5.1 平面向量的概念、线性运算、基本定理及坐标表示（十年高考）（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习十年真题分类题组

**基本信息** 汇编2013-2025年高考真题，聚焦平面向量概念、线性运算及坐标表示，含帆船比赛风速等创新情境题，适配一轮复习基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择、填空|18题（4-5分/题）|向量模计算（2022全国乙文）、三角形向量表示（2022新高考Ⅰ）、共线参数求解（2015课标Ⅰ）|融合航海学等真实情境（2025全国一卷），梯度覆盖基础运算与综合应用，贴合高考命题趋势|

第五章 平面向量与复数 5.1　平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理及坐标表示 考点1 平面向量的概念及线性运算 1.(2023北京,3,4分)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2= (　　) A.-2　　B.-1　　C.0　　D.1 答案　B　由题知则 所以|a|2-|b|2=4-5=-1. 2.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= (　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 答案　D　由题意知a-b=(4,-3), 所以|a-b|==5,故选D. 3.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则= (　　) A.3m-2n　　　　B.-2m+3n C.3m+2n　　　　D.2m+3n 答案　B　由题意可知,=m-n,又BD=2DA,所以=2(m-n),所以=n-2(m-n)=3n-2m,故选B. 5.（2025全国一卷，6,5分）帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(　　) 级数 名称 风速大小(单位:m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 图1 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 【答案】A 【解析】设真风风速为v1,船行风风速为v2,视风风速为v, 依题意得v=(-3,-1),v2=(-1,-3)(注:船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反),且v=v1+v2,∴v1=v-v2=(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2). 因此|v1|==2<3.3, ∴该时刻的真风为轻风,故选A. 6.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则(　　) A.=-+　　　　　B.=- C.=+　　　　　D.=- 答案　A　=+=++=+=+(-)=-+.故选A. 7.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 答案　A　设=a,=b,则=-b+a,=-a+b,从而+=+=(a+b)=,故选A. 8.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　　.  答案　 解析　由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于=,即λ=. 9.(2015北京理,13,5分)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=　　　　,y=　　　　.  答案　;- 解析　由=2知M为AC上靠近C的三等分点,由=知N为BC的中点,作出草图如下: 则有=(+),所以=-=(+)-·=-, 又因为=x+y,所以x=,y=-. 10.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　.  答案　 解析　=+=+=+(-)=-+, ∵=λ1+λ2,∴λ1=-,λ2=,故λ1+λ2=. 考点2 平面向量的基本定理及坐标运算 1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(　　) A.(-7,-4)　　　B.(7,4)　　　C.(-1,4)　　　D.(1,4) 答案　A　根据题意得=(3,1),∴=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 2.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=(　　) A.(5,7)　　　　　B.(5,9) C.(3,7)　　　　　D.(3,9) 答案　A　由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 3.(2014广东文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=(　　) A.(-2,1)　　　B.(2,-1)　　　C.(2,0)　　　D.(4,3) 答案　B　b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B. 4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(　　) A.e1=(0,0),e2=(1,2)　　　　　B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10)　　　　　D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 答案　B　设a=k1e1+k2e2, A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴无解. B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2), ∴解之得 故B中的e1,e2可把a表示出来. 同理,C、D选项同A选项,无解. 5.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　.  答案　 解题指导:利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2=x2y1”解题. 解析　由已知a∥b得2×4=5λ,∴λ=. 解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键. 6.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=　　　　.  答案　-3 解析　本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b, ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3. 7.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=　　　　.  答案　-6 解析　因为a∥b,所以=,解得m=-6. 易错警示　容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 评析　本题考查了两个向量平行的充要条件. 8.(2014陕西,13,5分)设0<θ<,向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),若a∥b,则tan θ=　　　　.  答案　 解析　∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ<,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=. ( 第 3 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $