第2章 2.1 函数的概念及表示（PPT课件）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦函数板块核心考点，涵盖函数概念及表示、单调性与最值、奇偶性周期性对称性、指对幂函数及零点等，依据高考评价体系分析5年考频，如单调性2考、奇偶性综合应用多次考查，归纳出解析式选择、参数范围求解等常考题型。 课件亮点在于“真题示例+方法总结+变式训练”的实战模式，如典例2通过待定系数法和换元法求函数解析式，培养数学运算与逻辑推理素养。针对分段函数值域、复合函数定义域等难点，提炼解题步骤，帮助学生掌握答题技巧，教师可依托考点清单和易错分析精准教学，提升复习效率。

考情清单 知识清单 考点清单 目 录 CONTENTS 返回目录 考情清单 考点 真题示例 考向 5年考频 核心素养 函数的概念及表示 2024新课标Ⅰ,8 函数解析式的递推 1考 逻辑推理 函数单调性与最值 2023新课标Ⅰ,4 已知单调性求参数范 围 2考 数学运算 逻辑推理 2024新课标Ⅰ,6 返回目录 函数奇偶性、周期性 和对称性 2021新高考Ⅱ,14 函数奇偶性判断 10考 数学运算 逻辑推理 数学抽象 2023新课标Ⅱ,4 利用奇偶性求参数值 2021新高考Ⅰ,13 2023新课标Ⅰ,11 利用奇偶性求函数值 2021新高考Ⅱ,8 2025全国二卷10 函数奇偶性的综合运用 2022新高考Ⅱ,8 利用周期性求值 2025全国一卷,5 利用奇偶性、周期性 求值 2022新高考Ⅰ,12 2024新课标Ⅰ,18(2) 证明对称性 返回目录 指、对、幂函数 2025全国一卷,8 指数、对数函数的图 象与性质 2考 逻辑推理 直观想象 2021新高考Ⅱ,7 对数式的大小比较 函数的零点 与方程的根 2024新高考Ⅱ,6 函数的零点 2考 直观想象 逻辑推理 2024新高考Ⅱ,8 函数模型及应用 2023新课标Ⅰ,10 对数函数的应用 1考 数学运算 数学建模 返回目录 综合分析 　　本章内容一般不会命制单一知识点的考题,常综合函数的单调性、奇偶性、周期 性命题,或将函数的性质融入函数的图象进行考查,函数的零点是考查的热点之一,需要 结合导数、不等式等知识进行求解. 　　针对本章的知识特点,备考时,首先,将学习重点放在以下几方面:函数的基本性 质、二次函数与幂函数、指数函数与对数函数、函数的零点与方程的根、函数模型 及应用.其次,对常见的结论和方法要加强记忆与理解,例如:①基本初等函数的解析式; ②常见函数定义域的求法;③函数解析式的求法;④函数图象的变换;⑤周期函数的常 用结论;⑥函数零点的常见求法等.最后,要注重函数知识与不等式、方程、导数知识的 问题,对于函数模型及应用,则需掌握解题思路与常见的几类函数模型. 返回目录 2.1 函数的概念及表示 返回目录 知识清单 知识点1　函数的有关概念 1.函数的概念 函数的 概念 一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的 记法 y=f(x),x∈A,x叫做自变量,与x的值相对应的y值叫做函数值 定义域 x的取值范围A叫做函数y=f(x)的定义域 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 返回目录 提醒　直线x=a(a为常数)与函数y=f(x)的图象有0或1个交点. 2.同一个函数 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也 相同,那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 解析法、列表法、图象法. 返回目录 知识点2　分段函数 　　若函数在其定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的 函数称为分段函数. 提醒    分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集, 值域是各段值域的并集. 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)A=N,B=N,f:x→y=(x-1)2是从集合A到集合B的函数. ( ) (2)y= 与y= 是同一个函数. ( ) (3)任何一个函数都有三种表示法. ( )     ✕         ✕         √     返回目录 2.下列图象中,y不是x的函数的是 ( )          D     返回目录 3.函数f(x)= 的定义域是____________________.     (-∞,2)∪(2,3]     返回目录 4.已知f(x)= + ,若f(-2)=0,则a的值为_________.     1     返回目录 5.若f(x)= 则f(f(-1))=_________.     3     返回目录 考点清单 考点1　函数的概念及表示 角度1　函数的概念 典例1    (1)(多选)下列选项中正确的是 ( ) A.函数f(x)= - 的定义域为[0,+∞) B.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 C.函数y= 与y=x-1表示同一个函数 D.对于任何一个函数,如果因变量y的值不同,则自变量x的值一定不同 (2)已知函数y=f(x+1)的定义域为[1,2],则函数y=f(2x-1)的定义域为 ( ) A. 　　    B. 　　    C.[-1,1]　　    D.[3,5]     B         ABD     返回目录 解析    (1)对于A,由题意得 解得x≥0,即函数f(x)的定义域为[0,+∞),A正确. 对于B,D,根据函数的定义知B,D正确. 对于C,函数y= 的定义域是{x|x≠-1},函数y=x-1的定义域是R,C不正确.故选ABD. (2)由函数y=f(x+1)的定义域为[1,2]知2≤x+1≤3.因此函数y=f(x)的定义域为[2,3]. 在函数y=f(2x-1)中,2≤2x-1≤3,解得 ≤x≤2,故选B. 返回目录 方法总结　求复合函数的定义域   返回目录 变式训练 1.(关键元素变式)若函数f(x)的定义域为[-2,4],则y= 的定义域为 ( ) A.(1,8]　　    B.[-4,1)∪(1,8] C.(1,2]　　    D.[-1,1)∪(1,2]     D     解析　由题意得 解得-1≤x≤2且x≠1.故选D. 返回目录 角度2　求函数的解析式 典例2    (1)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2x,则f(x)=______________. (2)若f( +1)=x+2 ,则f(x)的解析式为______________________.     f(x)=x2-1(x≥1)         x2-x+1     返回目录 解析    (1)由f(x)是二次函数设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=1,得c=1. 由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,整理得2ax+a+b=2x,则有 解得  所以f(x)=x2-x+1. (2)解法一　换元法　令 +1=t,则x=(t-1)2,t≥1.所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),所以函 数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 解法二　配凑法    f( +1)=x+2 =x+2 +1-1=( +1)2-1. 因为 +1≥1,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 返回目录 方法总结　函数解析式的求法 待定系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等),则可用待定系数法 换元法 主要适用于求解:已知f(g(x))的解析式,求函数f(x)的解析式.其求解的步骤如下: (1)先令g(x)=t,求出t的取值范围; (2)反解出x,用含t的代数式表示x; (3)将f(g(x))中的x换为用t来表示,可求得f(t)的解析式,从而求得f(x) 配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式 构造法 已知关于f(x)与f 或f(-x)或f 的一个等式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,通过解方程组求出f(x) 赋值法 f(x)是关于x,y两个变量的方程式,可对变量赋值求出f(x) 返回目录 变式训练 2.(构造法)已知函数f(x)的定义域为R,且满足2f(x)-f(1-x)=x,则f(x)= ( ) A.x-2　　    B. 　　    C. 　　    D.-x+2     B     解析　因为2f(x)-f(1-x)=x①,所以2f(1-x)-f(x)=1-x②,由①×2+②得3f(x)=x+1,则f(x)= . 故选B. 返回目录 3.(赋值法)已知f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对任意实数x,y恒成立,且f(0)=1,则f(x)的解析式为 ___________________.     f(x)=x2+x+1     解析　令y=x,则f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=f(x)-x(x+1),因为f(0)=1,所以f(x)-x(x+1)=1,所以f(x)=x2 +x+1. 返回目录 考点2　分段函数 典例3    (1)(分段函数求值)设f(x)= 则f(9)的值为 ( ) A.9　　    B.11　　    C.28　　    D.14 (2)(分段函数的值域)已知函数f(x)= 若函数f(x)的值域为R,则实数a的取 值范围是_______________.     [-10,6]         B     返回目录 解析    (1)f(9)=f(f(14))=f(2×14-15)=f(13)=2×13-15=11.故选B. (2)在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x+6与y=x2-4x的图象,如图.结合图象可知要使 f(x)的值域为R,则有 解得-10≤a≤6.   返回目录 方法总结    1.求分段函数的函数值的方法 先确定自变量的取值属于哪一段区间,再代入该段区间所对应的解析式求值.当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. 2.与分段函数有关的方程或不等式问题 依据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应解析式分类讨论求解,最后将讨论结 果并起来,特别地,可以借助函数单调性求解不等式. 3.分段函数求值域 (1)根据自变量的不同范围,求出每段函数的值域,每段函数的值域的并集就是函数的值 域. (2)借助函数的图象,确定函数的值域,解含有参数的值域问题常用此法. 返回目录 变式训练 4.(分段函数与不等式)设函数f(x)= 若f(a2-3)>f(a-1),则实数a的取值范 围是______________________.     (-∞,-1)∪(2,+∞)     解析　作出函数f(x)= 的图象,如图所示,   由图可知,函数f(x)= 在R上单调递增,所以由f(a2-3)>f(a-1),可得a2-3>a-1,即 a2-a-2>0,解得a<-1或a>2,则实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(2,+∞). 返回目录 5.(已知函数值求自变量)函数f(x)= 当f(f(a))=8时,实数a=_________.     8     解析　令f(a)=t,当t≤1时,t2+2t=8,解得t=-4或t=2(舍去); 当t>1时, -5=8,解得t= (舍去),因此t=-4,所以f(a)=-4. 当a≤1时,a2+2a=(a+1)2-1≥-1,故a2+2a=-4无解,舍去; 当a>1时, -5=-4,解得a=8,符合题意.综上所述,a=8. 返回目录 6.(分段函数与方程)已知a≠0, f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),则a的值为_______. 　-      解析    f(1-a)=f(1+a)可化为 或   解得a=- . 返回目录 $