精品解析：湖南衡阳市第八中学2026届高考适应性考试（一）数学试题

衡阳市八中2026年高考适应性考试 数 学 试 题 请注意：时量120 分钟 满分150分 一、单项选择题 1. 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先求出次传球的路线总数,再求出次传球后球在甲手中的路线种数,再利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】根据题意次传球总的传球路线种数为种, 满足题意的有:甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、甲-丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲-丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲,共有种, 所以次传球后球在甲手中的概率为. 故选:C. 2. 若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求得，进而求得在处的导数，可得结论. 【详解】因为函数是偶函数，所以，又易得函数的定义域是 ， 即， 所以， 所以，又 ，所以解得，所以， 所以，所以， 所以曲线在处的切线斜率为. 故选：B. 3. 已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（ ） A. 120 B. 160 C. 200 D. 260 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率和为，求得，再根据分布列求，再求即可. 【详解】由题可知：，解得，则； 故. 故选：C. 4. 已知定义在R上的函数 满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（    ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用函数的性质画出两个函数的图象，再结合对称性求所有实数根的和. 【详解】由题意知，关于点对称， 函数的周期为2，则函数，在区间上的图象如下图所示： 由图形可知函数，在区间上的交点为， 易知点的横坐标为 , 若设的横坐标为，则点的横坐标为， 所以方程在区间上的所有实数根之和为. 故选：B 5. 已知复数 满足，则复数 在复平面对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数除法和共轭复数的概念求出 ，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可. 【详解】由题意可得， 所以 在复平面对应点，在第一象限， 故选：A 6. 药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低一半所需要的时间，在特定剂量范围内，药物的半衰期，其中是药物的消除速度常数，不同药物的消除速度常数一般不同，若内药物在血液中浓度由降低到，则该药物的消除速度常数．已知某药物半衰期为，首次服用后血药浓度为，当血药浓度衰减到时需要再次给药，则第二次给药与首次给药时间间隔约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合对数运算即可得. 【详解】因为，所以， 由题意，得， 所以． 故选：B. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数、对数函数性质易得，构造，利用导数判断单调性，再判断大小关系即可得，即可得结果. 【详解】因为 在内单调递增， 则，即， 又因为在内单调递增， 则，，可得； 令，则，， 构建， 则， 可知在 上递减，则，即； 综上所述：. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据构建，利用导数判断其单调性，进而可得. 8. 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，以及，化简得到，取，分类讨论，取绝对值号，即可求解的值. 【详解】由函数的定义域，可得其定义域关于原点对称， 又由， 因为函数是奇函数，可得，即， 即恒成立，即恒成立， 因为存在正实数使得函数定义在上的奇函数，可取， 当时，可得， 所以，所以； 当时，可得， 所以，所以， 综上可得，实数的值为. 二、多项选择题 9. 某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位： ）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 8 10 12 14 16 每公顷产量 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 每公顷产量与耕种深度呈负相关 B. 耕种深度的平均数为12 C. 每公顷产量的平均数为7.8 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据线性回归方程的概念即可判断A；求出即可判断BC；将点代入方程求出即可判断D. 【详解】A：对于，，所以每公顷产量与耕种深度呈正相关，故A错误； B：由题意知，，故B正确； C：由题意知，，故C错误； D：将点代入方程， 得，解得，故D正确. 故选：BD 10. 已知等差数列的公差不为0，，，成等比数列，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的通项公式为 B. 数列的通项公式为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】结合等比中项，根据等差数列通项公式基本量的运算求得，即可求出等差数列通项公式判断AB，根据等差数列求和公式求解和判断CD. 【详解】由题意，设等差数列的公差为，， 由 得，即，① 由，，成等比数列，得，即即，② 由①②可得，，因此的通项公式为 ， 故选项A错误，选项B正确； ，故选项C正确，选项D错误. 故选：BC 11. 已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 当直线斜率为时，中点坐标为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】A：通过联立思想得到，由此可计算出，利用焦点弦公式以及基本不等式求解出的最小值；B：利用点差法求解出纵坐标后可判断；C：利用抛物线定义计算出圆心到准线的距离，并判断距离是否等于半径即可；D：代入坐标，计算出的值，根据结果再进行判断. 【详解】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，， 联立可得，且， 所以，所以，且 ， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误； 对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线，垂足分别为，如下图： 由抛物线的定义可知：， 即等于以为直径的圆的半径长，故C正确； 对于D：当时，。 所以， 由选项A可知：，所以，所以此时， 所以的倾斜角互补，所以，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：已知是抛物线的过焦点的一条弦，设，则有：（1）；（2）. 三、填空题 12. 两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于_____________． 【答案】##4.75 【解析】 【分析】根据题意，分别设出的表达式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，可设， 则． 故答案为： 13. 已知实数，则 的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】表示，再利用的代换解出最小值即可. 【详解】由题意可得 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 则 的最小值是. 故答案为： 14. 已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且 ．若，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】设，得到，且，根据题意和双曲线的定义，得到，结合双曲线的对称性，得到，求得，同理得出，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为， 设，（其中），则，可得， 再设为双曲线的左焦点，且， 因为，可得，根据双曲线的定义，可得， 又由双曲线的对称性，可得四边形为矩形，所以， 即，解得， 连接，设，则，由于 即，解得， 因为，解得． 故答案为：. 四、解答题 15. 已知 分别为三个内角的对边，且 （1）求角； （2）已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角； （2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得： ， 因为 ，所以 ，则， 即，， 因为，则，所以，即. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以． 16. 我国核电建设占全球在建核电机组的40%以上，是全球核电在建规模最大的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某S型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y（单位：mm）关于滚道径向方位角x（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示. （1）求函数的解析式； （2）为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于0.015mm且不高于0.02mm的钢筋，若这批钢筋由题中这种S型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象可得函数的最大值和最小值即可求解A和B，再由函数的周期公式求 ，然后代点的坐标求 ； （2）根据题意列出不等式，然后根据正弦函数的性质解不等式即可求解. 【小问1详解】 由图可知，，解得，由得， 所以，又函数图象过点，所以， 即，所以，得， 又，所以，所以. 【小问2详解】 由题意，则， 即，所以， 解得， 所以当时， ，所以这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为. 17. 如图，在几何体中，平面. （1）求证：平面 平面 ； （2）若，在棱上是否存在一点，使得与平面 所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为 平面，且 ， 所以平面， 取的中点，连接 ，则 平面，所以， 又 ，所以 ， 取的中点，连接，则，且， 又，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又平面，所以平面 ， 因为平面，所以平面 平面 ； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接 ，取的中点，连接，通过证明平面 可得平面 平面 ； （2）以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法求出与平面 所成角的正弦值，然后解方程可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面 的一个法向量， 则即取 ，可得. 设，所以， 记与平面 所成的角为， 所以， 解得，故为的中点，即. 所以在棱上存在点，使得与平面 所成角的正弦值为，且. 18. 已知甲口袋中有个白球， 个红球（ ，，），乙口袋中都是红球，所有红球与白球除了颜色再没有其他差别.设. （1）从甲口袋中依次取2球（每次取1球，不放回），求第2个球为白球的概率（ ）； （2）化简； （3）如果从甲口袋中任取1球是白球的概率为，现在随机从甲、乙口袋中任取1球，观察其颜色，结果为红球，并将其放回原口袋中，求仍在这个口袋中取1球是白球的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接用全概率公式即可； （2）将转化为若干概率之和的倍，即可求解； （3）使用条件概率的定义即可求解. 【小问1详解】 设分别表示“第1个球是白球”和“第2个球是白球”， 则. 故所求概率为. 【小问2详解】 设从甲口袋中反复不放回地取出球，第1次取出白球发生于第 次取的过程中的概率为，这里 ， 则. 故. 【小问3详解】 设 分别表示“选择的是甲口袋”，“选择的是乙口袋”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是白球”， 则，， ， . 故，， 所以. 故在第1次结果为红球的条件下，求仍在这个口袋中取1球是白球的概率为. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于两点，求； （3）若曲线与轴的交点为 ，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解； （2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解； （3）首先直线与圆的方程联立，并利用坐标表示直线和的方程，并利用韦达定理表示，即可求解交点坐标， 【小问1详解】 设，因为，所以， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为． 【小问2详解】 曲线的圆心到直线的距离， 所以． 【小问3详解】 证明：设． 联立得， ． 设，所以直线的方程为，直线的方程为． 因为直线与直线交于点，所以 则 ，即，解得， 所以点在直线 上． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中2026年高考适应性考试 数 学 试 题 请注意：时量120 分钟 满分150分 一、单项选择题 1. 甲、乙、丙三名同学相互做传球训练,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一个人,则次传球后球在甲手中的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是偶函数，则曲线在处的切线斜率为（ ） A. B. 0 C. D. 3. 已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（ ） A. 120 B. 160 C. 200 D. 260 4. 已知定义在R上的函数 满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（    ） A. B. C. D. 0 5. 已知复数 满足，则复数 在复平面对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 药物的半衰期指的是血液中药物浓度降低一半所需要的时间，在特定剂量范围内，药物的半衰期，其中是药物的消除速度常数，不同药物的消除速度常数一般不同，若内药物在血液中浓度由降低到，则该药物的消除速度常数．已知某药物半衰期为，首次服用后血药浓度为，当血药浓度衰减到时需要再次给药，则第二次给药与首次给药时间间隔约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若存在正实数a，使得函数是定义在上的奇函数，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多项选择题 9. 某研究所研究耕种深度（单位：）与水稻每公顷产量（单位： ）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 8 10 12 14 16 每公顷产量 6.0 7.5 7.8 9.2 9.5 经计算可知每公顷产量与耕种深度的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 每公顷产量与耕种深度呈负相关 B. 耕种深度的平均数为12 C. 每公顷产量的平均数为7.8 D. 10. 已知等差数列的公差不为0，，，成等比数列，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. 数列的通项公式为 B. 数列的通项公式为 C. D. 11. 已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则（ ） A. 线段长度的最小值为 B. 当直线斜率为 时，中点坐标为 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 存在点，使得 三、填空题 12. 两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于_____________． 13. 已知实数，则 的最小值是___________. 14. 已知双曲线的离心率为，F为右焦点，点A，B在右支上，设D为A关于原点O的对称点，且 ．若，则 ________． 四、解答题 15. 已知 分别为三个内角的对边，且 （1）求角； （2）已知，为锐角三角形，求的取值范围． 16. 我国核电建设占全球在建核电机组的40%以上，是全球核电在建规模最大的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某S型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度y（单位：mm）关于滚道径向方位角x（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示. （1）求函数的解析式； （2）为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于0.015mm且不高于0.02mm的钢筋，若这批钢筋由题中这种S型螺纹丝杠旋铣制作，求这种S型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 17. 如图，在几何体中，平面. （1）求证：平面 平面 ； （2）若，在棱上是否存在一点，使得与平面 所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知甲口袋中有个白球， 个红球（ ，，），乙口袋中都是红球，所有红球与白球除了颜色再没有其他差别.设. （1）从甲口袋中依次取2球（每次取1球，不放回），求第2个球为白球的概率（ ）； （2）化简； （3）如果从甲口袋中任取1球是白球的概率为，现在随机从甲、乙口袋中任取1球，观察其颜色，结果为红球，并将其放回原口袋中，求仍在这个口袋中取1球是白球的概率. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的轨迹方程； （2）若直线与曲线交于两点，求； （3）若曲线与轴的交点为 ，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $