19.2数据的离散程度19.3借助箱线图描述数据的分布【同步课堂】2025-2026学年华东师大版八年级数学下册同步培优讲义

本讲义聚焦数据的离散程度与分布描述，系统梳理方差（含公式与稳定性判断）、离差平方和（与方差关系及应用）、四分位数（分割点与四分位距）、箱线图（五数概括与结构功能）四大知识点，构建从概念理解到计算应用再到数据可视化的学习支架。 资料以8类题型为核心，通过典例解析与变式训练强化运算能力，结合实际案例（如成绩稳定性比较、销售决策分析）培养数据意识与推理意识。课中助力教师分层教学，课后过关检测帮助学生查漏补缺，实现知识巩固与应用能力提升。

19.2数据的离散程度19.3借助箱线图描述数据的分布 （4知识点+8题型+过关检测） 【题型1 求方差】 2 【题型2 利用方差求未知数据的值】 2 【题型3 根据方差判断稳定性】 3 【题型4 运用方差做决策】 4 【题型5 求离差平方和】 5 【题型6 离差平方和的应用】 6 【题型7 求四分位数】 8 【题型8 画箱线图】 8 1. 理解方差、离差平方和的概念，掌握方差的计算公式与计算方法 2. 理解四分位数的意义，掌握四分位数的求解方法 3. 掌握箱线图的五数构成、基本结构和绘制步骤 4. 能通过箱线图读取、分析数据的分布、集中趋势与波动范围 03 知识•梳理 ★ 知识点1：方差 1. 定义：方差是衡量一组数据离散程度（波动大小）的统计量 2. 公式：s² = 1/n[(x₁-x̄)² + (x₂-x̄)² + ... + (xₙ-x̄)²] 3. 意义：方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定 4. 简化公式：s² = 1/n(x₁²+x₂²+...+xₙ²) - x̄²（数据较大时使用） ★ 知识点2：离差平方和 1. 定义：各数据与平均数之差的平方和 2. 公式：SS = (x₁-x̄)² + (x₂-x̄)² + ... + (xₙ-x̄)² 3. 与方差关系：方差 = 离差平方和 ÷ 数据个数 4. 意义：反映数据整体偏离中心的总程度 ★ 知识点3：四分位数 1. 定义：将排序后的数据分成四等份的三个分割点 • Q₁（下四分位数）：第25%位置的数，小于等于它的数据占25% • Q₂（中位数）：第50%位置的数，小于等于它的数据占50% • Q₃（上四分位数）：第75%位置的数，小于等于它的数据占75% 2. 四分位距：IQR = Q₃ - Q₁，代表中间50%数据的波动范围 ★ 知识点4：箱线图 1. 五数概括：最小值、Q₁、中位数(Q₂)、Q₃、最大值 2. 结构：箱体(Q₁~Q₃) + 中位数线 + whiskers(须)延伸至最值 3. 功能：直观展示数据分布的中心、 spread、偏态和异常值 4. 解读：箱体越窄→数据越集中；须越长→极端值范围越大 04 题型•讲练 【题型1 求方差】 解题技巧： ①一算平均数：x̄ = (x₁+x₂+...+xₙ)/n ②二求偏差：每个数据 - 平均数 ③三算平方：各偏差平方 ④四求平均：平方和÷n ★技巧：数据大可同减一数简化计算，方差不变 【典例1】．某人为了考察月季、玫瑰两种花的苗高，分别从中抽取5株苗，测得花苗的高（单位：cm）如下：甲：2，4，6，8，10；乙：1，3，5，7，9．用和分别表示这两个样本的方差，那么（     ） A． B． C． D．不确定 【变式1】．设是，，，的方差，是，，，的方差，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．数据，，，，，，，，，的方差是__________． 【变式3】．某工程队有名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示： 工种 人数 每人每月工资/元 电工 木工 瓦工 现该工程队进行了人员调整：减少木工名，增加电工、瓦工各名，与调整前相比，该工程队员工月工资的平均数__________，方差__________．（填“变小”“不变”或“变大”） 【题型2 利用方差求未知数据的值】 解题技巧： ①设未知数为x ②写出含x的平均数表达式 ③代入方差公式列方程 ④解方程求x，注意检验合理性 ★技巧：利用"方差≥0"性质验证 【典例2】．已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【变式1】．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有，根据该公式，下列说法错误的是（    ） A．中位数是3 B．众数是2 C．的值是7 D．平均数是 【变式2】．若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 【变式3】．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【题型3 根据方差判断稳定性】 解题技巧： ①先比较两组数据平均数 ②平均数相同/相近时，直接比方差 ③方差小→波动小→更稳定 ④方差大→波动大→不稳定 ★关键：必须在平均数相近前提下比较 【典例3】．某剧院为吸引顾客，让扮演太乙真人、哪吒、敖丙、申公豹的四位工作人员进行投掷乾坤圈比赛，下表记录了四人测试（每人掷5次）的相关数据： 太乙真人 哪吒 敖丙 申公豹 平均距离/ 43 54 54 50 方差 6.4 3.2 3.5 4.8 根据表中数据，四人中成绩又好（扔得越远越好）又稳定的是（     ） A．太乙真人 B．哪吒 C．敖丙 D．申公豹 【变式1】．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 6.4 7.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】．甲、乙两运动队学生身高如下（单位：）：甲：160，159，161，158，162，163，160，157；乙：157，158，159，160，161，161，162，162．则两队身高的平均数________，________，样本方差是________，________．由方差可知，两队队员的身高________队更均匀些． 【变式3】．某校举行射击比赛，下表记录了甲、乙、丙三名参赛选手成绩的平均数和方差． 甲 乙 丙 平均数 9.41 9.45 9.45 方差 0.31 0.022 0.036 根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择________．（填 “甲”或“乙”或“丙”） 【题型4 运用方差做决策】 解题技巧： ①先看平均水平（平均数高低） ②再看稳定程度（方差大小） ③高平均+低方差→最优选择 ④根据实际需求权衡：求稳选低方差，求高选高平均 【典例4】．某服装专卖店出售某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下： 尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售数量（件） 10 20 15 12 12 该店主决定本周进货时，增加了一些40码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式1】．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】．要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是89.5分，方差分别是，，，你认为派____（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 【变式3】．为考察学校劳动实践基地甲、乙、丙三种小麦的长势，数学兴趣小组从三种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得三种小麦苗高的平均数分别为，，，方差分别为，则这三种小麦长势更高更整齐的是______．（填“甲”“乙”或“丙”） 【题型5 求离差平方和】 解题技巧： ①先求平均数x̄ ②逐个计算(xᵢ-x̄)² ③全部相加求和 ★技巧：SS = n×s²，已知方差可直接乘n 【典例5】．学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【变式1】．下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 【变式2】．已知一组数据7，2，5，x，8，2的平均数是5，则这组数据的离差平方和为_____． 【变式3】．某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 【题型6 离差平方和的应用】 解题技巧： ①离差平方和越大→整体偏离越大 ②比较两组数据总离散程度用离差平方和 ③数据个数不同时，转化为方差比较 ★注意：离差平方和受数据量影响，方差才是标准化指标 【典例6】．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【变式1】．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2】．某镇5家企业去年的产值如下表所示 企业 A B C D E 产值/亿元 13 15 7 9 12 根据年产值的组内离差平方和最小的原则分为两组，则分组方法为（将同组的企业名称用大括号括起来）_______ 【变式3】．某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 【题型7 求四分位数】 解题技巧： ①第一步：数据从小到大排序 ②第二步：求中位数(Q₂)，分数据为左右两半 ③第三步：左半的中位数=Q₁，右半的中位数=Q₃ ④奇数个数据时，中位数不纳入左右两半 ★口诀：排序→分半→各求中 【典例7】．九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【变式1】．课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．某校“魅力篮球节”活动中，有8位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，9，8．则这8位同学投篮进球次数的上四分位数为__________． 【变式3】．数据，，，，，，，，，，，中位数是________，下四分位数是________，上四分位数是________． 【题型8 画箱线图】 解题技巧： ①排序确定五数：min, Q₁, Q₂, Q₃, max ②画数轴，标注刻度范围 ③画箱体：左边界Q₁，右边界Q₃ ④箱体中间画竖线表中位数 ⑤左右画须连到min和max ⑥添加标题与标注 【典例8】．为优化用户体验，某数据分析团队监测了网站的首页加载时间（单位：秒），并将收集到的1000个样本数据绘制成箱线图（如图）．根据箱线图，下列描述不正确的是（     ） A．约有的用户访问时，首页加载时间低于2.5秒 B．上须线（中间的竖线）明显较长，说明存在少量加载极慢 C．该网站首页加载时间的中位数与下四分位数之差，大于上四分位数与中位数之差 D．约有的用户访问时，首页加载时间在2.5秒到4秒之间，体验稳定性较好 【变式1】．某地区年月和月的空气质量指数箱线图如下．值越小，空气质量越好，值超过，说明达到重度污染．则下列说法正确的有（     ） ①该地区年月有重度污染天气 ②该地区年月值的最小值比月小 ③该地区年月值比月值集中 ④从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 ⑤该地区年月和月值的中位数相同 A．④⑤ B．③⑤ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【变式2】．甲、乙两支仪仗队队员（人数相同）的身高箱线图如图所示，则身高较为匀称的是___仪仗队．（填“甲”或“乙”） 【变式3】．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 05 过关•检测 1．福州一中合唱团从初一年段选了名身高统一的学生作为新成员，经过三年的学习与生活，这名学生的身高与入学时相比，身高差异明显变大，因此，三年后这名学生的身高（     ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数变大，方差变小 C．平均数变大，方差不变 D．平均数变大，方差变大 2．在“探究重力与质量的关系”的实验中，小亮和小红使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：）．小亮记录的数据是：3.9，4.0，4.0，4.0，4.1；小红记录的数据是：3.7，3.8，4.0，4.2，4.3，关于小亮和小红测量数据的波动程度，下列说法正确的是（     ） A．小亮的测量数据波动更大 B．小红的测量数据波动更大 C．两人的测量数据波动一样 D．无法比较 3．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 4．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 5．甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图． 根据图中信息，下列结论正确的是（     ） A．甲的跳绳成绩总是高于乙 B．甲的跳绳成绩的众数为184 C．甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D．甲的跳绳成绩的方差小于乙 6．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9．这组数据的离差平方和为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 8．如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（     ） A．地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B．地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C．地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D．地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 9．某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：cm）数据如下表所示： 甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181 乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182 如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是_________队（填“甲”或“乙”）． 10．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 11．某班甲、乙、丙3名同学参加实心球测试，每人投掷实心球5次成绩的平均数（单位：米）及方差如下表： 项目 甲 乙 丙 9.56 10.25 10.25 0.15 0.36 0.15 根据表中信息，选择1名成绩好且发挥稳定的同学参加运动会掷实心球比赛，应选择参赛的同学是________． 12．某专业测试团队对甲、乙、丙三家通信公司的家用宽带网络速率（单位：）进行了次测试，测试数据的统计结果如下表： 通信公司 甲 乙 丙 平均网络速率 网络速率方差 已知家用宽带用户对网络速率的要求是快且稳定．若小明家想从这三家公司中选择一家安装宽带，则应选择的通信公司是______．（填“甲”“乙”或“丙”） 13．山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”．现某苹果商贩购进一批苹果按照苹果的个头进行包装销售．抽取其中的10个苹果直径为，按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成2组，将这10个数据从小到大排序，分别按前个数据为第一组、其余数据为第二组（）进行分组，共有9种情况，如下：（结果保留整数） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 147 147 第2个间隔 8 90 98 第3个间隔 14 34 48 第4个间隔 51 24 75 第5个间隔 82 16 98 第6个间隔 103 5 108 第7个间隔 135 1 136 第8个间隔 182 1 183 第9个间隔 218 0 218 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为___________和___________． 14．学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 15．在一分钟跳绳测试中，6名同学完成的次数分别为120，135，110，105，140，125．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学跳绳次数分为两组． 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 570 570 第2个间隔 250 第3个间隔 第4个间隔 250 第5个间隔 570 0 570 16．为了激发学生的数学学习兴趣，某班举办了一次数学趣味挑战活动，活动共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目满分都是100分，每项得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在80分以上（含80分）设为一等奖．下表为该班甲、乙、丙三位同学已比项目的得分情况（单位：分）． 项目 得分学生 七巧拼图 趣题巧解 数学应用 魔方复原 折算后总分 甲 乙 丙 根据活动规则，乙、丙两位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为30分． (1)请问甲参加“数学应用”项目至少获得多少分时，他才能获得活动一等奖； (2)如果甲的“数学应用”项目得分为72分，请你在甲、乙、丙这三位同学推荐一位同学代表班级去参加校级比赛，并说明你的推荐理由． 17．某学校为选拔优秀运动员参加县中学生运动会，组织了多次百米跑测试，其中甲、乙两名运动员表现较为突出，他们在10次百米跑测试中的成绩（单位：s）如下表所示： 单位：s 甲 11.8 11.9 12.0 11.7 12.2 12.1 11.8 12.0 11.7 11.9 乙 11.9 11.9 11.8 11.8 12.0 11.9 11.8 12.1 11.9 11.8 如果根据这10次成绩选拔一人参加比赛，你认为哪一位比较合适？ 18．某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 c 乙队 d 177 b 0.89 (1)表中_____，_____，_____． (2)请计算甲队的方差，并判断哪队队员身高更整齐． 19．已知张明与李华在学校的五次数学竞赛培训的测试成绩（单位：分）如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 张明的成绩 75 80 85 85 100 李华的成绩 70 100 100 75 80 (1)计算出下表中a，b，c的值． 平均数／分 中位数／分 众数／分 方差／分 张明的成绩 a 85 b 李华的成绩 85 c 100 160 (2)结合两个人成绩的平均数和中位数进行分析，哪个人的成绩较好？ (3)计算张明成绩的方差，并判断哪个人的成绩较为稳定． 20．某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（） 收益率的平均值 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 收益率的平均值 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 21．为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，58，70，80，80，85，86，88，92，95，97，100； 八年级积分：70，72，77，83，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 82.2 m 80 八年级 85.9 n p (1)统计表中_______，______，_______； (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定，请说明理由． 22．某银行理财有A和B两个团队，对其年上半年负责经营的项理财产品的收益率（）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）； A：，，，，，，，，，，， B：，，，，，，，，，，， A团队和B团队产品收益率的相关数据（） 团队 A a B b c 请根据以上信息解答下列问题： (1)______，_______，______． (2)如图为团队A，B负责经营的理财产品收益率的箱线图，请在图中“（     ）”内填写相应数据，根据箱线图，从总体经营效益和稳健度两方面对A，B两个团队的经营水平作出评价，并选择合适理财团队． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2数据的离散程度19.3借助箱线图描述数据的分布 （4知识点+8题型+过关检测） 【题型1 求方差】 2 【题型2 利用方差求未知数据的值】 4 【题型3 根据方差判断稳定性】 6 【题型4 运用方差做决策】 9 【题型5 求离差平方和】 11 【题型6 离差平方和的应用】 13 【题型7 求四分位数】 17 【题型8 画箱线图】 18 1. 理解方差、离差平方和的概念，掌握方差的计算公式与计算方法 2. 理解四分位数的意义，掌握四分位数的求解方法 3. 掌握箱线图的五数构成、基本结构和绘制步骤 4. 能通过箱线图读取、分析数据的分布、集中趋势与波动范围 03 知识•梳理 ★ 知识点1：方差 1. 定义：方差是衡量一组数据离散程度（波动大小）的统计量 2. 公式：s² = 1/n[(x₁-x̄)² + (x₂-x̄)² + ... + (xₙ-x̄)²] 3. 意义：方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定 4. 简化公式：s² = 1/n(x₁²+x₂²+...+xₙ²) - x̄²（数据较大时使用） ★ 知识点2：离差平方和 1. 定义：各数据与平均数之差的平方和 2. 公式：SS = (x₁-x̄)² + (x₂-x̄)² + ... + (xₙ-x̄)² 3. 与方差关系：方差 = 离差平方和 ÷ 数据个数 4. 意义：反映数据整体偏离中心的总程度 ★ 知识点3：四分位数 1. 定义：将排序后的数据分成四等份的三个分割点 • Q₁（下四分位数）：第25%位置的数，小于等于它的数据占25% • Q₂（中位数）：第50%位置的数，小于等于它的数据占50% • Q₃（上四分位数）：第75%位置的数，小于等于它的数据占75% 2. 四分位距：IQR = Q₃ - Q₁，代表中间50%数据的波动范围 ★ 知识点4：箱线图 1. 五数概括：最小值、Q₁、中位数(Q₂)、Q₃、最大值 2. 结构：箱体(Q₁~Q₃) + 中位数线 + whiskers(须)延伸至最值 3. 功能：直观展示数据分布的中心、 spread、偏态和异常值 4. 解读：箱体越窄→数据越集中；须越长→极端值范围越大 04 题型•讲练 【题型1 求方差】 解题技巧： ①一算平均数：x̄ = (x₁+x₂+...+xₙ)/n ②二求偏差：每个数据 - 平均数 ③三算平方：各偏差平方 ④四求平均：平方和÷n ★技巧：数据大可同减一数简化计算，方差不变 【典例1】．某人为了考察月季、玫瑰两种花的苗高，分别从中抽取5株苗，测得花苗的高（单位：cm）如下：甲：2，4，6，8，10；乙：1，3，5，7，9．用和分别表示这两个样本的方差，那么（     ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查方差的计算，解题思路为先分别求出两组数据的平均数，再代入方差公式计算方差，最后比较方差的大小． 【详解】首先计算甲组数据的平均数： ， 根据方差公式 得 ， 再计算乙组数据的平均数： ， 则 ， ． 【变式1】．设是，，，的方差，是，，，的方差，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平均数和方差的定义表示出数据，，，的平均数和方差，进而表示出数据，，，的平均数和方差，即可推导出两组数据方差的数量关系． 【详解】设数据，，，的平均数为，数据，，，的平均数为， ， ； ， 即． 【变式2】．数据，，，，，，，，，的方差是__________． 【答案】 【分析】按照方差计算步骤，先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵数据为，，，，，，，，，， ∴， ∴ ． 【变式3】．某工程队有名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示： 工种 人数 每人每月工资/元 电工 木工 瓦工 现该工程队进行了人员调整：减少木工名，增加电工、瓦工各名，与调整前相比，该工程队员工月工资的平均数__________，方差__________．（填“变小”“不变”或“变大”） 【答案】 不变 变大 【分析】先计算调整前后员工月工资的平均数，判断平均数的变化，再根据方差的定义，比较调整前后方差的变化情况． 【详解】解：调整前总工资为元， 调整前平均数为元， 调整后电工人数为，木工人数为，瓦工人数为，总人数仍为， 调整后总工资为元， 调整后平均数为元， ∴平均数不变， 调整前的方差 调整后的方差 ∴方差变大． 【题型2 利用方差求未知数据的值】 解题技巧： ①设未知数为x ②写出含x的平均数表达式 ③代入方差公式列方程 ④解方程求x，注意检验合理性 ★技巧：利用"方差≥0"性质验证 【典例2】．已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（   ） A．32 B．28 C．24 D．8 【答案】A 【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果． 【详解】解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数， 对比题中给出的方差， 可得数据个数，这组数据的平均数， ∴这组数据的总和为． 【变式1】．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有，根据该公式，下列说法错误的是（    ） A．中位数是3 B．众数是2 C．的值是7 D．平均数是 【答案】D 【分析】根据方差公式得到每个数的出现次数，整理出这组数据，再逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴数据2出现3次，数据3出现2次，数据4出现2次， ∴数据总个数，将这组数据从小到大排列为， A、数据一共有7个数，中位数为第4个数3，故选项正确，不符合题意； B、数据中2出现次数最多，则众数为2，故选项正确，不符合题意； C、，故选项正确，不符合题意； D、计算平均数得，故选项错误，符合题意． 【变式2】．若一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等，则x的值为__________（用含m的代数式表示） 【答案】或/或 【分析】根据已知这组数据为相邻的整数，两组数据的方差相同，可得另一组数据也为相邻的整数，即可作答． 【详解】解：∵一组数据m，，，，x的方差与另一组数据，，，，的方差相等， ∴这组数据可能为m，，，，或，m，，，， ∴x的值为或． 【变式3】．若一组数据的方差为：，则该组数据的总和为___________． 【答案】15 【分析】本题主要考查了方差的定义，根据方差公式的定义，先确定数据的个数和平均数，再用平均数乘以数据个数得到数据总和． 【详解】解：由方差的公式可知，该组数据的个数，平均数，根据平均数的定义，数据总和平均数数据个数，即． 故答案为：15． 【题型3 根据方差判断稳定性】 解题技巧： ①先比较两组数据平均数 ②平均数相同/相近时，直接比方差 ③方差小→波动小→更稳定 ④方差大→波动大→不稳定 ★关键：必须在平均数相近前提下比较 【典例3】．某剧院为吸引顾客，让扮演太乙真人、哪吒、敖丙、申公豹的四位工作人员进行投掷乾坤圈比赛，下表记录了四人测试（每人掷5次）的相关数据： 太乙真人 哪吒 敖丙 申公豹 平均距离/ 43 54 54 50 方差 6.4 3.2 3.5 4.8 根据表中数据，四人中成绩又好（扔得越远越好）又稳定的是（     ） A．太乙真人 B．哪吒 C．敖丙 D．申公豹 【答案】B 【分析】平均数反映了一组数据中各数据的平均大小，方差反映了这组数据在它的平均数附近波动的情况，是用来衡量一组数据波动大小的量．题目要求成绩又好（扔得越远越好）又稳定的，需选择平均数较大的，若平均数相等，需比较方差，方差较小的成绩较稳定，即可求解． 【详解】解：由题意可知，哪吒与敖丙的平均成绩最高，均为54m，而哪吒的方差小于敖丙的方差，说明哪吒的成绩较稳定，由此可知哪吒的成绩又好（扔得越远越好）又稳定． 【变式1】．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 6.4 7.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查平均数和方差的意义，平均数越大代表整体成绩越好，方差越小代表发挥越稳定，先比较平均数筛选出成绩好的运动员，再比较方差即可选出符合要求的人选． 【详解】解：∵ ， ∴ 从甲和丙中选择一人参加比赛； ∵ ，方差越小发挥越稳定， ∴ 甲成绩好且发挥稳定，应选择甲． 【变式2】．甲、乙两运动队学生身高如下（单位：）：甲：160，159，161，158，162，163，160，157；乙：157，158，159，160，161，161，162，162．则两队身高的平均数________，________，样本方差是________，________．由方差可知，两队队员的身高________队更均匀些． 【答案】 乙 【分析】根据平均数公式和方差公式分别计算甲、乙两队身高的平均数、样本方差，再利用方差的意义判断即可． 【详解】； ； ； ； ，方差越小，数据波动越小，身高越均匀， 乙队队员的身高更均匀些． 【变式3】．某校举行射击比赛，下表记录了甲、乙、丙三名参赛选手成绩的平均数和方差． 甲 乙 丙 平均数 9.41 9.45 9.45 方差 0.31 0.022 0.036 根据表中的数据，要选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加比赛，应选择________．（填 “甲”或“乙”或“丙”） 【答案】乙 【分析】选择平均数大的和方差小的即可． 【详解】解：丙和乙的平均数较大，从丙和乙中选择一人参加比赛． 乙的方差较小，成绩更稳定，选择乙参加比赛． 【题型4 运用方差做决策】 解题技巧： ①先看平均水平（平均数高低） ②再看稳定程度（方差大小） ③高平均+低方差→最优选择 ④根据实际需求权衡：求稳选低方差，求高选高平均 【典例4】．某服装专卖店出售某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下： 尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售数量（件） 10 20 15 12 12 该店主决定本周进货时，增加了一些40码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（    ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】不同统计量有不同意义，平均数反映数据平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数，中位数反映数据中间水平，方差反映数据波动大小，店主选择增加销量最高的尺码的进货量，店主需要找出最畅销的衬衫尺码，这属于众数能反映的数据特征． 【详解】解：观察表格数据可得，40码的平均每天销售数量最高，因为众数是一组数据中出现次数最多的数，能反映销售中最畅销的尺码，所以影响店主决策的统计量是众数． 【变式1】．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近10次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差 根据表中的数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】要选择成绩好且发挥稳定的运动员，需先通过平均数判断成绩好坏，平均数越大成绩越好，再通过方差判断稳定性，方差越小发挥越稳定． 【详解】解：∵由表中数据可知 ∴甲和丙的平均成绩更好． 又∵，，可得 ∴丙的方差更小，发挥更稳定． 综上，应选择丙参加比赛． 【变式2】．要从甲、乙、丙三人中选一人参加校诗词大会比赛，经过10次测试，他们的平均成绩都是89.5分，方差分别是，，，你认为派____（填“甲”或“乙”或“丙”）去参赛更合适． 【答案】甲 【分析】平均成绩相同的情况下，方差越小，成绩波动越小，成绩越稳定，比较三人方差的大小即可得出结论． 【详解】解：∵三人的平均成绩都是分，方差分别是 ， ， ， 甲的方差最小，甲的成绩最稳定， 故派甲去参赛更合适． 【变式3】．为考察学校劳动实践基地甲、乙、丙三种小麦的长势，数学兴趣小组从三种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得三种小麦苗高的平均数分别为，，，方差分别为，则这三种小麦长势更高更整齐的是______．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【分析】平均数反映一组数据的平均水平，平均数越大，平均苗高越高，方差反映一组数据的波动程度，方差越小，数据波动越小，长势越整齐，结合数据比较平均数和方差即可得到结果． 【详解】解：首先比较三种小麦苗高的平均数， ，， ，可得乙和丙的平均苗高高于甲， 再比较乙和丙的方差， ，且 ， 丙的方差更小，长势更整齐， 因此三种小麦中长势更高更整齐的是丙． 【题型5 求离差平方和】 解题技巧： ①先求平均数x̄ ②逐个计算(xᵢ-x̄)² ③全部相加求和 ★技巧：SS = n×s²，已知方差可直接乘n 【典例5】．学校组织了“安全知识”小竞赛，某班的5位同学成绩（单位：分）如下：90，91，92，95，95．将这组数据按从小到大排列，则与的组内离差平方和为（     ） A．0 B．1 C．2 D．5 【答案】C 【分析】本题根据组内离差平方和的定义求解，分别计算两组的组内离差平方和，再相加即可得到结果． 【详解】首先计算第一组的离差平方和 ， 第一组的平均数， 第一组离差平方和， 再计算第二组的离差平方和， 第二组的平均数， 第二组离差平方和， 总组内离差平方和为 ． 【变式1】．下表是 10 个城市月均最高气温不同分法的组内离差平方和统计： 分组位置 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第 1 个间隔 0 584.2 584.2 第 2 个间隔 32 380.9 412.9 第 3 个间隔 98.7 285.7 384.4 第 4 个间隔 132 158.8 290.8 第 5 个间隔 228.8 113.2 342 第 6 个间隔 308.8 62 370.8 第 7 个间隔 397.4 14 411.4 第 8 个间隔 562 0.5 562.5 第 9 个间隔 789.6 0 789.6 根据上表，组内离差平方和最小的分组位置是（ ） A．第3个间隔 B．第4个间隔 C．第5个间隔 D．第6个间隔 【答案】B 【分析】根据第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的组内离差平方和求解即可． 【详解】解：观察上表最后一列 “组内离差平方和”，可以发现第4个间隔对应的数值290.8是所有分法中最小的． 【变式2】．已知一组数据7，2，5，x，8，2的平均数是5，则这组数据的离差平方和为_____． 【答案】 【分析】先根据算术平均数的定义求出的值，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数的差的平方和，即可得到结果． 【详解】解：这组数据，，，，，的平均数是，数据个数为， ， 解得， 则离差平方和为 ． 【变式3】．某女子合唱组合的身高分别是、、、和，那么这个合唱组合身高的离差平方和是___________；如果新加入一名成员的身高为，新的组合身高的方差为___________． 【答案】 【分析】先求出平均数，再运用公式直接求出离差平方和和方差，注意带单位，计算方差时，注意人数从5个变成了6个． 【详解】平均数为：， 离差平方和为：； 当新增一人的身高为时，与平均数相等，因此离差平方和不变还是； 方差为：． 【题型6 离差平方和的应用】 解题技巧： ①离差平方和越大→整体偏离越大 ②比较两组数据总离散程度用离差平方和 ③数据个数不同时，转化为方差比较 ★注意：离差平方和受数据量影响，方差才是标准化指标 【典例6】．在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（    ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【答案】D 【分析】先根据“一般水平大体相当”筛选出平均成绩相近的选项，再结合样本容量相同时，离差平方和越小数据越稳定的性质，选出符合甲成绩更稳定的选项即可． 【详解】解：∵两人成绩的“一般水平”大体相当， ∴甲、乙的平均成绩应相近， ∴排除平均成绩差距较大的B、C选项， 又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，且两人射击次数相同，离差平方和越小，成绩波动越小、越稳定， ∴甲的离差平方和应小于乙的离差平方和， ∴A选项中，不符合要求；D选项中，符合要求． 【变式1】．在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 第2个间隔 2 第3个间隔 2 第4个间隔 0 根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用离差平方和进行分组，解题的关键是掌握离差平方和的定义． 根据组内离差平方和最小原则，选取间隔，然后根据离差平方和逐项进行验证即可． 【详解】解：根据组内离差平方和最小原则，选取第2个间隔， A. 的平均数为7，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； B. 的平均数为，离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； C. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数为， 离差平方和为， 组内离差平方和为； D. 的平均数为， 离差平方和为， 的平均数是15，离差平方和为， 组内离差平方和为； 根据组内离差平方和最小原则，可知B符合题意，其余均不符合题意， 故选：B． 【变式2】．某镇5家企业去年的产值如下表所示 企业 A B C D E 产值/亿元 13 15 7 9 12 根据年产值的组内离差平方和最小的原则分为两组，则分组方法为（将同组的企业名称用大括号括起来）_______ 【答案】 【分析】先将产值从小到大排序，讨论所有可行分组，分别计算各组的组内离差平方和，比较后得到离差平方和最小的分组． 【详解】首先将5家企业的产值从小到大排序得：， 将5个数据分为两组： 第一组为1个数据和第二组4个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为 组内离差平方和为； 第一组为2个数据和第二组3个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为， 组内离差平方和为； 第一组为3个数据和第二组2个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为， 组内离差平方和为 第一组为4个数据和第二组1个数据时，第一组平均数为，第二组平均数为， 组内离差平方和为 综上，第一组为2个数据和第二组3个数据时，组内离差平方和最小， 即是符合要求的分组． 【变式3】．某班6名学生的数学成绩（单位：分）如下：80，83，86，89，92，95．老师准备将他们分成两组（每组3人）进行对比分析，现有三种分组方案： 方案 分组情况 组内离差平方和 第1组 第2组 A 80，83，89 86，92，95 84 B 80，83，86 89，92，95 36 C 80，86，92 83，89，95 144 上述三种分组方案中，较为合理的是__________． 【答案】B 【分析】分组对比时，组内离差平方和越小，说明组内数据波动越小，分组越合理，只需比较三个方案的组内离差平方和大小即可得到结果． 【详解】解：比较三种方案的组内离差平方和可得：， ∴方案B的组内离差平方和最小，分组最为合理． 【题型7 求四分位数】 解题技巧： ①第一步：数据从小到大排序 ②第二步：求中位数(Q₂)，分数据为左右两半 ③第三步：左半的中位数=Q₁，右半的中位数=Q₃ ④奇数个数据时，中位数不纳入左右两半 ★口诀：排序→分半→各求中 【典例7】．九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【答案】C 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 【变式1】．课外阅读能帮助中小学生拓展知识视野、培养思维能力、提升语言表达，是课堂教育的重要补充．班主任为了解本班学生每周用于课外阅读的时间，随机调查了名本班学生每周用于课外阅读的时间（单位：），数据如下：，则这组数据的第三四分位数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，再根据分位数计算规则确定位置，即可得这组数据的第三四分位数． 【详解】解：∵原数据为，数据个数， ∴将数据从小到大排序得：， ∵计算第三四分位数位置：，为整数， ∴第三四分位数是第项和第项数据的平均数， 第项数据为，第项数据为， ∴这组数据的第三四分位数为． 【变式2】．某校“魅力篮球节”活动中，有8位同学各投篮10次，进球次数（单位：次）分别为6，5，4，7，6，10，9，8．则这8位同学投篮进球次数的上四分位数为__________． 【答案】8.5次 【分析】本题考查上四分位数的计算，需先将数据从小到大排序，再根据数据个数计算上四分位数的值，上四分位数就是分位数． 【详解】解：将进球次数从小到大排序为，共有个数据， 由，可知上四分位数为第6个数据与第7个数据的平均值， 为（次），即这8位同学投篮进球次数的上四分位数为次． 【变式3】．数据，，，，，，，，，，，中位数是________，下四分位数是________，上四分位数是________． 【答案】 【分析】先根据中位数的定义计算中位数，再将数据分为前半组和后半组，根据下四分位数和上四分位数的定义分别计算下四分位数与上四分位数即可． 【详解】由题意，可知数据共个，且已从小到大排序，位于第位和第位的数据为，， 中位数为； 取前个数据组成前半组，前半组为，，，，，， 下四分位数为； 取后个数据组成后半组，后半组为，，，，，， 上四分位数为． 【题型8 画箱线图】 解题技巧： ①排序确定五数：min, Q₁, Q₂, Q₃, max ②画数轴，标注刻度范围 ③画箱体：左边界Q₁，右边界Q₃ ④箱体中间画竖线表中位数 ⑤左右画须连到min和max ⑥添加标题与标注 【典例8】．为优化用户体验，某数据分析团队监测了网站的首页加载时间（单位：秒），并将收集到的1000个样本数据绘制成箱线图（如图）．根据箱线图，下列描述不正确的是（     ） A．约有的用户访问时，首页加载时间低于2.5秒 B．上须线（中间的竖线）明显较长，说明存在少量加载极慢 C．该网站首页加载时间的中位数与下四分位数之差，大于上四分位数与中位数之差 D．约有的用户访问时，首页加载时间在2.5秒到4秒之间，体验稳定性较好 【答案】C 【分析】根据箱线图读取最小值、下四分位数、中位数、上四分位数及最大值，结合四分位数的统计意义逐一判断选项即可． 【详解】解：由箱线图可知：最小值为，下四分位数为，中位数为，上四分位数为，最大值为， 对于A、下四分位数为，约有的用户访问时，首页加载时间低于秒，故A描述正确； 对于B、上须线长度为，明显长于下须，说明数据右侧拖尾较长，存在少量加载极慢的用户，故B描述正确； 对于C、中位数与下四分位数之差为，上四分位数与中位数之差为， ， 中位数与下四分位数之差小于上四分位数与中位数之差，故C描述不正确； 对于D、箱体内数据占总数据的， 约有的用户访问时，首页加载时间在秒到秒之间，故D描述正确． 【变式1】．某地区年月和月的空气质量指数箱线图如下．值越小，空气质量越好，值超过，说明达到重度污染．则下列说法正确的有（     ） ①该地区年月有重度污染天气 ②该地区年月值的最小值比月小 ③该地区年月值比月值集中 ④从整体上看，该地区年月的空气质量略好于月 ⑤该地区年月和月值的中位数相同 A．④⑤ B．③⑤ C．②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了箱线图的理解与应用，通过观察箱线图的特征，结合的定义，对每个选项逐一分析判断，熟练掌握箱线图的特征是解题的关键． 【详解】解：由箱线图可得，年月的箱线图最上方的横线表示的最大值，低于； ∵值超过，说明达到重度污染， ∴年月没有重度污染天气， ①错误； 箱线图最下方的横线表示数据的最小值， 由箱线图可得，月箱线图的最下方横线的位置高于月箱线图的最下方横线位置， ∴月值的最小值比月大； ②错误； 由箱线图可知，箱线图看起来“扁”，则表明数据波动小，分布集中； 由图可得，月的箱线图比月的箱线图扁， ∴月值比月值集中； ③正确； 月的箱线图，最大值，最小值都在月箱线图的上方， ∴月的值高于月， ∴月的空气质量比月的好； ④错误； 由箱线图可得，箱线图中间的横线表示中位数， 由图可得，月和月值的中位数相同； ⑤正确； 正确的为：③⑤． 【变式2】．甲、乙两支仪仗队队员（人数相同）的身高箱线图如图所示，则身高较为匀称的是___仪仗队．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【分析】根据图中四分位数及身高范围进行判断即可． 【详解】解：从箱线图数据可知，甲、乙两支仪仗队队员身高的四分位数相同，但乙队队员的身高范围更大，甲队队员的身高波动比乙队小，身高较为匀称． 【变式3】．某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），则下列说法错误的是_________________ ．（填序号） ①三个班级中，甲班分数的方差最小；②三个班级中，乙班分数的波动最大；③丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数；④若每班有42个学生，则三个班级的第11名中，丙班的分数最高． 【答案】③ 【分析】 根据箱线图的信息解答即可． 【详解】 解：箱线图的箱体越窄、数据分布越集中，方差越小．甲班的箱线图最紧凑，所以方差最小，①正确； 乙班的箱线图的须最长，数据分布最分散，波动最大，②正确； 丙班的中位数（箱体中间的线）大于80，说明有一半以上的学生得分，所以得分低于80的人数少于得分高于80的人数，③错误； 每班42人，第11名是从高到低排列的第11个，属于上四分位数（前），丙班的上四分位数（箱体的上沿）最高，所以丙班的第11名分数最高，④正确． 故答案为：③． 05 过关•检测 1．福州一中合唱团从初一年段选了名身高统一的学生作为新成员，经过三年的学习与生活，这名学生的身高与入学时相比，身高差异明显变大，因此，三年后这名学生的身高（     ） A．平均数不变，方差不变 B．平均数变大，方差变小 C．平均数变大，方差不变 D．平均数变大，方差变大 【答案】D 【分析】平均数反映数据的平均水平，方差反映数据的波动大小，根据题干描述的身高变化判断两者变化即可． 【详解】解：∵经过三年生长，所有学生整体身高增加，平均身高上升， ∴平均数变大． ∵方差用来衡量一组数据的波动大小，题干明确三年后身高差异明显变大，即数据波动增大， ∴方差变大． 2．在“探究重力与质量的关系”的实验中，小亮和小红使用同一套器材，多次测量同一物体的重力（单位：）．小亮记录的数据是：3.9，4.0，4.0，4.0，4.1；小红记录的数据是：3.7，3.8，4.0，4.2，4.3，关于小亮和小红测量数据的波动程度，下列说法正确的是（     ） A．小亮的测量数据波动更大 B．小红的测量数据波动更大 C．两人的测量数据波动一样 D．无法比较 【答案】B 【分析】数据的波动程度由方差判断，方差越大，数据波动越大，分别计算两组数据的方差，比较大小即可得出结论． 【详解】解：小亮数据的平均数， 小亮数据的方差， 小红数据的平均数， 小红数据的方差， ∵， ∴小红的测量数据波动更大． 3．小明根据方差公式，分析和计算得出了四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．中位数是 C． D． 【答案】B 【分析】从给出的方差公式中可直接得到数据个数和这组数据的平均数，依次计算，中位数和方差，即可判断各选项正误． 【详解】解：∵方差公式为， ∴这组数据共5个，平均数为3，可得，C结论正确，不符合题意； 由平均数的定义得， 解得，A结论正确，不符合题意； 将这组数据从小到大排列为，共5个数，中位数为第3个数，即中位数为， ∴B结论错误，符合题意； 计算方差得：， ∴D结论正确，不符合题意． 4．求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是 B．该组数据的平均数是 C．该组数据的方差是 D．若该组数据加入数，则这组新数据的方差变大 【答案】D 【分析】本题考查方差公式的意义，以及平均数和方差的计算，解题思路是先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法． 【详解】解：∵方差算式中共有4个平方项， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 原数据为，，，，计算平均数得： ， ∴B选项说法正确，不符合题意； 计算原方差得：， ∴C选项说法正确，不符合题意； 加入数后，新数据为，，，，，计算新方差得： 新平均数， 新方差， ∵， ∴新方差变小，D选项说法错误，符合题意． 5．甲、乙两名同学分别记录了自己连续6天的1分钟跳绳成绩，整理、绘制成下图． 根据图中信息，下列结论正确的是（     ） A．甲的跳绳成绩总是高于乙 B．甲的跳绳成绩的众数为184 C．甲的跳绳成绩的中位数小于乙 D．甲的跳绳成绩的方差小于乙 【答案】D 【分析】根据折线统计图读取甲、乙两人的成绩数据，分别计算或观察众数、中位数及波动情况（方差）进行判断即可． 【详解】解：由图可知，甲的成绩为：；乙的成绩为：； 对于A，第3天甲的成绩小于乙的成绩，故A错误； 对于B，甲的成绩中出现了2次，出现次数最多，众数是，故B错误； 对于C，甲的成绩从小到大排列为，中位数为； 乙的成绩从小到大排列为，中位数为； ， 甲的中位数大于乙，故C错误； 对于D，甲成绩的波动范围比乙成绩的波动范围小，故甲的跳绳成绩的方差小于乙，故D正确． 6．5个同学进行投篮比赛，投中的个数分别是6，8，10，7，9．这组数据的离差平方和为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】先由平均数的公式计算出平均数，再根据离差平方和的公式计算即可． 【详解】解：这组数据的平均数， ∴这组数据的离差平方和． 7．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是分 C．一班有同学的成绩超过分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】将一组数据按照从小到大的顺序排列，中位数把这组数据分成数量相等的两部分，前一半数据的中位数称为第一四分位数，后一半数据的中位数称为第三四分位数，它们与中位数一起叫作整组数据的四分位数，在箱线图中，上、下两条短横线分别表示整组数据的最大值和最小值，箱体的下边缘、中间横线和上边缘分别表示整组数据的第一四分位数、中位数和第三四分位数，箱体的高度越小，说明数据越集中，箱体的高度越大，说明数据越分散． 【详解】解：A、一班与二班的箱体高度相同，所以一班与二班的数据集中程度相同，该选项说法错误； B、一班成绩的上四分位数是分，该选项说法错误； C、一班存在一个异常值点在分刻度上方，说明一班有同学成绩超过分，该选项说法正确； D、一班的平均分低于二班的平均分，该选项说法错误． 8．如图是反映，两地这个月每天平均气温的数据的箱线图，根据图中信息，关于这个月，两地平均气温的说法不正确的是（     ） A．地平均气温的最大值大于地平均气温的最大值 B．地平均气温的中位数低于地平均气温的中位数 C．地平均气温的方差小于地平均气温的方差 D．地有以上的天数的平均气温低于地平均气温的最小值 【答案】C 【分析】箱线图中，箱体的上下四分位数、中间的线是中位数，两端是最大值和最小值，数据越分散，方差越大． 【详解】解：A、A地的最大值接近20，B地的最大值在15左右，所以A地最大值大于B地，正确； B、A地的中位数比B地的中位数低，正确； C、A地的数据分布比B地更分散，所以A地的方差大于B地的方差，该选项说法错误； D、B地的最小值约为5，A地的下四分位数在5以下，说明有以上的数据低于5，即低于B地的最小值，正确； 所以不正确的是C． 9．某学校有甲、乙两支国旗护卫队．两队都是9人，学生的身高（单位：cm）数据如下表所示： 甲队学生的身高 179 179 180 180 180 180 180 181 181 乙队学生的身高 178 179 179 180 180 180 180 181 182 如果学生的身高的方差越小，则认为该队学生的身高越整齐．按照这个标准，学生的身高更整齐的是_________队（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】先分别计算甲、乙两队身高的平均数，再根据方差计算公式计算两队方差，比较方差大小，方差越小身高越整齐，即可得到结果． 【详解】解：甲的平均数， ， 乙的平均数，， ∵， ∴， ∴甲队学生身高的方差更小，甲队学生身高更整齐． 10．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____． 【答案】和 【分析】本题考查了平均值和方差的定义，根据平均值和方差的定义，通过设添加的两个数为a和b，利用新数据的平均值和方差与原数据相同，列出关于a和b的方程，求解得到a和b的值． 【详解】解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024， 所以原始数据总和为，平方偏差和为． 设添加两个数和， 由平均值不变，可得， 解得， 由方差不变，可得， 解得， 令， 则， 解得， 所以， 因此， 故答案为：和． 11．某班甲、乙、丙3名同学参加实心球测试，每人投掷实心球5次成绩的平均数（单位：米）及方差如下表： 项目 甲 乙 丙 9.56 10.25 10.25 0.15 0.36 0.15 根据表中信息，选择1名成绩好且发挥稳定的同学参加运动会掷实心球比赛，应选择参赛的同学是________． 【答案】 丙 【分析】要选择成绩好且发挥稳定的同学参赛，需结合平均数和方差的意义判断，平均数越大平均成绩越好，方差越小波动越小发挥越稳定，先比较平均数，再比较方差得到结果． 【详解】解：由表格数据可得：，，， 因此乙和丙的平均成绩优于甲 又，方差越小，数据波动越小，发挥越稳定， 因此丙的发挥比乙更稳定 综上，丙的成绩好且发挥稳定． 12．某专业测试团队对甲、乙、丙三家通信公司的家用宽带网络速率（单位：）进行了次测试，测试数据的统计结果如下表： 通信公司 甲 乙 丙 平均网络速率 网络速率方差 已知家用宽带用户对网络速率的要求是快且稳定．若小明家想从这三家公司中选择一家安装宽带，则应选择的通信公司是______．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【分析】根据平均网络速率反映速度的快慢，方差反映数据的波动程度，方差越小，稳定性越好，进行判断即可． 【详解】解：根据表格数据， ∵甲、乙、丙的平均网络速率最快的是乙、丙， 但比较乙和丙的网络速率方差：丙的方差更小，稳定性更好， ∴应选择的通信公司是丙. 13．山西省晋南地区独特的地理与气候条件，为苹果提供了良好的生长条件，运城地处北纬，黄土层深厚肥沃，是公认的苹果“黄金生产带”．现某苹果商贩购进一批苹果按照苹果的个头进行包装销售．抽取其中的10个苹果直径为，按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成2组，将这10个数据从小到大排序，分别按前个数据为第一组、其余数据为第二组（）进行分组，共有9种情况，如下：（结果保留整数） 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 147 147 第2个间隔 8 90 98 第3个间隔 14 34 48 第4个间隔 51 24 75 第5个间隔 82 16 98 第6个间隔 103 5 108 第7个间隔 135 1 136 第8个间隔 182 1 183 第9个间隔 218 0 218 观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小．因此，按组内离差平方和最小的分法为___________和___________． 【答案】 【分析】先将10个苹果直径的数据从小到大排序，根据题目分组规则，第个间隔对应前个数据为一组，剩余数据为另一组，结合题意第3个间隔分组满足组内离差平方和最小，即可得到分组结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序，得． ∵当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小 ∴按组内离差平方和最小的分法为和 14．学习了箱线图分析数据后，小明对两地在7、8月每天最高气温这组数据进行分析，绘制了如下图的箱线图．则下列结论正确的是___________（填写序号）． ①在7至8月，B地每天最高气温的上四分位数为； ②在7至8月，B地每天最高气温的中位数小于A地每天最高气温的中位数； ③在7至8月，A地每天最高气温都高于B地每天最高气温； ④在7至8月，A地有超过一半的天数最高气温是不低于． 【答案】②④ 【分析】本题考查箱线图的统计意义，掌握箱线图各部分对应的统计量含义是解决问题的关键．根据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【详解】解：结论①：箱线图中，上四分位数对应箱的右边界，B地的箱右边界为，则上四分位数是，故①错误； 结论②：中位数对应箱内的线，B地的中位数（箱内线）低于A地的中位数，故②正确； 结论③：A地的最高气温高于B地的最高气温，并非“每天都高于”，故③错误； 结论④：A地的箱线图中，数据的中位数（箱体中间线）是，且中间线左右两侧的箱体大小相同，因此有超过一半的天数最高气温是不低于，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是②④． 故答案为：②④． 15．在一分钟跳绳测试中，6名同学完成的次数分别为120，135，110，105，140，125．根据组内离差平方和最小的原则，把这6名同学跳绳次数分为两组． 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 570 570 第2个间隔 250 第3个间隔 第4个间隔 250 第5个间隔 570 0 570 【答案】与 【分析】直接比较不同间隔对应的组内离差平方和数值，选取最小的对应的分组即可． 【详解】解：数据排序为105，110，120，125，135，140．分组列表如下： 分组 第一组 离差平方和 第二组 离差平方和 组内 离差平方和 第1个间隔 0 570 570 第2个间隔 12.5 250 262.5 第3个间隔 第4个间隔 250 12.5 262.5 第5个间隔 570 0 570 对比所有分组的总离差平方和发现，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分法为与． 16．为了激发学生的数学学习兴趣，某班举办了一次数学趣味挑战活动，活动共设四个项目：七巧拼图、趣题巧解、数学应用和魔方复原，每个项目满分都是100分，每项得分都按一定百分比折算后记入总分，并规定总分在80分以上（含80分）设为一等奖．下表为该班甲、乙、丙三位同学已比项目的得分情况（单位：分）． 项目 得分学生 七巧拼图 趣题巧解 数学应用 魔方复原 折算后总分 甲 乙 丙 根据活动规则，乙、丙两位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和均为30分． (1)请问甲参加“数学应用”项目至少获得多少分时，他才能获得活动一等奖； (2)如果甲的“数学应用”项目得分为72分，请你在甲、乙、丙这三位同学推荐一位同学代表班级去参加校级比赛，并说明你的推荐理由． 【答案】(1)甲的“数学应用”项目得分至少为62分 (2)推荐丙同学代表班级参加校级数学趣味挑战活动．推荐理由如下： 记甲、乙、丙三位同学的平均分分别是，，；离差平方和分别是，，． 由（1）可知，七巧拼图和魔方复原的折算百分比均为，趣题巧解的折算百分比为，数学应用的折算百分比为， 当甲的数学应用项目得分为72分时其四个项目的得分分别为78，94，72，72 则甲同学的折算后总分为分 所以甲、丙两位同学的总分得分相同，均为82分，且高于乙同学的74分，所以乙同学不推荐． 下面分析甲、丙两位同学的得分稳定情况： 则，， 所以 所以，综上所述，甲、丙两位同学在折算后总分相同的情况下，丙同学的得分离差平方和较小，他的得分更稳定，所以推荐丙同学参加校级数学趣味挑战活动． 【分析】（1）设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为和，甲同学的“数学应用”项目得分为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，进而根据题意列出一元一次不等式，求得最小整数解，即可求解． （2）分别计算出甲、乙、丙的平均数，若平均数相等，再计算差平方和，比较离差平方和，即可得出结论． 【详解】（1）解：设趣题巧解和数学应用两个项目的折算百分比分别为和，甲同学的“数学应用”项目得分为． 由题意得， 解得， 由表格可知甲同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和为30分． 因为甲要获得大赛一等奖，所以甲的总分在80分以上（含80分）， 根据活动规则，乙、丙两位同学的七巧拼图和魔方复原两项得分分别为折算后的分数之和均为30分 则甲同学的七巧拼图和魔方复原两项得分折算后的分数之和也为30分 即， 解得， 所以甲的“数学应用”项目得分至少为62分． （2）略 17．某学校为选拔优秀运动员参加县中学生运动会，组织了多次百米跑测试，其中甲、乙两名运动员表现较为突出，他们在10次百米跑测试中的成绩（单位：s）如下表所示： 单位：s 甲 11.8 11.9 12.0 11.7 12.2 12.1 11.8 12.0 11.7 11.9 乙 11.9 11.9 11.8 11.8 12.0 11.9 11.8 12.1 11.9 11.8 如果根据这10次成绩选拔一人参加比赛，你认为哪一位比较合适？ 【答案】选乙参加比赛比较合适． 【详解】解：计算甲、乙两人的平均成绩 因为，所以乙的百米跑测试平均成绩比甲好． 计算甲、乙两人的方差 将甲、乙两名运动员的10次成绩分别按从小到大的顺序排列： 甲：11.7，11.7，11.8，11.8，11.9，11.9，12.0，12.0，12.1，12.2； 乙：11.8，11.8，11.8，11.8，11.9，11.9，11.9，11.9，12.0，12.1． 甲的中位数为；乙的中位数为． 因为甲、乙的中位数相等，，，且，这说明乙的百米跑测试成绩比甲更稳定． 所以选乙参加比赛比较合适． 18．某中学的国旗护卫队需从甲、乙两队中选择一队身高比较整齐的队员担任护旗手，两队每个队员的身高（单位：）如下： 甲队 177 179 178 179 177 178 178 179 178 177 平均数 中位数 众数 方差 甲队 178 a 178 c 乙队 d 177 b 0.89 (1)表中_____，_____，_____． (2)请计算甲队的方差，并判断哪队队员身高更整齐． 【答案】(1)178，177，177.1 (2)0.6，甲 【分析】（1）根据中位数，众数和平均数的计算方法求得答案． （2）根据方差的定义可直接求得甲队的方差，方差越小，数据的波动越小，即可判断哪队队员身高更整齐． 【详解】（1）解：将甲队身高数据按从小到大的顺序排列，且数据个数为偶数，则中间两个数和的平均数为这组数据的中位数，即中位数． 乙队身高数据中，出现次数最多的数据为，所以这组数据的众数． ． （2）解： 又∵， ∴， ∴甲队队员身高更整齐． 19．已知张明与李华在学校的五次数学竞赛培训的测试成绩（单位：分）如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 张明的成绩 75 80 85 85 100 李华的成绩 70 100 100 75 80 (1)计算出下表中a，b，c的值． 平均数／分 中位数／分 众数／分 方差／分 张明的成绩 a 85 b 李华的成绩 85 c 100 160 (2)结合两个人成绩的平均数和中位数进行分析，哪个人的成绩较好？ (3)计算张明成绩的方差，并判断哪个人的成绩较为稳定． 【答案】(1) (2) 张明的成绩较好； (3) 张明成绩的方差为70，张明的成绩较为稳定． 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义即可解答； （2）由（1）中结论即可解答； （3）先求出张明成绩的方差，再根据方差的意义即可解答． 【详解】（1）解：， 张明的五次成绩中，分出现的次数最多，则众数， 将李华的五次成绩从小到大排列为，则中位数； （2）解：张明的成绩较好， 理由：由（1）知张明和李华的平均成绩都为分，而张明成绩的中位数大于李华成绩的中位数，则张明的成绩较好； （3）解：张明成绩的方差， ∵， ∴张明的成绩较为稳定， 答：张明成绩的方差为70，张明的成绩较为稳定． 20．某银行理财经营团队A对其2025年上半年负责经营的12项理财产品的收益率（）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）： 2.10，3.15，3.18，3.19，3.50，，3.93，4.00，4.44，，4.47，4.89． 团队A产品收益率的相关数据（） 收益率的平均值 3.925 4.450 3.769 请根据以上信息解答下列问题： (1)计算，，的值，并填入表格． 收益率的平均值 3.925 4.450 3.769 (2)根据统计数据绘制了A团队负责经营的理财产品收益率的箱线图，写出两条你从中得到的信息． 【答案】(1)表格如下： 收益率的平均值 3.185 3.925 4.450 3.92 4.46 3.769 (2)1．收益率最低为，最高为； 2．收益率的中位数是． 【分析】（1）根据四分位数的公式分别列式计算即可； （2）根据箱线图即可得出结论． 【详解】（1）解：下四分位数； 中位数， ∴； 上四分位数， ∴； 表格略； （2）略． 21．为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，58，70，80，80，85，86，88，92，95，97，100； 八年级积分：70，72，77，83，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 82.2 m 80 八年级 85.9 n p (1)统计表中_______，______，_______； (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) 八年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定，理由：八年级的箱体比七年级的箱体短． 【分析】（1）利用中位数和众数的定义求解即可； （2）先求七年级积分的下四分位数、上四分位数，然后补全箱线图，最后比较两个箱线图作出判断即可． 【详解】（1）解：七年级的中位数， 八年级的中位数，众数； （2）解：七年级的最大值为，最小值为，上四分位数为，下四分位数为， 补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图如答图． 22．某银行理财有A和B两个团队，对其年上半年负责经营的项理财产品的收益率（）进行统计，数据如下（已按从小到大的顺序排列）； A：，，，，，，，，，，， B：，，，，，，，，，，， A团队和B团队产品收益率的相关数据（） 团队 A a B b c 请根据以上信息解答下列问题： (1)______，_______，______． (2)如图为团队A，B负责经营的理财产品收益率的箱线图，请在图中“（     ）”内填写相应数据，根据箱线图，从总体经营效益和稳健度两方面对A，B两个团队的经营水平作出评价，并选择合适理财团队． 【答案】(1)，， (2)，，，，通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动性大，团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适． 【分析】（1）根据四分位数的公式分别列式计算下四分位数、中位数、上四分位数，即可求解； （2）根据箱线图即可得出结论． 【详解】（1）解： ， ， （2）解：由（1）及题意可知 如图，通过箱线图可知，团队A产品收益率的中位数与团队B的相等，故可知两个团队的经营效益基本一样，但团队A的产品收益率明显比团队B的收益率的波动性大，团队B的经营水平更稳健，故对于稳健型的投资者，选择团队B的理财产品更合适． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $