第07讲 一元二次方程的解法——配方法（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第07讲 一元二次方程的解法——配方法（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 配方法 同学们，在数学中，有一种方程我们解起来特别轻松，比如=16.因为它左边是一个完美的完全平方式，右边是一个常数，我们只需要把(+3)看作一个整体，两边直接开平方，就能瞬间求出答案. 但是，如果方程长这样：+6+5=0，左边并不是一个完全平方式，我们没法直接开平方，该怎么办呢？ 大家不妨从几何的角度想象一下：是边长为的正方形，6是两个长为、宽为3的长方形.把它们拼在一起，右下角会留下一个边长为3的小正方形空缺.为了让它变成完美的大正方形，我们只需在等式两边同时“补”上这个空缺的面积=9. 在代数上，这种通过添加特定常数，把“残缺”的方程变成“完美”的=n形式，然后再用直接开平方法求解的过程，就是我们今天要学习的配方法. 【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 【知识点2 配方法解一元二次方程】 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 运用直接开方法即可解答． 【详解】解：， ， 故选：B． 【变式1-1】关于的方程能直接开平方求解的条件是（    ） A． B． C．为任意数 D．为任意数且 【答案】D 【分析】根据一个数的平方是非负数，可得． 【详解】∵， ∴，为任意数， 故选：D． 【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，基本形式有：（a≥0）． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·期末）方程的解是____________． 【答案】 ．/． 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键．通过移项和开平方解方程，运用平方根的性质求解． 【详解】解：移项得， 开平方得，即， 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·重庆丰都·期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法．熟练掌握一元二次方程，当时的解的情况，是解题的关键． 用直接开平方法解每个选项的方程，即得． 【详解】A. ∵，∴该方程没有实数根； B. ∵，∴，∴，∴该方程有两个相等的实数根； C. ∵，∴，∴，∴该方程有个不相等的实数根； D. ∵，∴，∴，∴该方程有个不相等的实数根． 故选：B． 【题型2 用直接开平方法求字母的值】 【例2】（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故答案为：3． 【变式2-1】若关于x的一元二次方程（x－a）2=4，有一个根为1，则a的值是（ ）． A．3 B．1 C．－1 D．－1或3 【答案】D 【详解】试题分析：由题意把代入方程，即可得到关于a的方程，再解出即可. 由题意得，解得，故选D. 考点：方程的根的定义，解一元二次方程 点评：解题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值. 【变式2-2】对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了解利用直接开平方法一元二次方程，利用直接开平方法解一元二次方程得到，结合其中一个解进行计算即可． 【详解】解：根据题意得， ∵其中一个一元一次方程是， ∴， 则． 故答案为：4． 【变式2-3】若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查了解一元二次方程 （1）求出方程的根，得出方程，求出即可； （2）根据（1）中求出的得出，求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即方程的两根互为相反数， 一元二次方程的两根分别为与． ， 解得：； （2）当时，，， ，一元二次方程的两根分别为与， ． 【题型3 二次三项式的配方】 【例3】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 通过将方程两边加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：∵， ∴ 两边加4得 ，即． 故选C． 【变式3-1】方程配方后写成的形式，则b的值为________． 【答案】9 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 则， 故答案为：9． 【变式3-2】（24-25九年级上·宁夏固原·期末）用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：∵， 移项，得， 系数化为1，得， 配方，得， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】用配方法解方程，配方后方程可化为________． 【答案】 【详解】解：由原方程，得x2﹣x=2， 配方，得 x2﹣x+（）2=2+（）2，即（x﹣）2=． 故答案是：． 【题型4 用配方法解一元二次方程】 【例4】（24-25九年级上·河南南阳·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得 ……………………第一步 移项，得．……………………第二步 配方，得，即．……………………第三步 由此，可得．……………………第四步 所以，……………………第五步 任务一、填空： ①“第二步”变形的数学依据是 ；（用文字语言填空） ②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 ；（用数学符号语言填空） ③小明同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：． 【答案】任务一：①等式的基本性质；②；③四；没有正确运用平方根的意义 任务二：， 【分析】本题考查等式的性质，完全平方公式，平方根意义，配方法解一元二次方程等． 任务一：①利用等式的基本性质作答即可；②利用完全平方公式作答即可；③利用平方根意义作答即可； 任务二：配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：任务一：①等式的基本性质；或填 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式 ②， ③ 四，没有正确运用平方根的意义； 任务二：解：原方程可化为：， 配方得：， 即 ， ∴， ∴ 或． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 【详解】解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【变式4-2】规定：，如：，若，则＝__. 【答案】1或-3 【分析】根据a⊗b=（a+b）b，列出关于x的方程（2+x）x=3，解方程即可． 【详解】依题意得：（2+x）x=3， 整理，得 x2+2x=3， 所以 （x+1）2=4， 所以x+1=±2， 所以x=1或x=-3． 故答案是：1或-3． 【点睛】用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【变式4-3】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在长方形中，以点为圆心，为半径作弧与交于点，以点为圆心，为半径作弧与交于点．设，则方程的一个正根是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先算出方程的正根为，再根据题意用、表示出的长，即可解答． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵， 方程的一个正根是， 四边形是长方形， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， 由作图过程知，， ， 方程的一个正根是的长， 故选：A． 【题型5 利用配方法解一元二次方程求字母的值】 【例5】（25-26九年级上·山东聊城·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，利用完全平方公式将原方程转化为指定的完全平方形式，确定参数a和b的值后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 即， 与对比，得， ∴， 故选：A． 【变式5-1】（25-26九年级上·青海果洛·期末）用配方法解一元二次方程，得到，则p的值为（   ） A． B．5 C． D．21 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是掌握配方法的基本步骤，即通过配方将方程转化为完全平方的形式，进而确定的值． 【详解】解：∵， ∴， 配方得， 即， ∴， 故选：D． 【变式5-2】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 【变式5-3】把方程2x2-4x-1=0 化为(x+m)2=n 的形式，则m、n的值是（ ） A．m=2，n= B．m=-1，n= C．m=1,n=4 D．m=n=2 【答案】B 【详解】解：∵2x2﹣4x﹣1=0，∴2x2﹣4x=1，∴x2﹣2x=，∴x2﹣2x+1=+1，∴（x﹣1）2=，∴m=﹣1，n=．故选B． 【题型6 利用配方法求最值】 【例6】（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 【变式6-1】当__________时，代数式取得最小值． 【答案】 【分析】运用配方法变形x2-2x+3=（x-1）2+2；得出（x-1）2+2最小时，即（x-1）2=0，然后得出答案． 【详解】∵x2-2x+3=x2-2x+1+2=（x-1）2+2， ∴当x-1=0时，（x-1）2+2最小， ∴x=1时，代数式x2-2x+3有最小值． 故答案为:1． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，得出（x-1）2+2最小时，即（x-1）2=0，这是解决问题的关键． 【变式6-2】已知实数，满足，则的最大值为______. 【答案】4 【分析】根据已知等式，可用表示出．再利用二次函数的性质可求得其最大值． 【详解】解：， ， ， 当时，有最大值4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查二次函数的最值，用表示出是解题的关键，注意函数性质的应用． 【变式6-3】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 【题型7 利用配方法比较大小】 【例7】（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）①；；；②，理由见解析；（2），理由见解析 【分析】此题考查了配方法的应用，不等式的性质 ，熟练掌握用作差法比较两个数或两个代数式的大小是解题的关键； （1）①分别将m的值代入计算，再进行比较即可；②将两个式子作差得，根据完全平方的非负性，即可得出答案； （2）两个代数式作差，得到完全平方形式，比较大小，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 故答案为；；；； ②，理由如下：， 无论m取何值， ∴无论m取何值，总有； 故答案是：； （2），理由如下： ∵ ∴． 【变式7-1】已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的即可求出答案． 【详解】 解： 故选：C． 【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 【变式7-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 【变式7-3】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、比较大小、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：． 因为， 所以， 因此有最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)请比较多项式与的大小，并说明理由； (3)已知，，，求代数式的值． 【答案】(1)5 (2)，理由见解析 (3)3 【分析】本题主要考查配方法的运用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键． （1）将变形为，即可求解； （2）先求与的差为，再将变形为，即可求解； （3）由，，得，，，将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ． ∴代数式的最小值为5． （2） ， ， ． ． ． （3），， ，，． ． 【题型8 利用配方法判断三角形的形状】 【例8】已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ________ ． 【答案】直角三角形 【分析】等式配方成，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【变式8-1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】为等腰三角形，理由见解析． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解：为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 【变式8-2】（25-26八年级上·全国·期末）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题： (1)填空： ； (2)若，求的值； (3)若a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为等边三角形，理由见解析 【分析】 本题考查配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题． （1）运用完全平方公式求解即可. （2）首先将，分成两个完全平方式的形式，根据非负数的性质求出a，b的值即可； （3）先将已知等式利用配方法变形，再利用非负数的性质解题． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， （3）解：为等边三角形，理由如下： 即， ∴，，， ∴，, ∴， 为等边三角形． 【变式8-3】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）追本溯源 题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 【答案】（1），；（2）是直角三角形，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解； （3）先配方，得出，再根据题中方法，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为， 解得：，． 当，即，解得：； 当，即，解得：． 所以原方程的解，． （2）解：是直角三角形， 理由如下：∵、、为的三边， 故，， ∴， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即， 即， 故是直角三角形． （3）解：， ∵， 故， 即； 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）． 当，即． 【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，配方法的应用，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． 模块三 课后作业 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，解这类问题要先把所有含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式求解． 先把所有含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，再利用直接开平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵任何实数的平方都是非负数，即，而， ∴该一元二次方程无实数根． 故选C． 2．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为(　　) A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先把常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程转化为的形式，进而确定的值． 【详解】解：对于一元二次方程， 将常数项移到等号右边，得：； 一次项系数为2，其一半为，在方程两边同时加上，得：， 配方为， ∴． 3．（24-25九年级上·湖南永州·阶段检测）用配方法将代数式变形，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，关键是找到完全平方式然后进行配方，将代数式通过配方法变形，需将二次项和一次项组合成完全平方形式，并调整常数项． 【详解】解：， 故选：D． 4．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的概念，由完全平方式的非负性是解决本题的关键． 对代数式分别对对部分配方和对部分配方得到完全平方式，再通过配方法转化为平方和的形式，结合非负性即可确定其取值范围． 【详解】解：原式可分解为： 对部分配方：； 对部分配方：； 代入原式得：， 由于且，故， 因此原式的最小值为， 综上，代数式的值总不小于2． 故选：A． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由 得 ，代入 得到 ，利用配方法可得，即得，据此即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 可能取值为， 故选：． 6．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）关于的一元二次方程的解是________． 【答案】， 【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握用直接开平方法解一元二次方程是关键．根据用直接开平方法解一元二次方程的方法，先移项再开平方即可． 【详解】解：， ， ， ． 7．（25-26九年级上·陕西延安·期中）将一元二次方程配方后得到，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较常数项求值即可． 【详解】解：配方后得到，展开左边得，即； 与原始方程比较，得； 故答案为． 8．若，则________ ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，熟练掌握利用完全平方公式配方是解题的关键．先通过等式的变形对等式左边进行变形及配方，再利用非负数的性质求解即可． 【详解】解：， 两边同乘以，得：， 变形为：， 得：， ∵，，， ∴，，， 解得：，，， 则， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东德州·期中）定义：如果存在一个数i，使时，有，从而是方程的两个根．据此可知的两根为________． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，再利用定义中i的性质求解． 【详解】解：方程移项得， 配方得， 即， ∵是方程的两个根， ∴， 即， 则将开平方得， 解得，． 故答案为：，． 10．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是____________． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）在用配方法解方程时，小颖的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得， 即               ． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以， 请回答： (1)小颖的解答过程从第___________步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程． 【答案】(1)二 (2)， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤． （1）等号两边应该加上； （2）先在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配成完全平方式，再直接开平方求解． 【详解】（1）解：小颖的解答过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： 或 ∴，． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）运算能力用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)， 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，配方法的核心步骤为：先将二次项系数化为1，再移项将常数项移至方程右侧，接着在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左侧配成完全平方式，最后通过直接开平方法求解方程的根． （1）先将二次项系数化为1，再依次进行移项、配方、开平方操作求解； （2）先消除二次项的分数系数，转化为整系数方程后，按配方法步骤求解； （3）先将二次项系数化为正数且为1，再移项、配方、开平方求解； （4）先将方程展开整理为一元二次方程的一般形式，再按照配方法的标准步骤求解． 【详解】（1）解：两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：，即， 开平方得：， ∴， 即，； （2）解：两边同时乘以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； （3）解：两边同时乘以得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，； （4）解：展开得：， 合并同类项得：， 移项得：， 两边同时除以2得：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴， 即，． 13．（25-26九年级上·福建·阶段检测）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． (1)求的数量关系； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，进行计算化简得； （2）把代入进行计算，然后配方，最后分析当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程是“方程” ∴把代入， 得 ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的解题过程进行模仿，得，再分析，得出，即可作答． （2）先整理得，，故，再分析，则，即可作答． 【详解】（1）解： ， ， ∴， 则； （2）解：，理由如下： 由题意，得， 则， ， ∵， ， 即， 则． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 一元二次方程的解法——配方法（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+8个题型+课后作业】 模块二 配方法 同学们，在数学中，有一种方程我们解起来特别轻松，比如=16.因为它左边是一个完美的完全平方式，右边是一个常数，我们只需要把(+3)看作一个整体，两边直接开平方，就能瞬间求出答案. 但是，如果方程长这样：+6+5=0，左边并不是一个完全平方式，我们没法直接开平方，该怎么办呢？ 大家不妨从几何的角度想象一下：是边长为的正方形，6是两个长为、宽为3的长方形.把它们拼在一起，右下角会留下一个边长为3的小正方形空缺.为了让它变成完美的大正方形，我们只需在等式两边同时“补”上这个空缺的面积=9. 在代数上，这种通过添加特定常数，把“残缺”的方程变成“完美”的=n形式，然后再用直接开平方法求解的过程，就是我们今天要学习的配方法. 【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】 1. 非负数a的算术平方根为，平方根为． 例如：144的算术平方根为，平方根为． 2. 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 3. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 【知识点2 配方法解一元二次方程】 1. 解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 2. 配方法解一元二次方程的一般步骤(示例) 一般步骤 方法 实例 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 二化 二次项系数化为1 方程左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 得出两个根 移项，合并同类项 ， 归纳：当方程一边配成了关于未知数的完全平方式后，如果另一边是正数，那么这个方程就有两个不相等的实数根；如果另一边是零，那么这个方程就有两个相等的实数根；如果另一边是负数，那么这个方程就没有实数根． 3. 解题依据：，把公式中的看作未知数，并用代替，则． 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 【例1】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】关于的方程能直接开平方求解的条件是（    ） A． B． C．为任意数 D．为任意数且 【变式1-2】（25-26八年级上·上海·期末）方程的解是____________． 【变式1-3】（24-25九年级上·重庆丰都·期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 用直接开平方法求字母的值】 【例2】（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是______． 【变式2-1】若关于x的一元二次方程（x－a）2=4，有一个根为1，则a的值是（ ）． A．3 B．1 C．－1 D．－1或3 【变式2-2】对于解关于x的一元二次方程，可以通过降次转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程是，则m的值为__________． 【变式2-3】若一元二次方程的两根分别为与． (1)求的值； (2)求的值． 【题型3 二次三项式的配方】 【例3】（25-26九年级上·湖南株洲·期末）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】方程配方后写成的形式，则b的值为________． 【变式3-2】（24-25九年级上·宁夏固原·期末）用配方法解一元二次方程，经配方后得到的方程是______． 【变式3-3】用配方法解方程，配方后方程可化为________． 【题型4 用配方法解一元二次方程】 【例4】（24-25九年级上·河南南阳·期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： 二次项系数化为1，得 ……………………第一步 移项，得．……………………第二步 配方，得，即．……………………第三步 由此，可得．……………………第四步 所以，……………………第五步 任务一、填空： ①“第二步”变形的数学依据是 ；（用文字语言填空） ②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 ；（用数学符号语言填空） ③小明同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． 任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：． 【变式4-1】（25-26九年级上·河北沧州·期末）一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】规定：，如：，若，则＝__. 【变式4-3】（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，在长方形中，以点为圆心，为半径作弧与交于点，以点为圆心，为半径作弧与交于点．设，则方程的一个正根是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【题型5 利用配方法解一元二次方程求字母的值】 【例5】（25-26九年级上·山东聊城·期末）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式5-1】（25-26九年级上·青海果洛·期末）用配方法解一元二次方程，得到，则p的值为（   ） A． B．5 C． D．21 【变式5-2】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-3】把方程2x2-4x-1=0 化为(x+m)2=n 的形式，则m、n的值是（ ） A．m=2，n= B．m=-1，n= C．m=1,n=4 D．m=n=2 【题型6 利用配方法求最值】 【例6】（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【变式6-1】当__________时，代数式取得最小值． 【变式6-2】已知实数，满足，则的最大值为______. 【变式6-3】（25-26九年级上·浙江台州·阶段检测）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型7 利用配方法比较大小】 【例7】（1）①比较与的大小：（填“”、“”或“=”） 当时，________； 当时，________； 当时，________． ②观察并归纳①中的规律，无论m取什么值，________填“”“”“”或“，并说明理由． （2）利用上题的结论回答：试比较与的大小关系，并说明理由． 【变式7-1】已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【变式7-3】（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、比较大小、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：． 因为， 所以， 因此有最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，解下列问题： (1)代数式的最小值为________； (2)请比较多项式与的大小，并说明理由； (3)已知，，，求代数式的值． 【题型8 利用配方法判断三角形的形状】 【例8】已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ________ ． 【变式8-1】（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式8-2】（25-26八年级上·全国·期末）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题： (1)填空： ； (2)若，求的值； (3)若a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【变式8-3】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）追本溯源 题（）是北师大版初中数学九年级上册第页复习题，请你完成解答，提炼方法后，完成题（）、题（）． （1）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． 方法应用： （2）已知、、为的三边，若，，请判断的形状，说明理由． （3）已知为实数且满足，请直接写出的值． 模块三 课后作业 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的根是（    ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 2．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为(　　) A． B．1 C． D． 3．（24-25九年级上·湖南永州·阶段检测）用配方法将代数式变形，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．不论、为何实数，代数式的值（   ） A．总不小于 B．总不小于 C．可为任何实数 D．可能为负数 5．（25-26九年级上·江苏南京·期中）若，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）关于的一元二次方程的解是________． 7．（25-26九年级上·陕西延安·期中）将一元二次方程配方后得到，则a的值为______． 8．若，则________ ． 9．（25-26九年级上·山东德州·期中）定义：如果存在一个数i，使时，有，从而是方程的两个根．据此可知的两根为________． 10．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是____________． 11．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）在用配方法解方程时，小颖的解法如图： 第一步：移项，得． 第二步：配方，得， 即               ． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以， 请回答： (1)小颖的解答过程从第___________步开始出现错误； (2)请给出这道题的正确解答过程． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）运算能力用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（25-26九年级上·福建·阶段检测）定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． (1)求的数量关系； (2)求代数式的最小值． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式．例如：． 根据上述过程，解答下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． (2)图①中矩形的长和宽分别是，，面积为；图②中矩形的长和宽分别是，，面积为．请比较与的大小，并说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $