第4章 高考热点5 三角形中的“爪型”模型（PPT课件）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦三角形中的“爪型”模型，涵盖角平分线、中线、高线三大核心类型，依据高考评价体系梳理了长度公式、定理应用及向量法等关键考点，通过近三年模拟真题分析，明确角平分线定理、中线长定理为高频考查内容，归纳出基本不等式求最值、等面积法转化等常考题型。 课件亮点在于“公式推导+真题解析+变式训练”的三阶备考模式，如典例1结合角平分线长度公式与“1”的代换技巧，培养学生数学思维与运算能力，变式训练通过错题分析强化模型意识。教师可利用其系统的题型分类与解题策略，帮助学生高效掌握边角转化方法，提升高考冲刺得分率。

高考热点5　三角形中的“爪型”模型 返回目录 类型１　“爪型”三角形———角平分线模型 类型２　“爪型”三角形———中线模型 类型３　“爪型”三角形———高线模型 目 录 CONTENTS 返回目录 类型1 “爪型”三角形——角平分线模型 1.角平分线长度公式 在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,∠BAC,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则AD=  . 证明如下:S△ABD= c·AD·sin∠BAD,S△ADC= b·AD·sin∠CAD,S△ABC= cbsin∠BAC, 因为S△ABC=S△ABD+S△ADC, 所以 cbsin∠BAC= c·AD·sin∠BAD+ b×AD·sin∠CAD, 因为∠CAD=∠BAD= ∠BAC, 返回目录 所以结合二倍角的正弦公式得AD= .   2.角平分线定理 在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,则 = (由等面积法或正弦定理证明). 返回目录 典例1　(角平分线长度公式)(2024届江苏苏州三模,6)已知△ABC的角A,B,C的对边 分别为a,b,c,∠BAC= ,∠BAC的平分线交边BC于点D,若AD= ,则b+2c的最小值为  ( ) A.2+2 　　    B.4　　    C.3+2 　　    D.3+2      C     返回目录 解析　因为∠BAC= ,AD是∠BAC的平分线,则由角平分线长度公式【在△ABC中,AD 是∠BAC的平分线,∠BAC,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则AD= 】 可得AD= = = ,把AD= ,代入整理得b+c=bc,即 + =1,则b+2c =(b+2c) =3+ + ≥3+2 =3+2 , 【技巧点拨:b+2c=(b+2c) ,利用“1”的代换构造基本不等式求最值】 当且仅当b= c= +1时取等号,故b+2c的最小值为3+2 .故选C. 返回目录 典例2　(角平分线定理)(2025届湖北荆州江陵中学月考,15)记△ABC的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,已知b+c=a(cos C+ sin C),D为边BC上一点,BD=2DC,AD=3. (1)求A; (2)若AD平分∠BAC,求a. 返回目录 解析    (1)因为b+c=a(cos C+ sin C), 所以由正弦定理得sin B+sin C=sin A(cos C+ sin C), 则sin(A+C)+sin C=sin A(cos C+ sin C), 即cos Asin C+sin C= sin Csin A, 因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以 sin A-cos A=1,即sin = . 又因为A∈(0,π),所以A= . (2)因为AD平分∠BAC,所以 = =2,【角平分线定理】即c=2b, 返回目录 因为S△ABD+S△ACD=S△ABC, 所以 ×3·2b·sin + ×3·b·sin = ·b·2b·sin , 解得b= ,所以c=3 . 由余弦定理得a2= +(3 )2-2× ×3 ·cos = ,所以a= . 返回目录 变式训练 1.(角平分线长度公式)(2025届广东东莞光明中学适应性考试,7)锐角△ABC的内 角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A的平分线交BC于点D,若b+2acos B=2c,且a= ,b=3. 则下列结论中错误的是 ( ) A.∠BAC= 　　    B.AD=  C.S△ABC= 　　    D.c=1     D     返回目录 解析　因为b+2acos B=2c,且a= ,b=3, 所以3+2 cos B=2c,即cos B= , 由余弦定理的推论得cos B= = = ,则有 = , 整理得c2-3c+2=0,解得c=1或c=2, 当c=1时,cos B= <0,此时B为钝角,与△ABC为锐角三角形矛盾,舍去, 故c=2,即D错误; 由余弦定理的推论得cos∠BAC= = = ,因为∠BAC∈ , 返回目录 所以∠BAC= ,故A正确; S△ABC= bcsin∠BAC= ×3×2×sin = ,故C正确; AD= = = ,【也可由等面积法S△ABD+S△ACD=S△ABC得出AD的长】 故B正确. 故选D. 返回目录 2.(角平分线定理)如图,在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2acos A=bcos C +ccos B. (1)求角A的大小; (2)若点D在边AC上,且BD是∠ABC的平分线,AB=2,BC=4,求AD的长.   返回目录 解析    (1)∵2acos A=bcos C+ccos B, ∴2sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A, ∵sin A≠0,∴cos A= , 又∵A∈(0,π),∴A= . (2)在△ABC中,由余弦定理的推论得cos A= = , 解得AC=1+ 或AC=1- (舍). ∵BD是∠ABC的平分线, 返回目录 ∴ = = , ∴AD= AC= . 返回目录 类型2 “爪型”三角形——中线模型 在△ABC中, AD是边BC上的中线. 1.中线长定理:AB2+AC2=2(BD2+AD2).   返回目录 推导过程:在△ABD中,cos B= , 在△ABC中,cos B= , 联立两个方程可得AB2+AC2=2(BD2+AD2). 2.向量法求中线长:  = ( + +2| || |·cos∠BAC). 推导过程:易知 = ( + ), 则 = ( + )2=  +  + | |·| |·cos∠BAC, 所以 = ( + +2| || |·cos∠BAC). 返回目录 3.向量法结论推广:在△ABC中,若点D为BC边上异于B,C两端点的任意一点,且满足BD =m,DC=n,   因为 =  =  -  , 所以 = + = +  -  =  +  ,即 =  +  , 则 =  +  +  · . 返回目录 典例3　(中线长定理)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若点D为BC边的中 点,∠BAC=120°,△ABC面积的最大值为4 ,则中线AD的长为_________.       2     返回目录 解析　解法一　中线长定理　设BD=CD=m,AD=n,其中m>0,n>0,利用中线长定理可得 n2+m2= (b2+c2),① 在△ABC中,由余弦定理得4m2=b2+c2-2bccos 120°, 化简得m2= (b2+c2+bc),② 把②代入①化简得4n2+bc=b2+c2,而b2+c2≥2bc, 所以4n2+bc≥2bc,即bc≤4n2,当且仅当b=c=2n时,等号成立,所以S△ABC= bcsin∠BAC≤  ×4n2× =4 ,所以n=2,即AD=2. 返回目录 解法二　向量法　设AD=x(x>0),因为D为BC的中点,所以 = ( + ),所以 =  ( + +2 · ), 即x2= (c2+b2+2bccos 120°),整理得b2+c2=bc+4x2. 而b2+c2≥2bc,所以bc+4x2≥2bc,即bc≤4x2,当且仅当b=c=2x时,等号成立,所以S△ABC= bc sin∠BAC≤ ×4x2× =4 ,所以x=2,即AD=2. 返回目录 变式训练 3.(向量法)(2025届河北沧州五县二模,16)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,且满足a∶b∶c= ∶2∶1. (1)求角A的大小; (2)若D为BC的中点,求AD∶BC的值. 返回目录 解析    (1)设c=1,则a= ,b=2, 利用余弦定理的推论可得cos A= = =- , 又因为A∈(0,π),所以A= . (2)解法一　向量法　设c=1,则a= ,b=2. 因为D为BC的中点, 所以 = ( + ), 两边平方可得 = ( + )2, 返回目录 即4| |2=| |2+| |2+2| || |·cos∠BAC, 所以4| |2=1+4+2×1×2× =3,可 得| |= ,所以AD∶BC= .   解法二　中线长定理　设a= k,b=2k,c=k,k>0,则BD= k,设AD=x, 由中线长定理得AB2+AC2=2(AD2+BD2),即k2+4k2=2 ,解得x= k,所以AD∶BC=  k∶ k= . 返回目录 类型3 “爪型”三角形——高线模型 等面积法 利用高线与三角形面积相等寻求边角关系 正弦、余弦定理 利用高线产生的直角三角形,结合正弦、余弦定理进行 边角互换 返回目录 典例4　记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AD⊥BC交BC边于D点,∠BAC=120°,AD=2,则 · 的最大值是_______. 　-8     解析　解法一　等面积法     因为S△ABC= bcsin∠BAC= a·AD,AD=2,所以a= bc①. 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos 120°,即a2=b2+c2+bc②, 将①代入②得 b2c2=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,所以bc≥16,当且仅当b=c时,等号成立. 所以 · =bc·cos 120°=- bc≤-8. 故 · 的最大值为-8. 解法二　坐标法　建立如图所示的直角坐标系,设AC=n,AB=m. 返回目录   因为∠BAC=120°,所以∠OAC=60°, 则A ,C ,B . 则BC= = . S△ABC= AC·ABsin∠BAC= AD·BC, 整理得, m2n2=m2+n2+mn,而m2+n2≥2mn, 返回目录 所以 m2n2=m2+n2+mn≥3mn,解得mn≥16.所以 · =| || |·cos∠BAC=- mn≤-8. 故 · 的最大值为-8. 返回目录 变式训练 4.(等面积法)(2025届广东茂名高州二模,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c,且b=acos C+2ccos2A. (1)求A; (2)若a=2,且BC边上的高为 ,求△ABC的周长. 返回目录 解析    (1)由b=acos C+2ccos2A⇒sin B=sin Acos C+2sin Ccos2A, 又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+2sin Ccos2A,即cos Asin C=2sin Ccos2A, 又sin C≠0,所以2cos2A-cos A=0,解得cos A=0或 ,又A∈(0,π), 所以A= 或 . (2)当A= 时, bcsin = ×2× ⇒bc=4,【等面积法】 由余弦定理的推论得,cos∠BAC= = = ,则b2+c2=8, 返回目录 所以b+c= = =4,所以△ABC的周长为a+b+c=6; 当A= 时,△ABC为直角三角形,斜边BC上的高为 , 由斜边上的中线长为斜边的一半,得斜边BC上的中线为1< ,则该三角形不存在. 综上,△ABC的周长为6.   返回目录 $