁波模拟)若函数f(x)=|2x-3|-1-m有2个零点,则实数m的取值范围是　　　　　.  (-1,2) 解析 由f(x)=|2x-3|-1-m=0,得|2x-3|-1=m. 设函数g(x)=|2x-3|-1= 作出g(x)的大致图象如图所示.依题意,函数g(x)与函数y=m的图象应 有两个交点,所以实数m的取值范围是(-1,2). 考点一 考点二 考点二　指数函数的性质及其应用 考向1　指数型函数的值域问题 例2　(1)(2025·浙江丽水期中)函数f(x)=1-3|x-1|的值域是(　　) A.(-∞,0) B.(-∞,0] C.[0,1] D.[0,1) B 解析 因为当x∈R时,|x-1|≥0, 所以3|x-1|≥1,于是1-3|x-1|≤0, 即函数的值域为(-∞,0].故选B. 考点一 考点二 (2)(2025·宁夏银川模拟)函数f(x)=的值域为　　　　　　.  (0,2) 解析 函数f(x)的定义域为R,且f(x)==2-, 因为2x-1+1>1,所以0<<2, 则0<2-<2,所以函数f(x)的值域为(0,2). 考点一 考点二 规律方法　指数型函数值域的求解策略 (1)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域与f(x)的定义域相同,当求其值域时,应先确定f(x)的值域,再结合指数函数的单调性确定值域. (2)形如y=中反解出ax,即用y表示ax,然后由ax>0建立y的不等式,其解集即为值域. (3)形如y=f(ax)形式的函数, 一般利用换元法,令ax=t,将函数化为y=g(t),然后求出g(t)的值域即得f(x)的值域(注意新元t的取值范围). 考点一 考点二 [对点训练2](1)(2025·安徽合肥模拟)已知x∈(-),则函数f(x)=()tan x的值域是(　　) A.(0,] B.(,3) C.(0,3] D.[3,+∞) B 解析 令t=tan x,则f(x)=()tan x=()t,因为t=tan x在x∈(-)上单调递增,所以t=tan x∈(-1,1). 又y=()t单调递减,且t∈(-1,1),所以y=()t∈(,3), 即f(x)的值域是(,3). 考点一 考点二 (2)(原创)函数f(x)=9x-3x+2+10在区间[-1,2]上的值域是　　　　　.  [-,10] 解析 令t=3x,由x∈[-1,2],得t∈[,9],故f(x)可化为f(t)=t2-9t+10,t∈[,9]. 因为f(t)是图象开口向上的二次函数,图象的对称轴为直线t=(在t的取值范围内),所以f(t)的最小值为f()=()2-9×+10=-. 又f()=()2-9×+10=,f(9)=92-9×9+10=10,所以f(t)的最大值为10.因此,值域为[-,10]. 考点一 考点二 考向2　比较幂值的大小 例3　(1)(2025·湖南邵阳期中)已知a=1.70.3,b=0.90.3,c=0.93.1,则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<b<a B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b A 解析 因为y=x0.3在定义域上单调递增,所以1.70.3>0.90.3.因为y=0.9x在定义域上单调递减,所以0.90.3>0.93.1,所以1.70.3>0.90.3>0.93.1,即c<b<a.故选A. 考点一 考点二 (2)(2025·重庆八中模拟)已知a=(,b=(,c=2a+b-1,则a,b,c的大小关系 为(　　) A.c>b>a B.a>b>c C.c>a>b D.b>a>c C 解析 由于a6=()3=,b6=()4=,且0<<1,则a6>b6,即a>b,因此0<b<a<1.因为a+b-1>2b-1=2×(-1=-1>0,所以c=2a+b-1>20=1,所以c>a>b.故选C. 考点一 考点二 规律方法　比较指数式大小的方法 考点一 考点二 [对点训练3](2025·云南昆明模拟)若a=2π-2,b=6-1,c=,则a,b,c的大小关系为(　　) A.b>a>c B.c>a>b C.a>b>c D.a>c>b D 解析 因为a=2π-2>21=2,c=<2,所以a>c.因为b=6-1=<1,c=>20=1,所以c>b,所以a>c>b.故选D. 考点一 考点二 考向3　解指数型方程与不等式 例4　(1)若()2a+1<23-2a,则实数a的取值范围是(　　) A.(0,+∞) B.R C.(-∞,0) D.全不对 B 解析 函数y=()x在R上为减函数,因为()2a+1<23-2a=()2a-3,所以2a+1>2a-3,即1>-3恒成立,所以a∈R. 考点一 考点二 (2)(2025·山东潍坊模拟)若关于x的方程9x-m·3x+1+2=0的两个根都是正实数,则实数m的取值范围是(　　) A.[,+∞) B.[,1] C.(1,+∞) D.[,1) B 考点一 考点二 解析 令3x=t,则方程化为t2-3mt+2=0,因为原方程的两个根均为正实数,所以关于t的方程t2-3mt+2=0的两个实数根均应大于1, 因此有解得≤m<1,因此实数m的取值范围是[,1). 故选B. 考点一 考点二 规律方法　指数方程或不等式的求解方法 (1)形如af(x)=ag(x),af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的方程或不等式,可根据指数函数单调性,转化为方程f(x)=g(x),不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))进行求解. (2)若f(x)=m·a2x+n·ax+p(a>0,且a≠1),则方程f(x)=0和不等式f(x)>0(<0)可令t=ax,通过换元化为一元二次方程或一元二次不等式求解. 考点一 考点二 [对点训练4](1)已知f(x)=4x-2x+1-m,若方程f(x)=0有实数根2,则不等式f(x)<0的解集为(　　) A.(-2,4) B.(0,2) C.(-∞,2) D.(-1,2) C 解析 由已知得f(2)=0,所以42-23-m=0,解得m=8,于是f(x)=4x-2x+1-8,不等式f(x)<0即为4x-2x+1-8<0,因此(2x-4)(2x+2)<0,所以2x-4<0,解得x<2,即不等式的解集为(-∞,2).故选C. 考点一 考点二 (2)已知函数f(x)=+a为奇函数,则方程f(x)=的解是x=　　　　　.  -1 解析 因为函数f(x)=+a为奇函数且定义域为R,故f(0)=+a=0,解得a=-,经检验,当a=-时,f(x)为奇函数.由f(x)=,得,解得x=-1. 考点一 考点二 考向4　指数型函数的单调性与最值问题 例5　[一题多变](多选题)若函数f(x)=(的图象经过点(3,1),则下列选项正确的有(　　) A.a=1 B.f(x)在(-∞,1)内单调递减 C.f(x)的最大值为81 D.f(x)的最小值为 AC 考点一 考点二 解析 对于A,由题意f(3)=()9a-6-3=1,解得a=1,故A正确;对于B,令u=x2-2x-3,则该函数在(-∞,1)内单调递减,在[1,+∞)内单调递增,因为y=()u是减函数,所以f(x)在(-∞,1)内单调递增,在[1,+∞)内单调递减,故B错误;对于C,D,因为f(x)在(-∞,1)内单调递增,在[1,+∞)内单调递减,所以f(x)max=f(1)=81,f(x)无最小值,故C正确,D错误,故选AC. 考点一 考点二 AI变式 [变式1]在本例中,若将条件“函数f(x)=(的图象经过点(3,1)”改为“函数f(x)=(的最小值为9”,则实数a=　　　　　.  -1 解析 令u=ax2-2x-3,由于y=()u有最小值9,所以u=ax2-2x-3必有最大值-2,因此得解得a=-1. 考点一 考点二 [变式2]在本例中,若将条件“函数f(x)=(的图象经过点(3,1)”改为“函数f(x)=(在[-2,+∞)内单调递增”,则实数a的取值范围是　　　　　.  [-,0] 解析 令u=ax2-2x-3,由于y=()u在[-2,+∞)内单调递增,所以u=ax2-2x-3在 [-2,+∞)内单调递减,当a=0时,u=-2x-3符合题意;当a≠0时,应满足解得-≤a<0. 综上,实数a的取值范围是[-,0]. 考点一 考点二 $