【甘肃专用】第15练 抛物线的几何性质《数学》拓展模块（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 依托三阶支架体系，以选择、填空、解答题递进设计，覆盖抛物线几何性质从概念理解到综合应用，强化基础巩固与数学思维培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|抛物线定义、准线方程等单一性质|选择题1-3直接考查概念，填空题9强化焦点距离计算，夯实运算能力| |中档|直线与抛物线位置关系、简单应用|选择题4以水渠截面为情境（数学眼光），填空题10结合弦中点轨迹（模型意识）| |提高|多知识点综合、复杂推理|选择题7融合向量与抛物线（推理意识），解答题15综合弦长与面积计算，提升问题解决能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 15 练 抛物线的几何性质 1、 选择题 1．已知点在抛物线上，点M到抛物线C的焦点F的距离为6，设O为坐标原点，则的面积为（    ）． A． B．2 C． D． 2．对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 3．已知抛物线的准线方程为,则的值为（    ） A． B． C． D． 4．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 5．已知直线和抛物线相交于A、B两点，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．直线过抛物线的焦点，且与轴的交点为为原点，若，则直线的方程可以为（    ） A． B． C．或 D．或 7．设为坐标原点，直线过定点，与抛物线交于两点，若，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知抛物线：（）的焦点也是椭圆：（）的一个焦点，点，分别为曲线，上的点，则的最小值为__________． 9．已知点为抛物线上的点，且点到抛物线的焦点的距离为，则______． 10．已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程__________. 11．已知抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与C的交点为、与x轴的交点为P，若，则__________，________． 12．已知是抛物线上一点,抛物线的焦点是,的延长线交轴于点.若是线段的中点，则___________. 三、解答题 13．已知抛物线C：，其焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于两点，当l的斜率为0时，.求： (1)p的值； (2)当l的斜率为1时，三角形的面积. 14．已知抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的右顶点，求抛物线的标准方程. 15．设直线与抛物线交于两点，已知弦，点P在抛物线上，的面积为30，求点P的坐标. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 15 练 抛物线的几何性质 1、 选择题 1．已知点在抛物线上，点M到抛物线C的焦点F的距离为6，设O为坐标原点，则的面积为（    ）． A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线定义性质：先求出p值，再将点M代入，求得，然后可以求的面积 【详解】根据抛物线的定义：，则， 所以抛物线方程：，， 由于点M在抛物线上，即，则， 三角形的面积：. 故选：D. 2．对于抛物线，若点满足，则直线与抛物线（    ） A．恰有一个公共点 B．恰有两个公共点 C．有一个或两个公共点 D．没有公共点 【答案】D 【分析】联立直线和抛物线的方程，消元后利用的符号判断交点个数. 【详解】联立， 消去得：， 所以， 因为， 所以，故直线与抛物线无公共点， 故选：D. 3．已知抛物线的准线方程为,则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的准线方程即可得解. 【详解】因为抛物线. 所以准线方程为. 解得. 故选:. 4．假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果. 【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的标准方程为（）， 由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为， 设（，），则，则， 即可得， 所以截面图中水面宽的长度约为， 故选：D. 5．已知直线和抛物线相交于A、B两点，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意联立方程组，结合韦达定理及弦长公式即可得解. 【详解】直线的斜率为， 联立方程组， 设， 则，， 所以， 故选：. 6．直线过抛物线的焦点，且与轴的交点为为原点，若，则直线的方程可以为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求出点p的坐标，根据直线的截距式方程，即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点，又，所以或， 当时，直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 故选：C. 7．设为坐标原点，直线过定点，与抛物线交于两点，若，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得直线斜率不为0，设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理，及向量垂直的坐标表示，即可求得p的值，继而求解. 【详解】由题意可知，直线斜率不为， 设直线，则，化简得， 设，则， 由得，即， 即，解得， 所以准线方程为. 故选：A. 二、填空题 8．已知抛物线：（）的焦点也是椭圆：（）的一个焦点，点，分别为曲线，上的点，则的最小值为__________． 【答案】2 【详解】由点在椭圆上，且，所以，则焦点的坐标为，又由抛物线方程得，所以，则，由抛物线定义知等于点到其准线的距离，过点作准线的垂线，则垂线与抛物线的交点即为所求点，所以的最小值为. 点睛：此题主要考查抛物线方程、定义、焦点，椭圆的方程、焦点，以及它们与直线的位置关系等有关方面的知识，属于中档题型，也是高频考点.经过审题，可由点求得椭圆方程，算出焦点的坐标，从而求出抛物线方程，并可求出其准线，由抛物线定义可求出最小值，有必要可画出草图. 9．已知点为抛物线上的点，且点到抛物线的焦点的距离为，则______． 【答案】 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，进行求解即可. 【详解】由抛物线的标准方程知， 由抛物线的定义知，即． 故答案为：. 10．已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程__________. 【答案】（） 【分析】联立直线于抛物线方程，根据中点坐标公式即可求解. 【详解】设直线的方程为， 联立， 由于，所以， 设,则故 因此， 设， 由于，则， 故的轨迹方程为，（） 故答案为：（） 11．已知抛物线的焦点为F，斜率为2的直线l与C的交点为、与x轴的交点为P，若，则__________，________． 【答案】 【解析】设，，，，斜率为2的直线的方程为，令，可得到点的坐标，再将直线与抛物线的方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后利用条件，结合平面向量的坐标运算可求出、两点的坐标，最后利用抛物线的定义和两点间距离公式即可逐一得解． 【详解】解：设，，，，斜率为2的直线的方程为，则， 联立，得，， ，， 又，，，从而，， 故． 由，，得． 故答案为：；． 12．已知是抛物线上一点,抛物线的焦点是,的延长线交轴于点.若是线段的中点，则___________. 【答案】 【分析】由抛物线的焦点坐标,线段的中点坐标公式,两点间的距离公式即可得解. 【详解】    如图所示. 因为. 所以. 设. 因为点为中点,设. . 整理得. 所以. 因为点在抛物线上. 所以. . 故答案为:. 三、解答题 13．已知抛物线C：，其焦点为F，直线l过点F与抛物线C交于两点，当l的斜率为0时，.求： (1)p的值； (2)当l的斜率为1时，三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当直线的斜率为0时，直线的方程为与抛物线方程联立求出交点，则根据为即可求出p的值. （2）根据点到直线l的距离公式求出三角形的高，再将直线方程与抛物线方程联立并结合韦达定理，求出的长度，最后由三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）已知点， l的斜率为0时，直线的方程为， 代入抛物线方程得，， 所以， 所以， 则. （2）由（1）知点， 又由， 所以直线的方程为：. 则原点到直线的距离为. 又联立， 设， 根据韦达定理得， ，. 根据两点之间的距离公式得， 所以 所以. 14．已知抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的右顶点，求抛物线的标准方程. 【答案】 【分析】先将双曲线化为标准式，得到双曲线中心和右顶点坐标，即可求得抛物线方程. 【详解】双曲线方程化为标准方程为. ， 故双曲线的中心在坐标原点，右顶点坐标为. 由题意知，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，抛物线的标准式为. 由知. 故所求抛物线的标准方程为. 15．设直线与抛物线交于两点，已知弦，点P在抛物线上，的面积为30，求点P的坐标. 【答案】或 【分析】联立方程组根据弦长公式求，再根据点到直线的距离易得答案. 【详解】因为直线与抛物线交于两点， 联立方程， 化简得， 所以， 设， 所以，， 弦， 解得，所以直线方程为， 设抛物线上点坐标为，到直线的距离为， 因为， 所以， 所以化简得无解和， 解得或， 所以或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $