2.4 二次函数与幂函数（十年高考）（word练习）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习十年真题分类题组

**基本信息** 精选2013-2023年天津、北京、课标卷等高考真题，聚焦二次函数与幂函数核心考点，适配一轮复习知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|2题/10分|二次函数零点、分段函数最值|结合绝对值、参数讨论，考查数形结合思想（如2023天津15题）| |选择题|4题/20分|幂函数比较大小、函数奇偶性|关联指数函数单调性，注重多考点综合（如2023天津3题）|

2.4　二次函数与幂函数 考点1 二次函数 1.(2023天津,15,5分)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为　　　　　　　　.  答案　(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞) 解析　f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点, 即方程ax2-2x=|x2-ax+1|有两个不等实根, 即函数g(x)=ax2-2x与h(x)=|x2-ax+1|的图象有两个交点. (1)当a2-4≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立, ∴h(x)=|x2-ax+1|=x2-ax+1, f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1, ①当a-1=0,即a=1时, f(x)有一个零点,不合题意; ②当a-1≠0,即a≠1时,Δ=(a-2)2+4(a-1)=a2, 当a2=0,即a=0时, f(x)有一个零点,不合题意; 当a2>0,即a≠0且a≠1时, f(x)有两个零点. ∴-2≤a≤2且a≠0且a≠1. (2)当a<-2时,-1<<0,<-1,作出y=g(x)与y=h(x)的图象如图. 设y=h(x)的两个零点为x1,x2,且x1<x2, ∵x1x2=1,y=h(x)图象的对称轴为直线x=,且<-1,∴x1<x2<0. 令k(x)=x2-ax+1,则k-2+1<0, ∴<x2<0由k可知x2在右侧, ∴由图可得,当a<-2时,g(x)的图象与h(x)的图象有两个不同的交点. (3)当a>2时,0<<1,>1,作出y=g(x)与y=h(x)的图象如图. 设y=h(x)的两个零点为x1,x2,且x1<x2, k-2+1<0,∴x1<, ∵x1x2=1,>1,∴0<x1<. ∵g(x)的二次项系数a>2,k(x)的二次项系数为1, ∴g(x)的图象的开口小于k(x)的图象的开口. ∴由图可得,当a>2时,g(x)的图象与h(x)的图象有两个交点. 综上,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞). 2.(2022北京,14,5分)设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　　;a的最大值为　　　　.  答案　 ([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一);1 解析　当a<0时, f(x)=-ax+1在(-∞,a)上为增函数,无最小值.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值为0,所以f(x)不存在最小值.当a=0时, f(x)=此时f(x)存在最小值,最小值为0.当0<a≤1时, f(x)=-ax+1在(-∞,a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.因为a∈(0,1],所以1-a2∈[0,1),所以f(x)>0.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上存在最小值,最小值为0,所以f(x)在R上存在最小值.当a>1时, f(x)=-ax+1在(-∞,a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值大于或等于0,而1-a2<0,所以函数f(x)在R上不存在最小值.综上,a的取值范围为[0,1],a的最大值为1. 考点2幂函数 1.(2023天津,3,5分)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　　) A.c>a>b　　　　B.c>b>a C.a>b>c　　　　D.b>a>c 答案　D　∵f(x)=1.01x单调递增,∴f(0.5)<f(0.6),即a<b.∵g(x)=x0.5单调递增,∴g(1.01)>g(0.6),即a>c, ∴b>a>c,故选D. 2.(2016课标Ⅲ,6,5分)已知a=,b=,c=2,则(　　) A.b<a<c　　　　　B.a<b<c C.b<c<a　　　　　D.c<a<b 答案　A　因为a==,c=2=,函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<,即a<c, 又因为函数y=4x在R上单调递增,所以<,即b<a, 所以b<a<c,故选A. 3.(2015天津文,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为(　　) A.a<b<c　　　B.c<a<b　　　C.a<c<b　　　D.c<b<a 答案　B　因为f(x)是偶函数,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,由题意得a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),因为log25>log23>0,所以f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故选B. 4.(2013课标Ⅱ文,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,+∞)　　　　　B.(-2,+∞) C.(0,+∞)　　　　　D.(-1,+∞) 答案　D　由2x(x-a)<1得a>x-,令f(x)=x-,即a>f(x)有解,则a>f(x)min,又y=f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D. 评析　本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的单调性是解题关键. ( 第 2 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $