【甘肃专用】第13练 双曲线的几何性质《数学》拓展模块（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版《一课一练》第13练以双曲线几何性质为核心，通过三阶分层设计（基础认知-技能应用-综合拓展），实现从概念理解到综合应用的渐进巩固，培养抽象能力与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|双曲线离心率、渐近线方程等单一知识点|选择题4题直接考查定义与公式，如第4题求渐近线方程，夯实基础| |技能应用|渐近线与焦点关系、简单参数计算|填空题8题利用共渐近线双曲线设方程，训练模型意识，衔接基础与综合| |综合拓展|双曲线与椭圆综合、直线与双曲线位置关系|解答题15题结合椭圆焦点求双曲线方程，提升逻辑推理与综合应用能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 13 练 双曲线的几何性质 1、 选择题 1．已知椭圆与双曲线的公共焦点是， 点A是与的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．2 2．已知双曲线的离心率，且该双曲线的顶点是椭圆的焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线，则“”是“双曲线的两条渐近线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 5．若焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 6．已知双曲线的离心率是方程的一个根，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 7．下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线方程是____________. 9．过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，若，则这条直线可以是___________（写出一个即可）． 10．若双曲线上存在四点A，B，C，D，使四边形为正方形，则此双曲线的离心率的取值范围为______________． 11．过点且渐近线为的双曲线的标准方程为__________． 12．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离是其右顶点到渐近线距离的倍，则双曲线的渐近线方程为______． 三、解答题 13．判断直线与双曲线的公共点的个数． 14．（1）求焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程； （2）设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，求此双曲线的方程． 15．已知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)求此双曲线的实轴长、虚轴长、焦距和渐近线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 13 练 双曲线的几何性质 1、 选择题 1．已知椭圆与双曲线的公共焦点是， 点A是与的一个交点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】不妨设在第一象限，为左焦点，双曲线，根据椭圆定义和勾股定理方程组，得到，故，结合，得到离心率 【详解】由椭圆定义得， ， 由勾股定理得，即， 所以， 不妨设在第一象限，为左焦点， 则， 设双曲线，则，解得， 又，故， 故双曲线的离心率为. 故选：A 2．已知双曲线的离心率，且该双曲线的顶点是椭圆的焦点，则双曲线C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由椭圆的标准方程求出椭圆焦点，即双曲线的顶点，再结合离心率求出，即可写出方程. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 又该双曲线的顶点是椭圆的焦点， 椭圆的焦点坐标为，即， 所以该双曲线的顶点坐标为，即， 又双曲线的离心率，所以， 所以双曲线C的标准方程为. 故选：C. 3．已知双曲线，则“”是“双曲线的两条渐近线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义和双曲线的几何性质求解. 【详解】因为，故双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的两条渐近线互相垂直， 双曲线两条渐近线为. 因为双曲线的两条渐近线互相垂直，所以，化简得. 故“”是“双曲线的两条渐近线互相垂直”的充要条件． 故选：C. 4．双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，化简整理即得渐近线方程. 【详解】由双曲线，令，解得， 所以渐近线方程为. 故选：B. 5．若焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的渐近线方程得，从而可求得，最后根据离心率公式即可求解. 【详解】焦点在轴上的双曲线渐近线方程为， 已知渐近线为，因此，即， 由，代入得 离心率，则，所以. 故选：D. 6．已知双曲线的离心率是方程的一个根，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求出方程的根，继而求得双曲线的离心率，结合双曲线的标准方程及之间的关系，即可求得的值，继而求得渐近线方程. 【详解】因为，即，解得，， 所以双曲线的离心率，即， 又，所以， 所以，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 7．下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦点以及渐近线求解即可. 【详解】选项对应的双曲线焦点在轴上，排除； 选项对应的双曲线焦点在轴上且渐近线方程为； 选项对应的双曲线焦点在轴上且渐近线方程为，排除. 故选：C. 二、填空题 8．与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线方程是____________. 【答案】 【分析】根据有相同的渐近线方程设出双曲线的方程，将点代入即可求解. 【详解】因为与双曲线有相同的渐近线， 所以可设，将点的坐标代入， ，解得， 所以双曲线的方程为，即. 故答案为：. 9．过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，若，则这条直线可以是___________（写出一个即可）． 【答案】（任选一个即可）. 【分析】利用韦达定理表示弦长即可求解. 【详解】设直线方程为，， 联立得， 因为直线交双曲线于A，B两点，所以， 所以 所以， 即解得， 所以这条直线为: . 即， 故答案为: （任选一个即可）. 10．若双曲线上存在四点A，B，C，D，使四边形为正方形，则此双曲线的离心率的取值范围为______________． 【答案】 【分析】由双曲线的渐近线方程和离心率公式代入求解即可. 【详解】因为双曲线上存在四点A，B，C，D，使得四边形ABCD为正方形， 所以可知四边形对角线的方程必然过原点，且对角线方程为， 因为双曲线的渐近线方程为， 因为对角线与双曲线有交点，所以可得，即， 因为双曲线的离心率为， 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 11．过点且渐近线为的双曲线的标准方程为__________． 【答案】 【分析】根据双曲线渐近线方程设出双曲线方程，再将已知点代入方程求解. 【详解】因为双曲线的渐近线为，所以可设双曲线的方程为. 已知双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 12．已知双曲线的右焦点到渐近线的距离是其右顶点到渐近线距离的倍，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式，双曲线的性质及渐近线方程即可得解. 【详解】设双曲线的右焦点. 取渐近线方程为. 由双曲线得右顶点. 由题意得. 因为. 所以. 整理得. 所以双曲线渐近线方程为. 故答案为：. 三、解答题 13．判断直线与双曲线的公共点的个数． 【答案】2. 【分析】由直线方程与双曲线方程联立，再利用判别式判断即得. 【详解】由，可得， ∴， ∴直线与双曲线的公共点的个数为2. 14．（1）求焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程； （2）设双曲线的离心率为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，求此双曲线的方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）按照焦点位置及渐近线方程设出双曲线方程，利用焦点坐标解出即可； （2）根据离心率及抛物线焦点坐标求出，即可写出双曲线方程. 【详解】（1）因为与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为， 所以双曲线方程为； （2）因为双曲线的离心率为，所以， 因为抛物线的焦点为， 所以，所以， 所以双曲线的方程为． 15．已知双曲线与椭圆有公共焦点，它们的离心率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)求此双曲线的实轴长、虚轴长、焦距和渐近线方程． 【答案】(1) (2)实轴长4，虚轴长，焦距；渐近线方程为 【分析】（1）由椭圆方程求焦点，离心率，然后由和双曲线的离心率求双曲线方程． （2）由（1）解得双曲线的标准方程，即可解得结果. 【详解】（1）解：由知，椭圆焦点在y轴上， ，所以． 所以双曲线的离心率． 所以在双曲线中，， 所以双曲线的标准方程为． （2）解：实轴长，虚轴长，焦距； 渐近线方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $