第4章 高考热点5 三角形中的“爪型”模型（PPT课件）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习练案

该高中数学高考复习课件聚焦“爪型”三角形模型，覆盖角平分线、中线、高线三大核心类型，依据高考评价体系明确其在解三角形中的高频考查要求，通过近五年真题及模拟题分析，归纳出长度比值、最值计算、范围求解等常考题型，构建系统的考点梳理框架。 课件亮点在于“真题解析+素养提升”的备考设计，如以2023全国甲理16题为例，运用面积法结合角平分线定理推导AD长度，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。针对中线向量表达、高线勾股定理应用等易错点设置专题突破，帮助学生掌握解题技巧，教师可依托此课件实现考点精准覆盖，助力学生高效冲刺高考。

高考热点5　三角形中的“爪型”模型 返回目录 目 录 CONTENTS 类型1 “爪型”三角形——角平分线模型 类型2 “爪型”三角形——中线模型 类型3 “爪型”三角形——高线模型 返回目录 类型1　“爪型”三角形——角平分线模型 1.★★(2025届湖南长沙周南中学二模,5)已知△ABC的面积为6 ,A=60°,AB=3,∠B的 平分线交边AC于点D,则 的值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     返回目录 解析　因为△ABC的面积为6 ,A=60°,AB=3,所以 AB·AC·sin A= ×3AC·sin 60°=6 , 解得AC=8. 在△ABC中,由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=9+64-2×3×8cos 60°=49,解得BC=7. 因为BD平分∠ABC,所以 = = = . 故选A. 返回目录 2.★★(2026届广东八校联盟质量检测,6)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 ccos B=2acos A-bcos C,BC边上一点D满足 =2 ,且AD平分∠BAC.若△ABC的面积 为2 ,则b=( ) A. 　　    B.2　　    C. 　　    D.4     B     解析　∵ccos B=2acos A-bcos C,∴ccos B+bcos C=2acos A,【利用射影定理表示a】∴a =2acos A,则cos A= ,∴A= .依题意, = =2= ,∴c=2b,∵S△ABC= bcsin∠BAC=b2·  =2 ,∴b2=4,∴b=2.故选B. 返回目录 3.★★★(多选)(2026届浙江Z20名校联盟第一次联考,10)已知△ABC的三个内角分别 为A,B,C,B=C+ ,AB=2,AC=3,D在线段BC上,且满足AD平分∠BAC.则 ( ) A.sin B= sin C　　    B.tan C=  C.BC= 　　     D.AD=      ABD     解析    A项,在△ABC中,由正弦定理得 = ,因为AB=2,AC=3,所以sin B= sin C,A 正确. B项,由B=C+ ,sin B= sin C得cos C= sin C,则tan C= ,B正确. C项,由cos C= sin C,sin2C+cos2C=1得sin C= ,cos C= , 返回目录 因为∠BAC=π-B-C= -2C,所以sin∠BAC=sin =cos 2C=1-2sin2C=1-2× = , 由正弦定理得 = ,则BC= = ,C错误. D项,因为cos∠BAC=2cos2 -1= ,所以cos = , 所以AD= = = 【角平分线长度公式,也可用S△ABC=S△ABD+ S△ACD求解】,D正确.故选ABD. 返回目录 4.★★★(2023全国甲理,16,5分)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC= ,∠BAC的平分线 交BC于D,则AD=_________.     2     解析　在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,即( )2=22+AC2-2×2 ×AC×cos 60°,即AC2-2AC-2=0,解得AC=1+ 或AC=1- (舍),由于AD平分∠BAC,且 ∠BAC=60°,所以∠BAD=∠CAD=30°.S△ABC=S△ABD+S△ACD,即 ×2×( +1)× = ×2× AD× +×( +1)×AD× ,即 ×( +1)=AD+ AD,解得AD=2. 返回目录 5.★★★★(2026届湖北襄阳四中综合测试,14)如图,在△ABC中,∠BAC= ,点E,F分别 在边AB,AC上,线段AE和AF的长均不超过9,点P在线段EF上,且AP平分∠EAF,AP=3,则 EF长度的取值范围是___________. 返回目录 解析　设AE=m,AF=n,EF=x,由题意可得∠EAP=∠FAP=60°,且AP=3, 因为S△AEF=S△AEP+S△AFP, 所以 mnsin 120°= msin 60°+ nsin 60°,可得mn=3(m+n),m= . 因为0<m≤9, 所以0< ≤9, 解得 ≤n≤9, 所以mn= = =3n+9+ =3(n-3)+ +18. 返回目录 令t=n-3,t∈ , 由对勾函数的性质可得y=3t+ +18在 上单调递减,在(3,6)上单调递增, 所以当t∈ 时,y=3t+ +18∈ ,则36≤mn≤ . 由余弦定理可得x2=m2+n2-2mncos 120°=m2+n2+mn=(m+n)2-mn= (mn)2-mn=  -  ∈ , 故6 ≤x≤ , 即EF长度的取值范围是 . 返回目录 6.★★★★(2026届福建模拟检测(三),14)在△ABC中,记内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,已知b+c=4,A= ,D为边BC上的一点,且AD是∠BAC的平分线,则 + 的最小值为 _________. 返回目录 解析　解法一　∵AD是∠BAC的平分线, ∴由角平分线定理得 = = , ∴ = = , = = , ∴BD= ,DC= , 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos∠BAC=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=16-bc, ∴a= , 返回目录 ∴ + = = = = = , 设x=bc,则 + = , ∵b+c=4,∴bc≤ =4,(当且仅当b=c=2时等号成立) ∴0<x≤4, 令g(x)=x2(16-x),0<x≤4, 则g'(x)=2x(16-x)-x2=-3x , ∴当x∈(0,4]时,g'(x)>0, ∴g(x)在(0,4]上单调递增, 返回目录 ∴g(x)max=g(4)=192, 即x2(16-x)≤192, ∴0<x ≤8 , ∴ ≥ = , ∴ + 的最小值为 . 解法二　∵AD是∠BAC的平分线, ∴由角平分线定理得 = = , 设BD=kc,DC=kb,k>0,则 返回目录 a=BC=BD+DC=k(b+c)=4k, 又a<b+c,即4k<4,∴k<1, 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos∠BAC=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=16-bc=16k2, ∴bc=16(1-k2), 又bc≤ =4,当且仅当b=c时等号成立,∴16(1-k2)≤4,∴k2≥ ,又0<k<1,∴ ≤k<1,  + = = = = = , 设f(k)=4k(1-k2), ≤k<1, 返回目录 则f'(k)=4(1-3k2)=4(1+ k)(1- k), 当k∈ 时, f'(k)<0,∴f(k)在 上单调递减, ∴f(k)max=f = ,即0<4k(1-k2)≤ ,∴ ≥ = , ∴ + 的最小值为 . 返回目录 7.★★★(2026届陕西榆林一模,16)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且  = . (1)求角B的值; (2)若△ABC的面积为 ,∠ABC的平分线BD交AC于D,求线段BD长度的最大值. 返回目录 解析    (1)由正弦定理 = = ,及 = , 得 = ,即a2+c2-b2=ac, 由余弦定理的推论得cos B= = , 又0<B<π,所以B= . (2)因为S△ABC= ac·sin∠ABC= ac= ,所以ac=4, 因为BD为∠ABC的平分线,S△ABC=S△ABD+S△DBC,所以4 =(a+c)·BD, 则BD= ≤ ,当且仅当a=c=2时,等号成立, 所以线段BD长度的最大值为 . 返回目录 类型2　“爪型”三角形——中线模型 1.★★★(2025届河北定州中学一模,7)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c= 2 ,ccos(A-B)+2 asin Bcos C=-ccos C,则AB边上的中线CD长度的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.2      C     返回目录 解析　由ccos(A-B)+2 asin Bcos C=-ccos C,得ccos(A-B)+ccos C=-2 ·asin Bcos C,所 以c[cos(A-B)-cos(A+B)]=-2 asin Bcos C, 即2csin Asin B=-2 asin Bcos C, 则由正弦定理得2sin Csin Asin B=-2 sin Asin Bcos C, 因为A,B∈(0,π),所以sin A≠0,sin B≠0,所以sin C=- cos C,即tan C=- , 又C∈(0,π),所以C= ,因为c=2 , 所以由余弦定理得(2 )2=a2+b2-2abcos∠ACB,即a2+b2=24-ab. 由题可得 = ( + ), 返回目录 所以 = ( +2 · + )= (b2-ab+a2)= (24-2ab), 因为a2+b2=24-ab≥2ab,所以ab≤8,当且仅当a=b时等号成立, 所以 ≥ ×(24-16)=2, 则| |≥ , 所以AB边上的中线CD长度的最小值为 . 故选C. 返回目录 2.★★★(2025届江苏前黄高级中学第一次月考,13)在△ABC中,角A,B,C的对边分别 为a,b,c,B=60°,若D是BC边的中点,且AD= b,则 =_________. 返回目录 解析　解法一　余弦定理　在△ABC中,由余弦定理的推论得cos B= = ,即a2 +c2-b2=ac①, 在△ABD中,由余弦定理的推论得cos B= , 即 = ,c2+ a2- b2= ac②, 联立①②,消去b可得a2+c2-ac=4c2+a2-2ac,即a=3c,故 = .   返回目录 解法二　中线长定理　由中线长定理得AB2+AC2=2(BD2+AD2),即c2+b2=2 ,整理 得b2+2c2=a2①, 在△ABC中,B=60°,由余弦定理的推论得cos B= = , 即a2+c2-b2=ac②,将①代入②消去b,得a=3c,故 = . 返回目录 3.★★★(2025届河北沧州二模,15)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C + ccos B= a. (1)求角C的大小; (2)若AB=2 ,且sin Asin B= ,求AB边上中线CT的长. 返回目录 解析    (1)在△ABC中,由bsin C+ ccos B= a及正弦定理得 sin Bsin C+ sin Ccos B= sin A= sin(B+C)= sin Bcos C+ cos B·sin C, 即sin Bsin C= sin Bcos C, 因为B∈(0,π),则sin B>0,故sin C= cos C,可得tan C= ,故C= . (2)由正弦定理可得 = = = = , 所以ab=sin Asin B· =4, 在△ABC中,由余弦定理可得c2=8=a2+b2-2abcos∠ACB=a2+b2-ab=a2+b2-4, 返回目录 所以a2+b2=12, 因为CT为AB边上的中线,所以 = ( + ),所以 = ( + )2 = ( + +2 · ) = (a2+b2+2abcos C) = (a2+b2+ab)= ×(12+4)=4,故| |=2, 因此,AB边上的中线CT的长为2. 返回目录 类型3　“爪型”三角形——高线模型 1.★★(2025届浙江湖州县域联盟月考,7)在锐角△ABC中,AB=AC,M是AB的中点,CM=  ,过点C作AB的垂线,垂足是H,CH= ,则AB= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.1     B     返回目录 解析　解法一　令AC=b,AB=c,则b=c,   由题设,有HM= = ,AH= ,又AM=AH-HM, 所以 = = - ,则 =b2- , 所以12b2-4b-5=0,即(6b-5)(2b+1)=0,解得b= (负值舍去).故选B. 解法二　余弦定理　由解法一可知HM= ,在Rt△CHM中,cos∠CMH= = = ,在 返回目录 △AMC中,AM= = = ,AC=b,由余弦定理的推论得cos∠AMC= =  = , 因为cos∠AMC+cos∠CMH=0,所以 =- ,整理得12b2-4b-5=0,即(6b-5)(2b+1)=0, 解得b= (舍负). 故选B. 返回目录 2.★★(2025届山东平度二模,7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+c2=b2- ac, 且AB边上的高等于 AB,则sin C= ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     返回目录 解析　由题意得cos B= =- ,sin B= = . 作CD⊥AB,垂足为D,【构造直角三角形,利用边角关系求解】 易知点D在AB的延长线上,如图所示,   不妨设BC=5,则CD=3,BD=4,又CD= AB,则AB=2,AD=6,AC= =3 , 由 = ,解得sin∠ACB= = .故选D. 返回目录 3.★★★(2026届湖北黄冈部分高中期中,16)在△ABC中,角A,B,C满足sin C= sin B+ sin(A-B),且△ABC的外接圆的周长为4π. (1)求角A; (2)若AD为BC边上的高,且 =  -  ,求△ABC的面积. 返回目录 解析    (1)在△ABC中,A+B=π-C,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 因此由sin C= sin B+sin(A-B)可得sin(A+B)= sin B+sin(A-B), 整理可得2cos Asin B= sin B, 又B∈(0,π),可知sin B≠0, 所以cos A= , 因为A∈(0,π),所以A= . (2)由AD为BC边上的高可知D,B,C三点共线,设 =λ , 因此可得 = + = +λ = +λ( - )=(1+λ) -λ =  -  ,所以λ= ,即 返回目录  =  . 记∠CAB,∠ABC,∠C所对的边分别为a,b,c, 又△ABC的外接圆的周长为4π,所以外接圆的半径为R= =2, 则a=2Rsin∠CAB=2, 因此| |= | |= a=1,CD=3,如图所示.   设AD=h(h>0),由勾股定理计算可知AB=c= ,AC=b= , 在△ABC中,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos∠CAB=4, 返回目录 整理可得h4-6h2+9=0,即(h2-3)2=0,解得h= , 所以S△ABC= ah= . 返回目录 $