清华大学2024年物理水平考试（强基计划）

清华大学2024年物理水平考试 m￡m^i一i3￡x3E:,。“ 0￡ 1.牛顿环实验中各种操作因素可能会影响观测结果，例如接触处不是点接触或有缝隙等。在 折射率为1.6的液体中进行实验，平凸透镜玻璃折射率为1.62，平板玻璃折射率为1.58， 结果在中心处观察到暗斑。这时透镜与玻璃板之间距离最小是多少？ n2 ny n3 2.如图两个同轴圆柱组合成一工件柱，分别与1、2传送带接触。问工件可能的运动情况。 ,2 A.若y1=0且2>0，则柱无法纯滚动，且向右运动。 B.若1>0且2=0，则柱无法纯滚动，且向右运动。 C.若y1=0且2>0，则柱可以纯滚动，且向右运动。 D.若y1>0且2>0，则柱可以纯滚动，且向右运动。 3.单缝衍射中，使用波长为入=500nm的光，经过宽度为a=0.25nm的单缝，再经过焦 距为f的凸透镜，于光屏上形成衍射图像。图像上下第3级暗纹相距12n,问凸透镜焦距f 是多少？ 4.一个半径为R的不带电导体球，在距离球心R/2处有一半径为R/4的空腔。空腔中心放 入一点电荷q,则体系能量（不计点电荷自能）为多少？ 5.如图，均匀带电球电荷密度为ρ，距离球心R/2处挖了一个半径为R2的空腔。问体系能 量大小。 1 6.如图，光滑水平面上并排放着三个小球A、B、C,质量分别为3m、m、3m。现在给A一 个向右的冲量mwo,问最终C的速度大小。 7.使用复摆测周期方法来测量某刚体转动惯量。周期T、质量m、质心到悬点距离的测 量误差均为1%，问最终测得转动惯量的相对误差。 8.月球引力是引起潮汐的主因，本题中不考虑太阳引力。若地月质量不变，而地月距离减半， 潮汐会如何变化？( A潮汐涨落高度变为4倍 B.潮汐涨落高度变为8倍 C.潮汐涨落高度不变 D.若地球半径也减半，则潮汐高度不变 E.若地球半径也减半，则潮汐高度减半。 9.在非均匀向右磁场中放置一小块非铁磁性的物体，其运动情况可能是() A.向左运动 B.向右运动 C.不动 D.原地旋转 E.若调转磁场方向，则物体反向运动 I0.如图是理想气体一系列过程的PV图。其中AD为等温线，AF为绝热线，则：() A.To>TAT>TA B.E→A放热 C.G→A吸热 D.B→A的熵变大于D→A 11.以下说法正确的有：() A气体绝热膨胀，温度不变。 B.不可逆过程，熵一定增加 C.任何体系经过足够长时间一定能达到热学平衡 D.摩擦吸热不可逆，所以无法从单一热源吸热转化为有用功 E以上均不对 12肥皂泡表面均匀带电，表面张力系数σ，问带电量多大时泡泡内外无压力差。 13.一个静止的质量为mo的粒子吸收了能量为E的光子，求新粒子的静质量mo'和速度v 2 14.均匀带电圆柱面的电荷面密度为σ，以角加速度α加速旋转，放于平行于盘面的匀强磁场 中，磁感应强度为B。求由于带电而产生的额外力矩。 15如图，光滑圆环水平放置，面内有均匀分布的磁场垂直环面，一根杆架在圆心和环边上， 以初始角速度0开始绕圆心轴运动。直到杆停止，转过角度为多少？ 16.半径为R的球壳底放置半径为r的小球，小球受到微扰后做小角度纯滚动，试求简谐运 动周期。(1=2mr25) 17.在质心静止参考系中有： A.惯性力不做功 B.惯性力矩为0 C.体系动量不变 D.体系动能不变 18.一两轮车，轮子匀质且质量均为m,半径为R,两轮连杆视为轻杆，长为2R。现在进行 急转弯，连杆中心转弯半径为4R,速度为V,则： Av=√2gR时会翻车 B.v=V√2gR时不会翻车，w>V√2gRA时就会翻车 C.v略大于√2gR时可能还不会翻车 3 清华大学2024年物理水平考试 解析 1.牛顿环实验中各种操作因素可能会影响观测结果，例如接触处不是点接触或有缝隙等。在 折射率为1.6的液体中进行实验，平凸透镜玻璃折射率为1.62，平板玻璃折射率为1.58，结果 在中心处观察到暗斑。这时透镜与玻璃板之间距离最小是多少？ n2 n1 13 【解析】两个反射面都存在半波突变，因此额外相位差可以不计。 干涉相消满足 资2d=2+m,k=0,12… 干涉相长满足 2 .2nd=2km, 入 1,2,3,… 中心为暗斑，最小距离满足 2x 2nidmin= 入 解得 入 dmin 4n1 其中入为实验用光在真空中的波长。 2.如图两个同轴圆柱焊接组合成一工件柱，分别与1、2传送带接触。工件可能的运动情况() A.若1=0且2>0，则柱无法纯滚动，且向右运动。 +1 B.若1>0且2=0，则柱无法纯滚动，且向右运动。 C.若v1=0且2>0，则柱可以纯滚动，且向右运动。 D.若1>0且2=0，则柱可以纯滚动，且向右运动。 【解析】本题选BC。 设工件轮轴内外半径分别为？和R,工件做纯滚动，意味着大小轮轴都不打滑。 1 工件质心速度为c,若工件向右运动，则需满足 U1-UC=Wr,v2-Uc =WR 显然有U1<2。 >0,2=0时，工件不可能做纯滚动，D错误，B正确。 当凹1=0，v2>0时，内轮轴摩擦力为1，外轮轴摩擦力为f2,且2>方。则有 f2-f1=ma>0 f2R-fir=IB>0 若摩擦力能满足上述条件，稳定时 U2 v2-at Bt.r,t=- a+Br 因此C正确，A错误。 当然如果摩擦力不满足2>，就可能出现向左加速的情况，不再讨论。 3.单缝衍射中，使用波长为入=500nm的光，经过宽度为d=0.25mm的单缝，再经过焦距 为f的凸透镜，于光屏上形成衍射图像。图像上下第3级暗纹相距△x=12m,问凸透镜 焦距∫是多少？ 【解析】单缝衍射光强公式 sin kpa 、kpa 其中α为半缝宽，p为入射光与衍射光的方向余弦之差，即 p=sin0-sin0o 一般而言，正如入射时o=0,0为衍射角。函数 sin kpa 2 N= kpa 取极大值对应衍射极大，取极小值对应衍射极小。 极大值满足 2π 1、 kpa :入asin8=(n+2)元， n=0,±1，土2，… 2 极小值满足 2π kpa=入asin9=nm, n=士1，土2，… 即 2asin0=dsin0=n入，n=土l,±2，… 由题意 dsin0=d0=3入，f.29=△x 可得 I=dA 6入 .二1m 4.一个半径为R的不带电导体球，在距离球心号处有一半径为具的空腔。空腔中心放入 一点电荷q,不计点电荷自能，则体系能量为多少？ 【解析】 静电平衡后导体等势，内表面带电2=一q,外表面带电3=q,根据对称性92、3均 匀分布。 方法一： 先让内、外球壳不带电，不妨设点电荷为91，即q1=q,将91分先置于内球球心，显然 不需要做功。再将q2分为足够多份，从无穷远移至内球壳，每次y移动后，电荷都在内球壳 均匀分布。则q1和q2间的电势能为 12g2 4πe0R 再将9g分为足够多份，从无穷远移至外球壳，需要做的功为增加的电势能。q1、q2在此过程 中不做功，所以 -人品品 4πe0r2n 4πe02R m=】 3 体系的总电势能为 W=wW1+W2=- 3q2 8TEO R 需要注意，这样的处理，并不适用于点电荷，因为点电荷没有几何尺寸，不能分割。 方法二： 静电平衡后导体等势，以无穷远为电势零点，则q处的电势为 19,1-q3q p= 4πE6R4re0R/4=4rE0R 相互作用能为 W=5ga1+92+9p),9m=-92=-4,91=2=9 其中⊙为导体球的电势，具体值由边值条件确定，本题求解不需要知道。则有 3q2 W=一8reoR 。如图。均匀带电球电荷密度为，距离球心号处龙了一个半径为号的空腔。问体系能 量大小。 【解析】半径为R，电荷密度为p的均匀带电球体的电势能，等于将球体分成足够多半径为 r、厚为dr的距匀带电球壳，由无穷远移至距球心？处所做功之和。即 rR∫o1p:n3 w=。J, 4ro·(p:4r2dr)ds=rp r'dr 4πp2R 3e0 Jo 15e0 R R 再将半径为2，电荷密度为一ρ的均匀带电球做类似的处理，将其移动至距大球球心 这样处理后，小球电荷间的电势能为 W,=4红-p2(Tp㎡r 15e0 120e0 4 大球对这部分电荷做的功为 -(-)(-p2r产s0) 其中紧 260 6Eo 为均匀带电球体内的电势，如图所示，由余弦定理 2=2+ 4+Rrcos0 代入，整理得 w-如（侣）+利 2πp2R 13πp2R 180e0 所以，总电势能为 W=W1+W2+W=360e0 73πp2R 8 0 6.光滑水平面上并排放着三个小球A、B、C,质量分别为3m、m、3m。现在给A一个 向右的冲量mo,此后发生的所有碰撞皆为弹性碰撞，求碰撞结束后C的速度大小。 【解析】第一次碰撞前A的速度为0=学，第一次碰撞后A、B的速度为、9。则 有 Uo 3m3 =3mvA mUB1, 3-0=UB1-UA 5 解得 1 UA1=6 VB1=20 第二次碰撞后，B、C速度为v2、vc2。则有 1 mvo=muna+3mvc2, 20-0=vc2-v2 解得 1 1 UB2=一40， vc2=40 随后A、B发生第三次碰撞，设碰撞后速度分别为vA3、v3。有 1 3m后+m 400 3mvA3+mUB3, =UB3-UA3 解得 1 3 UA3=一2420， UB3= 80 然后B、C发生第四次碰撞，设碰撞后速度分别为vB4、vC4。有 3 1 3 1 mgo+3mo-mu+3mvca. 4 80-40=C4-VB4 解得 3 5 UB4 166, C4= 6% 之后再无碰撞，所以C最终的速度为 16%。 7.使用复摆测周期方法来测量某刚体转动惯量。周期T、质量m、质心到悬点距离（的测 量误差均为1%，求最终测得转动惯量的相对误差。 【解析】以悬挂点为重力势能零点，机械能守恒 E-mgl cosmglml 1 求导并整理，可得运动方程 +"0=0 6 这是一个标准简谐振动方程，振动周期为 T=2π1 mgl 所以 I=mglT2 4m2 相对误差为 ='%-+a0+a+a-ms++g △T m++27 +o(△2)=4% mlT2 8.月球引力是引起潮汐现象的主因。不考虑太阳引力，若地月质量不变，而地月距离减半，潮 汐会如何变化？ () A.潮汐涨落高度变为4倍 B.潮汐涨落高度变为8倍 C.潮汐涨落高度不变 D.若地球半径也减半，则潮汐高度不变 E.若地球半径也减半，则潮汐高度减半 【解析】海平面上0张角处质点m的受力方程为 MMmr' ma=G r2i+FE+Fost 第二项为地球对m的作用，第三项为其他作用力，可以粗略认为二者平衡，也就是不考虑Fε+ Fext的影响。 地球质心的受力方程为 Meac =GMAMEr T2 T 地球质心系中m的受力方程为 -GMmr m(a-ac)=ma=GMumr T2 T 7 式子右边即为潮汐力的表达式，可以改写为 f潮汐=GMMm -) 其中 r'=r-R, r2=r2+R2-2rRCos0 考虑到R《r,可得 六-( 所以 r'r R 3rR 8一3= 3+ T3r cos 因此可以得到潮汐力的分量形式 os0 fr=2GMMm- r3, fy=-GMvm Rsin0 3 其作用相当于横向拉伸，纵向挤压。 沿地球表面的大圆路径做功 W= 3πGMMmR2 2m3 可以粗略认为潮汐力做的功等于重力势能的增量，即 mg△h=W 可得 △h=3 nGMMR2e 2gr3 3 因此本题选B。 8 9.在非均匀向右磁场中放置一小块非铁磁性的物体，其运动情况可能是： A.向左运动 B.向右运动 C.不动 D.原地旋转 E.若调转磁场方向，则物体反向运动 【解析】在物理竞赛范围内，我们一般默认磁化是线性且各向同性的。 第一，题目对于磁化没有给出进一步说明，介质可能是顺磁的，也可能是抗磁的，顺磁介 质磁化形成的磁矩与外磁场同向，抗磁介质磁化形成的磁矩与外磁场反向； 第二，题目对于磁场分布也没有给出进一步说明，磁场可能是左边强右边弱，也可能是右 边强左边弱。 基于以上两点，由F=(m·又)B计算得到的磁场作用力必然非零，方向可能向左也可能 向右，所以AB对，C不对。 不论顺磁与抗磁，物体磁化产生的磁矩都与外磁场共线，根据T=m×B可知磁力矩为 零，所以不会旋转，而且前面已经分析了磁场作用力的方向，物体不能呆在原地，所以D不对。 若调转磁场方向，则磁化产生的磁矩方向也随之反转，二者叠加产生负负得正的效果，所 以磁场作用力方向不变，所以E不对。 综上，本题选AB。 10.图示为理想气体一系列过程的p一V图。其中AD是等温线，AF是绝热线，则() A.To>TA B B.E→A放热 D C.G→A吸热 E F D.B→A的熵变大于D→A G 0 【解析】本题选ABCD。 根据热力学第一定律A→B、A→C、A→D、A→E吸热，A→G放热，且TB>Tc> 9 TD>TE>Tr>TG。 根据热力学基本方程，对于理想气体 dT ,dV ds do pdv =CyT+nR V T 理想气体熵 s=Cvn T V +nRInV :+S0 熵变 △S=52-S1=Cvlh7 T2+nRIn Vi V2 11.以下说法正确的有： A.气体绝热膨胀，温度不变 B.不可逆过程，嫡一定增加 C.任何体系经过足够长时间一定能达到热力学平衡 D.摩擦吸热不可逆，所以无法从单一热源吸热转化为有用功 E.以上均不对 【解析】本题选E。 绝热膨胀对外做功，根据热力学第一定律，气体内能减少，故温度降低。 孤立系统才有熵增加原理，故B错误。 若体系与外界存在物质、能量交换，则不能达到热力学平衡，当然如果把体系和外界看成一个 孤立系统，则一定能达到热力学平衡，故C错误。 D项错误，两种说法没有必然联系。 12.肥皂泡半径为R,表面均匀带电，表面张力系数σ。肥皂泡带电量多大时，内、外无压 力差。 【解析】均匀带电球面表面外侧附近的场强为 E=1-Q1kQ 24rR2e0-2R2 10 附加的压强为 △F_E·△S Q2 p= △5= △S 32n2R4eo 表面张力附加的压强为 p=2.g·2mR_4o TR2-R 由题意 P=P' 解得 Q=8V2π2R3ae0 13.一个静止的质量为mo的粒子吸收了能量为E的光子，求新粒子的静质量m,和速度v 0 【解析】能动量守恒 moc2 +E=- 1- E mov c √1-罗 解得 2moE m%=√m哈+c2, E = moc2+Ec 14.均匀带电圆柱面的电荷面密度为σ，以角加速度B加速旋转，求由于带电而产生的额外 力矩。 【解析】圆柱的角速度为 w=wo+Bt 长度为1的柱面的电流为 1=号= 2红 owRl 电流沿圆柱轴线方向的线密度为 j=7=owR 11 根据安培环路定理，可得内部磁场为 B=Hoj=HoowR 感生电场为 E=Rt2mRoR、R形 1dΦπR2 R dt =2 HogB 力矩为 M=FR=o·2rRl.E·R=πoo2R3L 15.如图所示，半径为（的光滑圆环水平放置，面内有均匀分布、垂直环面的磁场，磁感应强 度为B。一根质量为m、长度为圆环半径的杆架在圆心和环边上，杆以初始角速度o开始 绕圆心轴运动，直至停止。不计除R外的电阻，求整个过程杆转过角度。 B m, 【解析】角速度为w时，感应电动势为 6-BlO-BP 电路电流 1-月-驶 安培力矩 B214w BIrdr= 4R 角动量定理 3ml26=-M 1 整理得 6+3B 0=0 4mR 12 对时间t积分，可得 3B22 e+4mR6(0=C 这是一个守恒方程，代入初值条件，可得C=(O)=w0。 杆停止运动，转过的角度 0=3Bp 4mR 16.半径为R的球壳底部放置半径为？的小球，小球受到微扰后做小角度纯滚动。已知小球 2 的绕过球心轴转动的转动惯量为I=m户，求小球的运动周期。 【解析】两个球心连线与竖直方向的夹角为日，小球绕质心轴的角速度为ω。纯滚动条件为 Uc=(R-r)0=Tw 以过球壳中心的水平面为零势能面，机械能守恒 B--mg(R-)c0+m 1 消去“.并微小量近似c@s0=1-,代入1-号m,可得 E=-mgR-r）+mg(R-re+ m(-m --mg(R-)+md(R-)+m(R- 对时间求导，整理到运动方程 5g 0=0 0+7R-) 这是标准简谐振动方程，振动周期为 T=2π1 7(R-r） 5g 17.在质心参考系中有： A.惯性力不做功 B.惯性力矩为0 13 C.体系动量不变 D.体系动能不变 【解析】这题涉及到一个质心系定义的问题。 如果仅考虑平动效应，本题选ABC。 因为我们用 a-ac=a' 定义的参考系是一个非惯性系，然后我们管这个参考系叫质心系。 如果我们考虑转动效应，并仿照非惯性系的定义一个旋转系为质心系，即 ai-ac-ait aic =a 那么就是接下来的讨论。 在一给定惯性系中，质点的位移矢量分别为r:,质心的位移矢量为r℃满足 ro= ∑：mr m ,m=∑m 质心系中，质点相对质心的位移矢量为=T:一Tc ∑m=0 对于存在转动的情况，有 dr_drg+wxr=t+w× dt dt 惯性系中加速度为 ai=ac+ai+ait aic a'为相对加速度，at为牵连加速度，ac为科氏加速度。 质心系中 ai ac-ait-aic =a 14 所以惯性加速度为-ac一at一ac,惯性力做的功为 dW=∑m(-ac-at-ac)dr =-aed(nr）-∑mae+ar =-∑mian-dri 上式不一定为零。 惯性力矩为 M'-∑rxm(-ac-at-ae)=aox∑mr+m:(ae+ae)×Y =∑m,(at+ac)×r 代入 at=心×r+(wr)w-w2r, aic=2w xv 显然 ait x r=(w.T)w x Ti,aic x T=0 所以 M'=∑m,ae×=∑m(whw×r 这项也不一定为零。 体系的动量为 r=∑mw-∑mo-e)=0 即在质心系中，体系动量不变。 体系动能为 民=∑m=∑m仿-toP=∑m-∑m说 15 对时间求导 品A-∑mRr=∑mr-oX-ial =∑mr(-rc)-ac∑m:(i-c) =∑mi-o)=∑R-d 则有 d=∑Fd(rm-rc) 因为 dEk=dE+dEc=∑Fdrn 可得 dEc=∑F,drc 一般惯性系中，体系动能变化与否取决于是否有外力做功，且质心动能变化等于合外力对质心 做的功。变化到质心系，问题变为外力相对质心对各质点做功之和是否为零，并不能保证相对 动能不变。因此D错误。 18.一辆两轮平衡车，轮子匀质且质量均为m,半径为R,两轮连杆视为轻杆，长为2R。现 在进行急转弯，连杆中心转弯半径为4R,速度为v,则： () A.v=V√2gR时会翻车 B.v=V√2gR时不会翻车，v>V2gR时就会翻车 C.v略大于V√2gR时可能还不会翻车 【解析】注意本题是平衡车，不是自行车。 翻车时，内轮处地面的支持力为0。 以外轮接触点为转轴，离心力矩为 M1=(mw'r+mw'r2)R =(3R+m5）n v2 =2m2 16 重力力矩为 M2 2mgR 翻车 M1>M2 即 v>2VgR 17