第16卷 二次函数的应用 -考点训练卷 2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学考纲百套卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦二次函数应用，通过实际情境题型（几何、利润、运动等）强化建模与最值求解，知识逻辑围绕实际问题抽象为二次函数模型并求最值，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|15题|实际情境最值（面积/利润/运动轨迹）|实际问题→二次函数模型→最值计算| |解答题|4题|含参数二次函数应用（利润/收益/几何面积）|模型构建→函数解析式→最值求解|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第16卷 二次函数的应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．某广场有一喷水池，水从地面喷出，若水离地面的高度y（单位：）与喷出的水平距离x（单位：）之间的关系式为，那么水喷出的最大高度为（    ） A． B． C． D． 2．在跳水运动中，跳水运动员距离水面的高度（单位：米）与身体距岸边的距离（单位：米）的函数关系近似为在某次试跳中，测得运动员在空中调整入水姿势时距岸边米，则此时他离水面的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．某工厂生产一种产品，成本（单位：元）满足其中为日产量（单位：件）．如果市场销售价（单位：元/件）满足，那么要使每日获得最大利润，则日产量为（    ） A．56 B．58 C．57 D．5 4．如图所示，已知一块矩形养鸡场一面靠墙（墙足够长），另外三面由篱笆围成，并且开有一个宽为1米的门（门不需要用篱笆材料），篱笆材料共有23米，则该养鸡场面积的最大值为（    ）平方米.    A．36 B．72 C．108 D．144 5．旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在或以下，飞机票每人收费元；若旅游团的人数多于，则实行优惠方案，每多人，机票费每张减少元，但旅游团的人数最多为，则该旅行社可获得利润的最大值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长应为（　　）．    A． B． C． D． 7．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润（利润收入成本），该企业一个月应生产该商品数量为（    ） A．万件 B．万件 C．万件 D．万件 8．为推广川剧文化，某高职院校学生社团对非遗文化产品——川剧变脸玩偶进行宣传和销售.销售中发现该产品月销售利润（单位：元）与售价（单位：元）满足函数关系.该产品的月销售利润最高可达（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 9．一个绳子长度为，它可以围成一个圆和一个正方形（忽略损耗），当围成的圆和正方形的面积之和最小时，则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 10．某商品的进货价为40元／件，当售价为50元／件时，一个月能卖出500件.通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为（    ） A．45元 B．55元 C．65元 D．70元 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．用10长的铝合金材料制作一个“日”字形的窗框，当窗框的长和宽分别为________ ，________ 时，窗户的透光面积最大. 12．某超市经营一种水产品，成本为每千克30元.根据市场分析，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，销售单价定为_____元时，获得的利润最大. 13．某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个，当销售利润为360元时，销售价上涨________元。 14．某公司销售一种节能灯，其成本为每件10元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数．不考虑其他因素，要获得最大利润，该公司应把节能灯的销售单价定为______元． 15．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为，在B地的销售利润（单位：万元）为，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是______万元. 三、解答题:本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．据市场调查，某产品利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式可表示为．当售价x为20元时，产品的利润y为700元. (1)求a的值； (2)求当售价x为多少元时，利润y最大?并求出最大利润； (3)要使该产品利润y大于100元，求售价x的取值范围. 17．某旅游景区推出了一个热门游乐项目，每天最多可接待游客人，当门票价格为元时，该游乐项目当天均为满员状态.经市场调查发现，当门票价格每提高5元，每天的游客人数就会减少人. (1)当门票价格为元时，当天该游乐项目的游客数为多少人？ (2)当门票价格为多少元时，当天该游乐项目的收益最大？并求最大收益. 18．某商场销售一种商品，每件进价为元.根据市场调查，若每件售价定为元，则每天可卖出件；若每件售价每提高1元，则每天少卖出件.设每件商品的售价提高元（）. (1)求每天的销售量（件）与（元）之间的函数关系式； (2)当每件商品的售价定为多少元时，商场每天销售这种商品获得的利润最大？最大利润是多少？ 19．用一张长、宽的矩形硬纸板，在四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖长方体盒子，设盒子的侧面积为.    (1)求侧面积y关于x的函数解析式，并写出定义域； (2)当x取何值时，盒子侧面积最大？最大侧面积是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第16卷 二次函数的应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．某广场有一喷水池，水从地面喷出，若水离地面的高度y（单位：）与喷出的水平距离x（单位：）之间的关系式为，那么水喷出的最大高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求解二次函数的最大值即可. 【详解】∵水离地面的高度y与喷出的水平距离x之间的关系式为， ∴函数的对称轴，且函数图象开口向下， 当时，函数有最大值， ∴水喷出的最大高度为. 故选：B. 2．在跳水运动中，跳水运动员距离水面的高度（单位：米）与身体距岸边的距离（单位：米）的函数关系近似为在某次试跳中，测得运动员在空中调整入水姿势时距岸边米，则此时他离水面的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】将代入中即可得解. 【详解】跳水运动员距离水面的高度（单位：米）与身体距岸边的距离（单位：米）的函数关系近似为， 将代入得米， 故选：. 3．某工厂生产一种产品，成本（单位：元）满足其中为日产量（单位：件）．如果市场销售价（单位：元/件）满足，那么要使每日获得最大利润，则日产量为（    ） A．56 B．58 C．57 D．5 【答案】C 【分析】先表示出总收入表达式，再表示出利润表达式，根据二次函数的性质求解即可. 【详解】总收入， 总成本， ∴利润 ． 当（件）时，可获得最大利润， 而，故比较和时的利润，（元），元， 因此，即要使每日获得最大利润，则日产量为57件. 故选：C． 4．如图所示，已知一块矩形养鸡场一面靠墙（墙足够长），另外三面由篱笆围成，并且开有一个宽为1米的门（门不需要用篱笆材料），篱笆材料共有23米，则该养鸡场面积的最大值为（    ）平方米.    A．36 B．72 C．108 D．144 【答案】B 【分析】设定与墙垂直面的长度为，得到与墙平行面的长度，得到该养鸡场面积的解析式，利用二次函数的性质求出最大值． 【详解】设该养鸡场面积为平方米， 设与墙垂直的一边长为米，则与墙平行边的长为米，即米， 由且，得， 由题意， ∵， ∴当时，有最大值为72， 故选：B． 5．旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在或以下，飞机票每人收费元；若旅游团的人数多于，则实行优惠方案，每多人，机票费每张减少元，但旅游团的人数最多为，则该旅行社可获得利润的最大值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设旅游团的人数为，每张机票为元，该旅行社可获得利润为元，利用一次函数和二次函数的性质，分别求出当时和当时利润的最大值即可. 【详解】设旅游团的人数为，每张机票为元，该旅行社可获得利润为元， 当时，，， 显然当时，有最大值，最大值为； 当时，， ， 显然当时，有最大值，最大值为. 所以该旅行社可获得利润的最大值为元. 故选：B. 6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长应为（　　）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由三角形相似列方程，再建立二次函数模型，最后由二次函数的顶点式求最值即可. 【详解】如图，由三角形相似得， ，得， 由，得， 所以， 所以当时，有最大值，此时.    故选：A. 7．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润（利润收入成本），该企业一个月应生产该商品数量为（    ） A．万件 B．万件 C．万件 D．万件 【答案】B 【分析】求出利润的表达式，利用二次函数的性质求解. 【详解】由题意可得，收入是万元，成本是万元， 所以利润， ∴当万件时，获取最大利润，最大利润为142万元． 故选：B． 8．为推广川剧文化，某高职院校学生社团对非遗文化产品——川剧变脸玩偶进行宣传和销售.销售中发现该产品月销售利润（单位：元）与售价（单位：元）满足函数关系.该产品的月销售利润最高可达（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解函数最值. 【详解】因为产品月销售利润与售价的函数关系为， ， 当时，有最大值，最大值为， 所以该产品的月销售利润最高可达元， 故选：C. 9．一个绳子长度为，它可以围成一个圆和一个正方形（忽略损耗），当围成的圆和正方形的面积之和最小时，则正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设正方形的边长为，表示出圆和正方形的面积之和，再由二次函数最小值的求法即可求解. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的周长为，剩余绳子用于围成圆， 圆的周长为，圆的半径为， 正方形的面积为，圆的面积为， 总面积， 所以当，即，时，总面积最小， 此时，正方形的边长为. 故选：A. 10．某商品的进货价为40元／件，当售价为50元／件时，一个月能卖出500件.通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为（    ） A．45元 B．55元 C．65元 D．70元 【答案】D 【分析】根据题意，设定售价提高x元，即定价为元，得到与的函数关系式，利用配方法计算二次函数最值，即可求解. 【详解】由题意，设在50元的基础上提高元，每月的月利润为， 则与的函数关系式为， 所以， 所以当，即每件商品的定价为元时，月利润最高． 故选：D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．用10长的铝合金材料制作一个“日”字形的窗框，当窗框的长和宽分别为________ ，________ 时，窗户的透光面积最大. 【答案】 /2.5 【分析】先根据已知条件建立窗户透光面积关于窗框长或宽的函数表达式，再根据二次函数的性质求出面积的最大值以及此时对应的长和宽. 【详解】设窗框的宽为米， 因为铝合金材料总长为米，所以长为， 由且，得， 所以窗户的透光面积关于的函数表达式为： ， 所以当时，有最大值，此时长为（）. 故答案为：，. 12．某超市经营一种水产品，成本为每千克30元.根据市场分析，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，销售单价定为_____元时，获得的利润最大. 【答案】60 【分析】根据题意求出利润的解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】设涨价元，利润为元，则销售价为元，销售量为千克， 利润为， 因为，解得，所以定义域为， 则当，即销售价为元时，利润最大. 故答案为：. 13．某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，则销售量就减少10个，当销售利润为360元时，销售价上涨________元。 【答案】 【分析】设出销售价上涨元，根据题意列出等式即可得解. 【详解】设销售价上涨元，则销售量为个， 则， 解得元， 所以销售价上涨元， 故答案为：. 14．某公司销售一种节能灯，其成本为每件10元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数．不考虑其他因素，要获得最大利润，该公司应把节能灯的销售单价定为______元． 【答案】30 【分析】根据“利润=(销售单价每件销售成本)×销售量”列式可得到一元二次函数，再根据一元二次函数的性质分析求解即可. 【详解】节能灯销售单价元，成本为每件10元， 设该公司销售节能灯每月的利润为元， 则 ， 所以当销售单价时，有最大利润，利润最大为元. 故答案为：. 15．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润（单位：万元）为，在B地的销售利润（单位：万元）为，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是______万元. 【答案】43 【分析】根据题意列出总利润的函数式，再根据二次函数最值的解法求最大利润. 【详解】设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车辆，所以可获得利润 . 因为且， 所以当或11 时，总利润最大，最大值万元， 故答案为：. 三、解答题:本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．据市场调查，某产品利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式可表示为．当售价x为20元时，产品的利润y为700元. (1)求a的值； (2)求当售价x为多少元时，利润y最大?并求出最大利润； (3)要使该产品利润y大于100元，求售价x的取值范围. 【答案】(1) (2)当售价为元时，利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）将，代入函数关系式即可求得a的值； （2）根据二次函数的性质求解最大利润； （3）由已知条件列出一元二次不等式求解. 【详解】（1）已知当售价元时，产品的利润元， 将其代入函数关系式中， 可得：， 即，解得. （2）由（1）可知，所以函数关系式为， 其图像开口向下，对称轴为， 所以当时，有最大值，最大值为元. （3）要使，即， 则，可得， 所以. 17．某旅游景区推出了一个热门游乐项目，每天最多可接待游客人，当门票价格为元时，该游乐项目当天均为满员状态.经市场调查发现，当门票价格每提高5元，每天的游客人数就会减少人. (1)当门票价格为元时，当天该游乐项目的游客数为多少人？ (2)当门票价格为多少元时，当天该游乐项目的收益最大？并求最大收益. 【答案】(1)人 (2)门票价格为元时，当天的收益最大，最大收益为元 【分析】（1）根据题意列式求值即可. （2）首先根据题意建立二次函数的模型，再由二次函数的最值公式确定最值即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以当天的游客数为人. （2）设门票价格为元，当天的收益为元， 由题意得，， 则当时，， 所以当门票价格为元时，当天的收益最大，最大收益为元. 18．某商场销售一种商品，每件进价为元.根据市场调查，若每件售价定为元，则每天可卖出件；若每件售价每提高1元，则每天少卖出件.设每件商品的售价提高元（）. (1)求每天的销售量（件）与（元）之间的函数关系式； (2)当每件商品的售价定为多少元时，商场每天销售这种商品获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价为 元，利润最大，最大利润为元 【分析】（1）根据每件售价每提高1元，则每天少卖出件列式即可. （2）根据利润（售价进价）销售量，建立二次函数模型，再由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】（1）已知每件售价定为元，则每天可卖出件， 因为每件售价每提高1元，则每天少卖出件， 所以销售量. 且，解得， 所以， 则. （2）利润 ， 所以当时，利润最大，最大利润为元， 此时售价为元. 19．用一张长、宽的矩形硬纸板，在四个角各剪去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖长方体盒子，设盒子的侧面积为.    (1)求侧面积y关于x的函数解析式，并写出定义域； (2)当x取何值时，盒子侧面积最大？最大侧面积是多少？ 【答案】(1)，定义域为 (2)当时，侧面积取得最大值，最大侧面积为 【分析】（1）根据题意，结合长方体的侧面积计算，及函数的表示方法，即可求解； （2）根据题意，结合二次函数的图像和性质，利用配方法，即可求解. 【详解】（1）由题意，得，即， 所以， 即函数解析式为，定义域为； （2）因为侧面积， 又，所以当时，侧面积取得最大值，最大侧面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $