第2章 第4节 函数的对称性及应用（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性及应用”专题，依据课标要求梳理了轴对称、中心对称公式及推论，结合高考评价体系分析对称性与单调性、奇偶性、周期性综合应用的高频考点，通过真题改编题归纳对称中心求解、函数值比较等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“知识内化+真题突破+素养提升”策略，如例1利用对称中心公式推导含对数函数参数，培养数学思维；例2结合单调性比较函数值，发展数学眼光。提供规律方法与分层训练，帮助学生掌握转化技巧，教师可精准指导，助力高效冲刺。

第4节　函数的对称性及应用 课标解读　1.能通过平移,分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会依据函数的性质进行简单的应用. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版必修第一册习题3.2第3题改编)函数f(x)=的图象的对称中心为(　　) A.(0,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,1) B 解析 因为f(x)==1+,由y=的图象向上平移一个单位长度得到y=1+的图象,又y=的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)=1+的图象关于点(0,1)对称. 2.(湘教必修第一册第四章第20题改编)设函数f(x)定义在R上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1.则下面正确的结论是(　　) A.f()>f()>f() B.f()>f()>f() C.f()>f()>f() D.f()>f()>f() A 解析 因为f(x)关于x=1对称,所以f()=f(),f()=f(),当x≥1时,f(x)=3x-1单调递增,>1,故f()>f()>f(),即f()>f()>f(). 3.(人教B版选择性必修第一册习题2-1B组第5题改编)已知函数y=f(x)的图象与函数y=x2+1的图象关于点M(2,0)对称,则f(x)的解析式为　　　　 　　　　　　　.  f(x)=-x2+8x-17(x∈R) 解析 设A(x,y)是函数y=f(x)的图象上的任意一点,点A关于M(2,0)的对称点A'(x0,y0),则所以因为A'(x0,y0)在函数y=x2+1的图象上,所以y0=+1,则-y=(4-x)2+1,即y=-x2+8x-17,所以f(x)的解析式为 f(x)=-x2+8x-17(x∈R). 知识梳理 1.关于对称的两个结论 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x); 若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=对称. (2)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x); 若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点()中心对称. 2.两个函数图象的对称 (1)函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于　　　　　对称;  (2)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于　　　　　对称;  (3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于　　　　　对称.  y轴 x轴 原点 研考点•精准突破 考点一　函数的对称性及其应用 例1　(1)(2025·河南郑州模拟)已知f(x)=ln-x+a的图象关于点(-1,0)中心对称,则a=(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 C 解析 因为f(x)=ln-x+a的图象关于点(-1,0)中心对称,所以f(-2-x)+f(x)=0, 所以ln-(-2-x)+a+ln-x+a=0,可得a=-1. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(2026·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=ex-e4-x,则下列选项正确的是(　　) A.f(x)的图象关于直线x=-2对称 B.f(x)的图象关于点(-2,0)对称 C.f(x)的图象关于点(2,0)对称 D.f(x)的图象关于直线x=2对称 C 解析 若f(x)的图象关于直线x=-2对称,则f(-2+x)=f(-2-x),而f(-2+x)=e-2+x- e6-x,f(-2-x)=e-2-x-e6+x,二者不相等,故A错误;若f(x)的图象关于点(-2,0)对称,则 f(-2+x)+f(-2-x)=0,而f(-2+x)+f(-2-x)=e-2+x-e6-x+e-2-x-e6+x≠0,故B错误;因为 f(4-x)=e4-x-e4-(4-x)=e4-x-ex=-f(x),所以f(x)的图象关于点(2,0)对称,故C正确,D错误.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 规律方法　函数f(a+x)与函数f(b-x)(b>a)的图象关于直线x=对称. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 [对点训练1](1)(2025·山西太原期中)若函数y=g(x)的图象与y=ln x的图象关于直线x=2对称,则g(x)=(　　) A.ln(2+x) B.ln(2-x) C.ln(4-x) D.ln(4+x) C 解析 在函数y=g(x)的图象上任取一点(x,y),则点(x,y)关于直线x=2对称的点为(4-x,y),且点(4-x,y)在函数y=ln x的图象上,所以y=ln(4-x).故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(2025·河北衡水期中)已知定义在R上的函数f(x)满足f(4-x)+f(x)=2,若f(x)的图象关于直线x=4对称,则f(-2)=　　　　 .  1 解析 因为f(4-x)+f(x)=2,令x=2,所以f(4-2)+f(2)=2f(2)=2,所以f(2)=1.又f(x)的图象关于直线x=4对称,所以f(6)=f(2)=1,令x=-2,则f[4-(-2)]+f(-2)=2,即f(6)+f(-2)=2,即1+f(-2)=2, 所以f(-2)=2-1=1. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 考点二　函数对称性与单调性的综合应用 例2　(2025·湖南常德模拟)已知函数f(x)=ln|x-2|+x2-4x,若a=f(log29), b=f(log418),c=f(1),则下列选项正确的是(　　) A.a>c>b B.c>b>a C.a>b>c D.c>a>b A 解析 因为f(4-x)=ln|4-x-2|+(4-x)2-4(4-x)=f(x),所以f(x)的对称轴为x=2,则有f(1)=f(3).当x>2时,f(x)=ln(x-2)+x2-4x,而y=ln(x-2)和y=x2-4x均在区间(2,+∞)上单调递增,所以f(x)在区间(2,+∞)上单调递增. 又log29>3,2<log418<3,即log418<3<log29,所以f(log418)<f(3)<f(log29),因此b<c<a.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 规律方法　函数对称性与单调性的综合应用技巧 (1)若函数是轴对称,则对称轴两侧的单调性相反,若函数是中心对称,则对称中心两侧的单调性相同. (2)比较函数值大小时,应将自变量的值转化到对称轴(对称中心)的同一侧,再根据单调性比较大小. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 [对点训练2](2025·山西吕梁期末)已知函数y=f(x)的图象关于点(,0)对称,且在区间(-∞,]上单调递增,a=f(),b=f(1),c=f(2),则a,b,c的大小关系为(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c D 解析 由于f(x)的图象关于点(,0)对称,且f(x)在区间(-∞,]上单调递增,所以f(x)在区间[,+∞)上单调递增,所以f(1)<f()<f(2),即b<a<c.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 考点三　函数对称性与奇偶性的综合应用 例3　(多选题)(2025·山东潍坊模拟)若函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列选项正确的是(　　) A.f(2-x)=f(x) B.f(-x)=f(1+x) C.函数y=f(x+1)是偶函数 D.函数y=f(x-1)是偶函数 AC 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 解析 若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则f(x)的图象关于直线x=对称.对于选项A,f(2-x)=f(x),则f(x)的图象关于直线x=1对称,符合题意;对于选项B, f(-x)=f(1+x),则f(x)的图象关于直线x=对称,不符合题意;对于选项C,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(x)的图象向左平移1个单位长度得到f(x+1)的图象,所以f(x+1)图象的对称轴为y轴,即函数f(x+1)为偶函数,符合题意;对于选项D,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,f(x)的图象向右平移1个单位长度得到f(x-1)的图象,所以f(x-1)图象的对称轴为直线x=2,不能判断函数f(x-1)为偶函数,不符合题意.故选AC. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 规律方法　函数对称性与奇偶性的应用技巧 奇、偶函数图象的对称性是函数对称性的特殊情况,可借助图象平移分析函数图象对称性与响应函数奇偶性的关系. (1)函数f(x+a)是偶函数⇔f(x)的图象关于直线x=a对称; (2)函数f(x+b)是奇函数⇔f(x)的图象关于点(b,0)对称. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 [对点训练3](2025·河南驻马店期末)已知y=f(x-2)+1是定义在R上的奇函数,则下列选项正确的是(　　) A.f(0)=0 B.f(2)=0 C.f(0)=-1 D.f(-2)=-1 D 解析 将y=f(x-2)+1的图象向下平移1个单位长度,得y=f(x-2)的图象关于点(0,-1)对称, 再向左平移2个单位长度,得y=f(x)的图象关于点(-2,-1)对称, 所以f(-2)=-1.故选D. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 考点四　函数性质的综合应用 例4　(2025·福建泉州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)为奇函数且f(6-x)=f(x),当x∈[1,3]时,f(x)=a·2x+bx2,若f(5)+f(12)=-4,则f(2 023)=(　　) A.10 B.-10 C. D.- A 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 解析 由f(x+1)为奇函数可得f(x+1)=-f(-x+1), 即f(x)=-f(2-x)①, 则f(x)的图象关于点(1,0)对称,令x=1,则f(1)=0; 由f(6-x)=f(x)②, 得f(x)的图象关于直线x=3对称; 由①②可得f(6-x)=-f(2-x),即f(x+4)=-f(x),所以f(x)=-f(x-4),故f(x+4)=f(x-4),所以函数f(x)的周期T=8. 由上述可知f(5)=f(1)=2a+b=0,则f(12)=f(4)=f(2)=-4,即a+b=-1. 联立解得 故f(x)=2x-2x2.所以f(2 023)=f(-1)=-f(3)=-(23-2×32)=10.故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 规律方法　综合运用函数性质解题的策略 (1)奇偶性可认为是对称性的特殊情形,所以已知相关函数的奇偶性,可通过平移与对称性联系起来; (2)已知相关函数的奇偶性或对称性,可以推得函数的周期,反之,由函数的周期性以及奇偶性,可以推得其对称性; (3)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,直到自变量的值在已知解析式的区间或与已知的函数值建立关系,必要时可再次利用奇偶性、对称性将自变量的符号进行转化. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 [对点训练4](多选题)(2025·广东潮州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,且对任意的x1,x2∈(1,2),且x1≠x2,都有>0,则下列结论正确的有(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(2 023)=0 C.f(x)的图象关于点(-1,0)对称 D.f(-)<f() ABC 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 解析 因为f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,所以f(x)的图象关于点(1,0)对称且关于直线x=2对称,所以f(1+x)=-f(1-x),f(2+x)=f(2-x),f(1)=0,f(2+x)=f(2-x) =f(1+1-x)=-f(1-(1-x))=-f(x),f(x+4)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是周期函数,4是它的一个周期.f(-1)=f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1)=0,f(2 023)=f(4×506-1)=f(-1)=0,故B正确;因为f(-x)=-f(2+x)=-f(2-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,故A正确;因此f(x)的图象也关于点(-1,0)对称,故C正确;对任意的x1,x2∈(1,2),且x1≠x2,都有>0,即1<x1<x2<2时,f(x1)<f(x2),所以f(x)在区间(1,2)内单调递增,f(-)=f(),f()=f(-)=f(-+4)=f(),2>>1,f()>f(),所以f(-) >f(),故D错误.故选ABC. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 思维进阶(二)　抽象函数 在数学中,不给出具体解析式,只给出函数满足的特殊条件或特征的函数称为“抽象函数”.解此类问题的常用方法有赋值法和特殊函数模型法.常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下: 条件 案例 类型 f(x+y)=f(x)+f(y) f(x)=x 正比例函数 f(xy)=f(x)f(y) f(x)=x3 幂函数 f(x+y)=f(x)f(y) f(x)=2x 指数函数 f(xy)=f(x)+f(y) f(x)=log2x 对数函数 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cos x 余弦函数 f(x+T)=f(x)(T≠0) f(x)=sin x 周期函数 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 典例(1)(2025·四川成都模拟)已知函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x,y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=2,则+…+=(　　) A.1 014 B.2 027 C.2 028 D.4 054 C 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 解析 (方法1　赋值法)对于任意实数x,y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=2,当y=1时,f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x),即+…++… +=2+2+2+…+2=2×1 014=2 028. (方法2　特殊函数模型)设f(x)=ax,ax+y=ax·ay,满足f(x+y)=f(x)f(y), 因为f(1)=a=2,所以f(x)=2x. 所以+…+=2+2+2+…+2=2×1 014=2 028. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(多选题)(2026·河北邢台模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足 2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y),且f(0)≠0,则下列选项正确的有(　　) A.f(0)=1 B.y=f(x)为奇函数 C.y=f(x)有零点 D.f(2x)=f(x) AD 解析 因为2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y),令x=y=0,可得2f2(0)=2f(0),因为f(0)≠0,所以f(0)=1,故A正确;由函数f(x)的定义域为R,且f(0)=1,显然函数f(x)的图象不过坐标原点,所以函数y=f(x)不是奇函数,故B错误;令y=0,得2f2(x)=f(x)+f(0),即2f2(x)-f(x)-1=0,解得f(x)=1或f(x)=-,显然函数y=f(x)没有零点,故C错误;令y=x,可得2f(2x)f(0)=f(x)+f(x),即2f(2x)=2f(x),所以f(2x)=f(x),故D正确.故选AD. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 [对点训练](1)(多选题)(2022·新高考Ⅰ,12)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x),若f(-2x),g(2+x)均为偶函数,则(　　) A.f(0)=0 B.g(-)=0 C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2) BC 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 解析 (方法1)对于f(x),因为f(-2x)为偶函数,所以f(-2x)=f(+2x),即f(-x)=f(+x)①, 所以f(3-x)=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=对称,则f(-1)=f(4),故C正确; 对于g(x),因为g(2+x)为偶函数,g(2+x)=g(2-x),g(4-x)=g(x),所以g(x)的图象关于直线x=2对称, 由①求导,和g(x)=f'(x),得-f'(-x)=f'(+x),即-g(-x)=g(+x), 所以g(3-x)+g(x)=0,所以g(x)的图象关于点(,0)对称,因为其定义域为R,所以g()=0,结合g(x)的图象关于直线x=2对称,从而g(x)的一个周期为4×(2-)=2,所以g(-)=g()=0,g(-1)=g(1)=-g(2),故B正确,D错误; 若函数f(x)满足题设条件,则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定f(x)的函数值,故A错误.故选BC. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (方法2)由方法1知g(x)的一个周期为2,图象关于直线x=2对称,故可设g(x)=cos(πx),则f(x)=sin(πx)+c,显然A,D错误.又此题为多选,故选BC. (方法3)因为f(-2x),g(2+x)均为偶函数,所以f(-2x)=f(+2x)即f(-x)=f(+x), g(2+x)=g(2-x),所以f(3-x)=f(x),g(4-x)=g(x),则f(-1)=f(4),故C正确; 由上述可知函数f(x),g(x)的图象分别关于直线x=,x=2对称,因为g(x)=f'(x),且函数f(x)可导,所以g()=0,g(3-x)=-g(x),所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x),所以g(-)=g()=0,g(-1)=g(1)=-g(2),故B正确,D错误; 若函数f(x)满足题设条件,则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件,所以无法确定f(x)的函数值,故A错误.故选BC. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 (2)(2025·广东梅州模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足对∀x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),f(-x)=f(x),则f(2 025)=　　　　　.  0 解析 (方法1)令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,所以f(x)=-f(x).又f(-x)=f(x),所以f(x)=0,所以f(2 025)=0. (方法2)因为f(x+y)=f(x)+f(y),所以设f(x)=kx.又因为f(-x)=f(x),且f(x)定义域为R,所以k=0,即f(x)=0,所以f(2 025)=0. 考点一 考点二 考点三 考点四 思维进阶 $