第4章 高考热点4 三角函数中ω的范围问题（PPT课件）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数中ω的范围问题”专题，依据高考评价体系梳理了利用单调性、对称性、零点、极值求ω范围四大核心考点，通过典例与变式训练归纳常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“类型突破+真题演练+技巧指导”，如典例1结合单调性，用整体法确定区间子集求解，培养学生数学思维与模型观念，解析中突出易错点分析，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此高效指导复习，提升备考效率。

高考热点4　三角函数中ω的范围问题 返回目录 类型１　利用三角函数的单调性或单调区间求ω的范围 类型２　利用三角函数的对称性求ω的范围 类型３　利用三角函数的零点求ω的范围 类型４　利用三角函数的极值（最值）求ω 的范围 目 录 CONTENTS 返回目录 类型1 利用三角函数的单调性或单调区间求ω的范围 特值法 适用于选择题,结合题中的选项,找特殊值,验证后结合选 项排除 子集法 思路1:由x的范围,确定ωx+φ的取值集合A,然后根据A是 y=sin t或y=cos t(t=ωx+φ)的相应单调区间的子集,列不等 式(组)求解 思路2:求出函数相应的单调区间,由已知区间是该区间 的子集,列不等式(组)求解 返回目录 典例1　将函数f(x)=sin (ω>0)的图象向左平移 个单位长度后,得到g(x)的图 象,若函数g(x)在 上单调递减,则ω的取值范围为( ) A.(0,3]　　    B.(0,2]　　    C. 　　    D.      D     返回目录 解析　将f(x)=sin (ω>0)的图象向左平移 个单位长度后,得g(x)=sin  =sin ωx+  的图象,当x∈ 时,ωx+ ∈ , 因为g(x)在 上单调递减, 所以观察图象可得 + ≤ ,解得ω≤ ,又ω>0,故ω∈ .故选D.   返回目录 变式训练 1.(情境模型变式)(2025届江苏泰州调研,13)已知ω>0,函数f(x)=cos 在区间  上单调递减,则ω的最大值为_________. 返回目录 解析　已知x∈ ,ω>0,所以2ωx+ ∈ , 因为函数y=cos t在[0,π]上单调递减, 而函数f(x)=cos 在 上单调递减,所以 ⊆[0,π], 【利用整体法结合余弦函数的单调性得 ⊆[0,π]】 由此可得 + ≤π,解得ω≤ . 则ω的最大值为 . 返回目录 2.(关键元素变式)(2025届浙江杭州学军中学月考,7)已知函数f(x)=sin ωx+2cos2  (ω>0)在区间 上单调递增,则ω的取值范围是 ( ) A.(0,4]　　    B. ∪ 　　    C. ∪ 　　    D.      C     返回目录 解析    f(x)=sin ωx+2cos2 =sin ωx+cos ωx+1= sin +1. 解法一　因为x∈ ,ω>0, 所以ωx+ ∈ . 因为函数f(x)在区间 上单调递增,所以函数y=sin x在 上单调递 增,且 - ≤ T= ,即0<ω≤4. 所以 ⊆ , 返回目录 所以函数y=sin x在 上单调递增,等价于 ω+ ≤ 或  【可结合图象分析,有两种情况】 解得0<ω≤ 或 ≤ω≤3, 所以ω的取值范围是 ∪ . 故选C. 解法二　特殊值法　当ω=4时, f(x)= sin +1, 令4x+ =kπ+ ,k∈Z,则x= + ,k∈Z,当k=2时,图象的一条对称轴为直线x= ,显然有 返回目录  < < ,所以在区间 上不单调,对照选项排除A,B; 当ω= 时, f(x)= sin +1,令2kπ- < x+ <2kπ+ ,k∈Z,得6kπ- <x<6kπ+ ,k ∈Z,令k=0,则其中一个单调递增区间为 ,显然 ⊆ ,所以f(x)在 区间 上单调递增,故ω= 满足题意,排除选项D.故选C. 返回目录 类型2 利用三角函数的对称性求ω的范围 利用三角函数的对称性求ω,关键在于识别函数图象的对称轴或对称中心,并据此建立 等式(或不等式)求解ω. 典例2    (多选)将函数f(x)=sin (ω>0)的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g(x)的图象,若F(x)=f(x)g(x)的图象关于点 对称,则ω可取的值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C.1　　    D.4     CD     返回目录 解析　将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后,得到函数g(x)=sin = sin =cos 的图象, 则F(x)=sin cos = sin . 又因为F(x)的图象关于点 对称,所以2ω· + =kπ,k∈Z,所以ω= ,k∈Z, 又因为ω>0,所以结合选项知CD正确. 返回目录 变式训练 3.(关键元素变式)(2025届江苏盐城建湖二中五模,5)已知函数f(x)=sin (ω>0), 若将f(x)的图象向左平移 个单位长度后所得的函数图象与曲线y=f(x)关于直线x= 对 称,则ω的最小值为( ) A. 　　    B. 　　    C.1　　    D.      A     返回目录 解析　将函数f(x)=sin 的图象向左平移 个单位长度后得函数g(x)=sin  =sin 的图象, 因为函数y=g(x)的图象与y=f(x)的图象关于直线x= 对称,则f(x)=g , 于是sin =sin ω + +  对任意实数x恒成立, 即sin =sin =sin =sin ωx-πω+  对任意实数x恒 成立, 返回目录 因此-πω+ = +2kπ,k∈Z, 解得ω=-2k+ ,k∈Z,而ω>0,则k≤0,k∈Z,所以当k=0时,ω取得最小值 . 故选A. 返回目录 类型3 利用三角函数的零点求ω的范围 排除法 适用于选择题,结合题中的选项,找特殊值(如区间端点等),验证后结合选项排除 方程转化法 如已知函数y=Asin(ωx+φ)在区间[a,b]上有某几个零点,可通过令ωx+φ=kπ,k∈Z,解出x= ,k∈Z,再分析这些解在区间内的分布情况 区间限制法 第1步,根据x的取值范围,计算内层函数t=ωx+φ的范围[t1,t2]; 第2步,转化零点:原函数零点个数等价于方程sin t=m(或cos t=m,m为常数)在t∈[t1,t2]内解的个数; 第3步,根据零点个数确定区间[t1,t2]的长度和端点位置,注意是否包含端点 数形结合法验证 借助函数图象分析零点的存在性,通过图象与x轴交点个数确定ω的范围 返回目录 典例3    (2025届江苏南京大学附中模拟,7)已知函数f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx(ω>0)在 区间[0,2π]上有且仅有4个零点,则ω的取值范围是( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     返回目录 解析　解法一　区间限制法 f(x)=2cos2ωx+2sin ωxcos ωx=cos 2ωx+sin 2ωx+1= sin +1, 令f(x)=0,得sin =- . ∵x∈[0,2π],∴2ωx+ ∈ .【将2ωx+ 看成一个整体,求出其范围】 令t=2ωx+ ,由y=sin t的图象得4π- ≤4πω+ <5π+ ,【注意端点的取值情况】 解得 ≤ω< .故选D. 返回目录   解法二　排除法 当ω= 时,由解法一知f(x)= sin +1,因为x∈[0,2π],所以 + ∈ ,令t=  + ,由y=sin t的图象得此时有4个零点,故ω= 符合题意,排除A,B,C,故选D. 返回目录 变式训练 4.(多解法变式)(2025届河北邯郸部分学校调研,7)若函数f(x)=2cos - (ω>0) 在区间[0,2]上恰有两个零点,则ω的最小值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     返回目录 解析　解法一　区间限制法　因为ω>0, 所以当x∈[0,2]时,ωx+ ∈ . 令f(x)=0,可得cos = , 要使得f(x)在区间[0,2]上恰有两个零点,【结合y=cos t的图象,确定M点位置即可】 则 ≤ +2ω< ,【注意区间端点处的取值情况】解得 ≤ω< , 故ω的最小值为 .故选B. 返回目录   解法二　方程转化法　因为ω>0, 所以当x∈[0,2]时,ωx+ ∈ . 令f(x)=0,可得cos = ,则ωx+ =2kπ± ,k∈Z, 只需讨论在区间[0,2]内零点分布情况(ω>0): 当ωx+ =2kπ+ ,k∈Z时,解得x= ,k∈Z,所以零点为 , ,…; 返回目录 当ωx+ =2kπ- ,k∈Z时,解得x= ,k∈Z,所以零点为 , ,…, 显然 < < ,所以两个零点只能是 , ,依题意有 ≤2,解得ω≥ ,故ω的 最小值为 .故选B. 返回目录 类型4 利用三角函数的极值(最值)求ω的范围 正弦、余弦函数的最值一定在对称轴处取到,零点和极值点间的水平距离一定是·T (n∈N*),且正弦、余弦函数在一个周期内必有一个最大值和最小值,若在某个区间上只有 一个最值,则这个区间比一个周期小,若在某个区间上无最值,则这个区间比半个周期小. 返回目录 典例4　已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) ,T为f(x)的最小正周期,且f =f . 若f(x)在区间(0,π)上恰有3个极值点,则ω的取值范围是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      C     返回目录 解析　由题意可得f(x)的最小正周期T= ,又f =f ,且 T- T= T< T,所以x=  = T为f(x)图象的一条对称轴,所以ω× T+φ= π+φ=kπ+ (k∈Z),解得φ=kπ-  (k∈Z),又|φ|< ,所以k=0,φ=- ,故f(x)=2sin .当x∈(0,π)时,ωx- ∈ , 若函数f(x)在区间(0,π)上恰有3个极值点,则 π<ωπ- ≤ π,解得 <ω≤ ,故ω的取值 范围是 .故选C. 返回目录 变式训练 5.(关键元素变式)(2025届广东汕头潮阳林百欣中学二模,8)已知函数f(x)=sin  (ω>0)在区间 内有最大值,但无最小值,则ω的取值范围是 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      D     返回目录 解析　因为ω>0,0≤x< ,所以 ≤ωx+ < ω+ . 因为f(x)在区间 内有最大值,但无最小值,所以结合正弦函数的图象,得 < ω+  ≤ , 【易错点:不能写成 < ω+ ≤ ,因为当 < ω+ ≤ 时,函数在x= 处取到最小 值,与题意矛盾】 解得 <ω≤ .故选D. 返回目录 小题速解　当ω=3时, f(x)=sin ,当0≤x< 时, ≤3x+ < , 显然当3x+ = < ,即x= 时, f(x)取得最小值-1,与题意矛盾,故ω≠3,排除A,B; 当ω=1时, f(x)=sin ,当0≤x< 时, ≤x+ < ,显然当x+ = ,即x=0时, f(x)有最 小值 ,与题意矛盾,故ω≠1,排除C.故选D. 返回目录 $