第二章 幂函数、指数函数、对数函数（B卷·能力提升卷）-《数学》人教版（幼儿师范） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学第二章幂函数、指数函数、对数函数B卷（能力提升），紧扣教材核心考点，通过基础巩固与能力提升梯度设计，培养运算能力、推理意识与模型意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|15/30|定义域、单调性、函数性质|基础考点整合，如第7题单调性区间判断| |填空题|6/18|方程求解、指数增长|知识应用，如第18题蓝藻指数增长计算| |解答题|6/52|函数奇偶性、实际应用|综合能力提升，如25题促销价格模型构建、26题单调性证明|

编写说明：本套试卷紧扣《数学》（人教版 幼儿师范学校教科书）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 幂函数、指数函数、对数函数 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ）． A． B． C． D． 3．下列命题正确的是（   ） A．函数与是同一函数 B．若，，则 C．函数是奇函数 D．若，则 4．，，三个数之间的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 5．已知和分别是的两个根，则的值为（   ）． A．100 B．10 C． D． 6．函数与（且）在同一坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 7．函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 8．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或2 9．关于函数 ，下列说法错误的是（   ） A． B． 定义域为 C． 在 为增函数 D． 为偶函数 10．函数 且的图象恒过的点为（   ） A． B． C． D． 11．已知指数函数的图像过点，若，则实数的值为（    ） A．1或 B．2 C． D．或2 12．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 13．已知函数，那么它的反函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 14．函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   15．某理财产品的本金为万元，年利率为，按照复利计算，年后的本息和（单位：万元）与的函数关系为.若年利率，则年后的本息和约为（    ）（参考数据：） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 二、填空题(本大题共6小题，每题3分，共18分). 16．方程的解是________. 17．若函数在区间上最大值是最小值的3倍，则等于_________. 18．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的______ 19．已知指数函数 是减函数，则 的取值范围是 __________（用区间表示）. 20．指数函数的图象经过点___________. 21．函数的定义域为_____. 三、解答题（本大题共6小题，22-25题每题8分，26-27题每题10分，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．已知，求证：. 23．已知函数为指数函数，求的值. 24．已知函数．判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论． 25．某商品原价为 元，商场进行促销活动，第一次降价 ，第二次在第一次降价的基础上再降价 . (1)用含 的代数式表示促销后的价格； (2)若促销后价格为81元，求原价 . 26．若函数的图像经过点. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并加以证明. 27．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学》（人教版 幼儿师范学校教科书）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第二章 幂函数、指数函数、对数函数 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】已知， 因为在上为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是， 故选：B. 2．函数的定义域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的真数大于零，列不等式求解. 【详解】函数有意义，需满足. 对于二次函数 ，其图像开口向上，判别式 ， 因此 对所有 都成立， 所以函数 的定义域为. 故选：A. 3．下列命题正确的是（   ） A．函数与是同一函数 B．若，，则 C．函数是奇函数 D．若，则 【答案】C 【分析】根据相等函数的判断、对数函数的性质、奇函数的判定，即可求解. 【详解】对于A：函数的定义域为，值域为， 函数的定义域为，值域为， 因为函数与的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B：由，则函数在上单调减， 若成立，则，故B错误； 对于C：函数有意义，则， 等价于，解得， 即函数的定义域为关于原点对称， 所以， 即，即函数为奇函数，故C正确； 对于D：由，则函数在上单调递减， 所以，即，故D错误. 故选：C. 4．，，三个数之间的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得解. 【详解】对于对数函数，因为底数， 所以在上单调递增， 由于，所以， 对于指数函数，因为底数，所以在上单调递增， 所以， 又，即， 所以. 故选：C. 5．已知和分别是的两个根，则的值为（   ）． A．100 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算性质和韦达定理即可得解. 【详解】因为和分别是的两个根， 由韦达定理得， 所以． 故选：D. 6．函数与（且）在同一坐标系中的图象可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的图像判断即可. 【详解】对于指数函数，时，图像从左向右为上升单调递增， ，图像从左向右为下降单调递减， 对于对数函数，时，图像从左向右为上升单调递增， ，图像从左向右为下降单调递减， A：由指数函数可看出，所以，所以对数函数应单调递减，故A错误； B：由指数函数可看出，所以，所以对数函数应单调递减，故B正确； C：由指数函数可看出，所以，所以对数函数应单调递增，故C错误； D：由指数函数可看出，所以， 所以对数函数应单调递减且定义域为，图像应位于y轴的右侧，故D错误. 故选：B. 7．函数的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解一元二次不等式以及对数函数的性质求解即可. 【详解】由题意，得， 所以，所以或， 令， 而在上单调递减， 所以要求函数的单调递增区间， 即求函数在上的单调递减区间， 又的开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减. 故函数在上单调递增. 故选：A． 8．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．1或2 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】幂函数为偶函数， ，且为偶数，则实数. 故选：C. 9．关于函数 ，下列说法错误的是（   ） A． B． 定义域为 C． 在 为增函数 D． 为偶函数 【答案】D 【分析】根据题意，结合求具体函数的函数值，幂函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】因为函数， A选项：，故正确，不符合题意； B选项：的定义域为，即 ，故正确，不符合题意； C选项：是幂函数，且在定义域内单调递增，故正确，不符合题意； D选项：的定义域为，不关于原点对称，因此 不是偶函数，故错误，符合题意. 故选：D. 10．函数 且的图象恒过的点为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，结合对数函数的性质，即可解得. 【详解】令，即， 则，所以函数的图象恒过的点为. 故选：D. 11．已知指数函数的图像过点，若，则实数的值为（    ） A．1或 B．2 C． D．或2 【答案】D 【分析】设指数函数，再将点代入指数函数解析式求出的值，再将代入解析式求值即可. 【详解】设指数函数， 将点代入得，，解得， 所以，由， 得，所以， 即，解得或， 故选：D. 12．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可以先求出的值域，再求出的值域即可. 【详解】因为是指数函数， 值域为， 所以得值域为. 故选:B. 13．已知函数，那么它的反函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的值域确定反函数的定义域. 【详解】∵中， ∴， ∴， 故函数的值域,所以其反函数的定义域为. 故选:D. 14．函数的图像大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据对数函数的性质确定函数图像的定点及单调性即可确定答案. 【详解】因为函数的过定点,故、选项排除. 又因为函数在上为增函数,故选项排除. 故选：． 15．某理财产品的本金为万元，年利率为，按照复利计算，年后的本息和（单位：万元）与的函数关系为.若年利率，则年后的本息和约为（    ）（参考数据：） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】C 【分析】将代入函数的关系式求解即可. 【详解】把，代入，得万元. 故选：C. 二、填空题(本大题共6小题，每题3分，共18分). 16．方程的解是________. 【答案】2 【分析】由指数幂的运算求解即可. 【详解】令，则方程可化为， 解得或（舍），故，解得. 故答案为：2. 17．若函数在区间上最大值是最小值的3倍，则等于_________. 【答案】 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】因为函数在上是单调增函数， 又因为在区间上最大值是最小值的3倍， 最大值为，最小值为 所以，即， 得到，故， 因为，所以解得. 故答案为：. 18．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的______ 【答案】36倍 【分析】根据指数函数的应用列出等式分析计算即可求解. 【详解】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍， 设湖泊中原来蓝藻数量为，则，即， 经过60天后该湖泊的蓝藻数量为： 经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍. 故答案为：36倍. 19．已知指数函数 是减函数，则 的取值范围是 __________（用区间表示）. 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】已知指数函数 是减函数， 则，解得， 因此 的取值范围是 . 故答案为：. 20．指数函数的图象经过点___________. 【答案】81 【分析】设指数函数，且，代入点可得，即可得结果. 设指数函数，且， 因为指数函数的图象经过点，则， 即，可得， 则，所以. 故答案为：81. 21．函数的定义域为_____. 【答案】 【分析】根据指数函数以及根式函数的定义域求解即可. 【详解】为了使函数有意义， 需要满足，解得，即且. 综上所述，函数的定义域为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，22-25题每题8分，26-27题每题10分，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22．已知，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用对数的定义、对数运算法则及换底公式证明等式成立. 【详解】已知，可得，， 所以 . 23．已知函数为指数函数，求的值. 【答案】 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】∵函数为指数函数， ，解得. 24．已知函数．判断函数的奇偶性，并用定义证明你的结论． 【答案】函数是奇函数，证明见解析 【分析】先求函数的定义域，再由奇函数的定义即可得解. 【详解】解：函数是奇函数． 证明如下： 由,解得,∴,∴函数的定义域为, 函数定义域关于原点对称, 因函数． 所以， 所以函数是奇函数． 25．某商品原价为 元，商场进行促销活动，第一次降价 ，第二次在第一次降价的基础上再降价 . (1)用含 的代数式表示促销后的价格； (2)若促销后价格为81元，求原价 . 【答案】(1) (2)100元 【分析】（1）根据题意，结合指数函数的应用，即可求解； （2）根据题意，结合促销后价格的表示，即可列式求解. 【详解】（1）第一次降价后价格是, 第二次降价后价格是； （2）由题意 ，解得 ， 故原价为100元. 26．若函数的图像经过点. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并加以证明. 【答案】(1) (2)在定义域内单调递减，证明见详解 【分析】（1）将已知点代入可求解； （2）利用对数的运算，可得，再根据对数函数的性质及单调性的定义可证明. 【详解】（1）由题可知， ，解得； （2）由（1）知，， 所以， 则该函数的定义域为，其在定义域内是单调递减的，现证明如下： 设，，且， 则， 因为，所以，即， 所以， 所以在定义域内单调递减. 27．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并证明. 【答案】(1)R (2)偶函数，证明见解析 【分析】（1）根据指数函数的单调性求解即可； （2）根据奇偶性的定义判断即可； 【详解】（1）函数的定义域为R； （2）为偶函数，证明如下： 函数的定义域为R，定义域关于原点对称， 因为， 所以为偶函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $