第1章 第5节 基本不等式的应用（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（基础版）

该高中数学高考复习课件聚焦“基本不等式的应用”专题，依据课标要求梳理了利用基本不等式求最值及解决简单综合问题两大核心考点。通过分析近五年高考真题，明确配凑法、常数代换法、消元法、构造不等式法四大高频考查方法，归纳出选择、填空、解答题三类常考题型，构建了完整的考点突破体系。 课件亮点在于“方法建模+真题变式+素养落地”的备考设计，如以常数代换法为例，通过母题“已知1/x+2/y=1求2x+y最小值”及变式训练，培养学生的数学思维（运算推理）和数学语言（模型表达）。规律方法部分总结每种技巧的操作步骤，实际问题应用模块强化数学眼光（抽象建模），配合易错点分析和对点训练，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准开展专题复习，提升备考效率。

第5节　基本不等式的应用 课标解读　1.能够利用基本不等式解决各种求最值问题.2.能够利用基本不等式解决一些简单的综合问题. 强基础•固本增分 研考点•精准突破 目录索引 强基础•固本增分 自主诊断 1.(人教A版必修第一册习题2.2第1(1)题改编)已知x>1,则x+的最小值 为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 B 解析 因为x>1,所以x-1>0, 因此x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立, 因此最小值为3.故选B. 2.(人教B版必修第一册2.2.4节例4改编)已知x∈(-1,3),则y=(1+x)(3-x)的最大值为　　　　　.  4 解析 由基本不等式得y=(1+x)(3-x)≤()2=4,当且仅当1+x=3-x即x=1时,等号成立, 所以函数最大值为4. 3.(人教B版必修第一册习题2-2B第11题改编)已知x∈(0,+∞),则y=1-2x-的最大值为　　　　.  1-4 解析 由于x∈(0,+∞),且y=1-2x-=1-(2x+),由基本不等式可得2x+≥2=4, 所以y≤1-4,即y=1-2x-的最大值为1-4. 4.(苏教版必修第一册第三章复习题第15题改编)设正数x,y满足x+2y=1,则的最小值是　　　　.  3+2 解析 因为x>0,y>0,x+2y=1,所以=(x+2y)()=3+≥ 3+2=3+2,当且仅当,即x=-1,y=1-时,等号成立,所以的最小值是3+2. 知识梳理 利用基本不等式求 最值的常用方法 研考点•精准突破 考点一　利用基本不等式求最值 考向1　拼凑法 例1　(1)(2025·广东广州模拟)已知x>1,则的最小值是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 A 解析 因为x>1,所以 =x-1+-1≥2-1=3,当且仅当x-1=,即x=3时,等号成立. 考点一 考点二 (2)(2025·北京丰台模拟)已知-3<x<0,则y=x的最小值为(　　) A.- B. C.- D.不存在 A 解析 由于-3<x<0,则9-x2>0, 故y=x=-≥-=-,当且仅当x2=9-x2,即x=-时,等号成立,即y=x的最小值为-. 考点一 考点二 (3)(2026·云南昆明高三期中)当a>1时,2a+的最小值为　　　　　.  2+2 解析 因为a>1,所以a-1>0, 则2a+=2(a-1)++2≥2+2=2+2,当且仅当a=1+时,等号成立. 考点一 考点二 规律方法　 考点一 考点二 [对点训练1](1)(2025·北京五中模拟)若函数f(x)=x+(x>a)在x=3处取最小值,则a=(　　) A.1 B.2 C.4 D.2或4 B 解析 因为x>a,所以x-a>0,所以f(x)=x+=(x-a)++a≥2+a =2+a,当且仅当x-a=,即x=a+1时,等号成立,所以a+1=3,解得a=2. 考点一 考点二 (2)(2025·黑龙江绥化模拟)已知a>1,b>2,(a-1)(b-2)=2,则a+b的最小值为 (　　) A.3 B.2 C.3+2 D.2+3 C 解析 因为a>1,b>2,(a-1)(b-2)=2, 所以,所以a+b≥3+2,当且仅当a-1=b-2,即a=1+,b=2+时,等号成立.故选C. 考点一 考点二 考向2　常数代换法 例2　[一题多变]已知正实数x,y满足=1,则2x+y的最小值为(　　) A.2 B.4 C.8 D.9 C 解析 由已知得2x+y=(2x+y)()=4+≥4+2=8,当且仅当时,等号成立.又因为=1,所以x=2,y=4,此时2x+y的最小值为8,故选C. 考点一 考点二 AI变式 [变式1](改变条件常数值)在本例中,若条件变为“”,则2x+y的最小值为　　　　　.  32 解析 由已知得2x+y=4(2x+y)()=4)4+)≥4(4+2)=32,当且仅当时,等号成立.又因为,所以x=8,y=16,此时2x+y的最小值为32. 考点一 考点二 [变式2](改变和式为积式)在本例中,若条件不变,则xy的最小值为　　　　　.  8 解析 由=1得=1,即xy=2x+y,因此xy=2x+y=(2x+y)() =4+≥4+2=8,当且仅当时,等号成立,又因为=1, 所以x=2,y=4,此时xy的最小值为8. 考点一 考点二 [变式3](改变条件结构)在本例中,若将条件改为“x+2y=4xy”,则2x+y的最小值为　　　　　.  解析 由x+2y=4xy得=4,因此2x+y=(2x+y)·()=(5+) ≥(5+2)=, 当且仅当,即x=y=时,等号成立,故2x+y的最小值为. 考点一 考点二 [变式4](改变和式为混合式)若本例条件不变,则2xy-2x-y的最小值为　　　　　.  8 解析 2xy-2x-y=2xy·1-(2x+y)=2xy·()-(2x+y)=2y+4x-2x-y=2x+y,而(2x+y)·1=(2x+y)()=4+≥4+2=8,当且仅当,即x=2,y=4时,等号成立, 故2xy-2x-y的最小值为8. 考点一 考点二 规律方法　常数代换法求最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数); (2)把确定的定值(常数)变为1; (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,然后展开整理,构造和或积为定值的形式; (4)利用基本不等式求得最值. 考点一 考点二 考向3　消元法 例3　(2025·山东济宁模拟)已知x>0,y>0,且xy+2y2-36=0,则xy2的最大值 为(　　) A.12 B.6 C.36 D.24 D 考点一 考点二 规律方法　利用消元法求最值的两种情形 (1)消元法:通过建立变量间的函数关系,将多元问题转化为一元问题求解,再利用基本不等式求解. (2)换元法:适用于复杂表达式的最值求解,通过变量替换实现简化,再利用基本不等式求解. 考点一 考点二 [对点训练2](2025·河北沧州模拟)已知正实数m,n满足mn=2,则的最小值为(　　) A.2 B.3 C.3 D.4 C 解析 根据题意,mn=2,可得n=,则+m+,设+m=t,则t≥2,原式为t+≥2=3,当且仅当t=时,等号成立. 考点一 考点二 考向4　构造不等式法 例4　(2025·山东青岛模拟改编)若实数a,b>0,且ab=a+b+8,则a+b的最小值为　　　　　;ab的最小值为　　　　　.  8 16 解析 由a+b+8=ab≤()2,当且仅当a=b时,等号成立,不妨设a+b=t,则 t2-4t-32≥0,解得t≥8或t≤-4,因为a,b>0,则a+b≥8,所以a+b的最小值为8; 由ab-8=a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立,不妨设=s,则s2-2s-8≥0,解得s≥4或s≤-2,因为s>0,则s≥4,即ab≥16,所以ab的最小值为16. 考点一 考点二 规律方法　若已知“和与积”的等式关系,求“和或积”的最值,可利用相关公式转化为解不等式或构造定值求最值. 考点一 考点二 [对点训练3](2026·安徽淮北模拟)若a,b>0,且a+b-9=,则ab的最大值为　　　 .  81 解析 因为a,b>0,所以=a+b-9≥2-9,当且仅当a=b=9时,等号成立,即≤9,故ab≤81. 考点一 考点二 考点二　利用基本不等式解决实际问题 例5　(2025·湖南长沙模拟)通过市场调查发现:某产品生产需投入年固定成本3万元,每生产x万件,需要额外投入流动成本P(x)万元.在年产量不足5万件时,P(x)=6x+-11(万元);在年产量不少于5万件时,P(x)=6x+-15 (万元).已知每件产品售价5元,且生产的产品在当年可全部售完. (1)写出年利润W(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:万件)的函数解析式. (2)当年产量为多少万件时,生产销售该产品所获利润最大?最大利润是多少? (注:若ai>0(i=1,2,3,…,n),,当且仅当a1=a2=…=an时等号成立) 考点一 考点二 解 (1)因为每件商品售价为5元,则x万件的商品销售收入为5x万元. 根据题意得,当0<x<5时,W(x)=5x-(6x+-11)-3=8-(x+);当x≥5时,W(x)=5x-(6x+-15)-3=12-(x+),所以W(x)= 考点一 考点二 (2)当0<x<5时,W(x)=8-(x+)=8-(x+)=8-[(x+)+()-] =-[(x+)+()]≤-2, 当且仅当(x+)2=9,即x=时,等号成立,W(x)有最大值;当x≥5时, W(x)=12-(x+)=12-()≤12-3=3, 当且仅当,即x=6时,等号成立,W(x)有最大值3,因为<3,所以当年产量为6万件时,利润最大,最大利润为3万元. 考点一 考点二 规律方法　利用基本不等式解决实际问题的方法 (1)审题建模:明确题目中的数量关系,合理引入变量,通常将待求最大值或最小值的量设为函数. (2)函数求解:根据题意建立函数解析式,结合基本不等式确定函数取值范围. (3)验证最值:在函数定义域内求解最值,并检验等号成立的条件是否满足题意. 考点一 考点二 [对点训练4](2026·浙江宁波模拟)某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层,据当年的物价,每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期研究得到,该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单位:万元)与隔热层的厚度h(单位:厘米)满足关系:N(h)=(0≤h≤10).经测算知道,如果不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元.设F(h)为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和,则F(h)的最小值是　　　　　万元.  108 考点一 考点二 解析 因为不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元, 所以N(0)==10,解得m=40. 又由题可得F(h)=30N(h)+9h=+9h=+3(3h+4)-12 ≥2-12=108,当且仅当=3(3h+4),即h=时,等号成立. 考点一 考点二 $