【甘肃专用】第11练 椭圆的几何性质《数学》拓展模块（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》（拓展模块上册）第三章第11练“椭圆的几何性质”同步练习，以三阶分层（选择-填空-解答）设计实现从概念理解到综合应用的知识巩固，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知（选择）|单一知识点（焦距、离心率、标准方程）|第1题直接应用长轴短轴求焦距，强化概念记忆与抽象能力| |技能巩固（填空）|关联知识点（周长、结合圆的长轴、离心率计算）|第8题结合椭圆定义求周长，提升推理意识与运算能力| |综合应用（解答）|综合问题（轨迹方程、几何性质综合证明）|第15题轨迹问题构建模型，发展应用意识与数学表达能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 11 练 椭圆的几何性质 1、 选择题 1．一个椭圆形状的操场，长轴长为100米，短轴长为60米，则它的焦距为（    ） A．40米 B．60米 C．80米 D．100米 【答案】C 【分析】通过椭圆长轴长和短轴长求出，即可求出并得到焦距. 【详解】椭圆的长轴长，则， 短轴长，则，所以， 故焦距为：米. 故选：C. 2．已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由焦距和离心率求椭圆的标准方程. 【详解】由于2c=2，所以c=1. 又因为，故，， 所以椭圆的标准方程为：. 故选：C. 3．已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为为上一点，且的周长为12，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义与离心率可得的值，从而求得的值，即可得椭圆标准方程. 【详解】根据椭圆的定义可得 所以的周长为 又离心率，联立解得 所以，则椭圆的方程为. 故选：B. 4．焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的右焦点到短轴端点距离可得，由此确定的值，再由到左顶点的距离为3，得出，最后由的关系求出的值，即可得出椭圆方程. 【详解】因为椭圆的右焦点到短轴端点距离为2， 所以，即，则 由椭圆的右焦点到左顶点的距离为3， 所以，即，所以， 因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程是. 故选：A. 5．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先求左焦点坐标，设，坐标表示出向量，根据向量数量积的运算将的关系式代入组成二次函数，即可求解. 【详解】椭圆中， 椭圆左焦点，设，则有 ，解得， 因为， 所以， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：C. 6．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，离心率为，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆焦点坐标，离心率公式求出值即可得解. 【详解】椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，所以焦点在轴且， 因为离心率为，则，解得， 则， 所以椭圆的标准方程是． 故选：. 7．设分别是椭圆的左右焦点，A是椭圆与y轴正半轴的交点，线段的中点在直线上，该椭圆上的一点P满足，若的周长为，则    （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，性质，结合中点坐标公式，两点间距离公式即可求解. 【详解】由椭圆的定义可得，，的周长为，所以， 因为，所以. 在椭圆中，，因为A是椭圆与y轴正半轴的交点，则设， 则，所以，解得. 因为中点，又线段的中点在直线上，所以，即， 则，解得. 故选：B.    二、填空题 8．已知椭圆的焦点分别为，，，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，则的周长为__________． 【答案】20 【分析】根据椭圆的定义、离心率和系数关系求解. 【详解】如图，由椭圆定义知的周长为， 又因为，即， 所以， 所以， 故的周长为. 故答案为：20. 9．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的直径，则椭圆的标准方程是____________. 【答案】 【分析】根据圆的方程得到半径，再结合题干条件列出等式，求解得到的值，进而求得椭圆方程. 【详解】圆方程可整理为：， 圆的半径为， ，解得：， ， 椭圆的标准方程为：. 故答案为：. 10．椭圆 的离心率 ______. 【答案】 【分析】根据椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】椭圆 中，所以， 所以，进而. 故答案为：. 11．若椭圆的离心率，短轴长为，则长轴长为________________________. 【答案】6 【分析】利用椭圆的长轴长、短轴长和离心率之间的关系求解.. 【详解】由题意，椭圆短轴长，则， 又因，得，又，即， 解得，故长轴长. 故答案为：6. 12．已知椭圆的离心率等于，则实数_________． 【答案】1或16 【分析】根据椭圆焦点位置的不同进行分类讨论，再结合椭圆的离心率公式求解的值. 【详解】当焦点在轴上时：此时，（），可得， 已知离心率，，则，解得； 当焦点在轴上时：此时（），，可得， 已知离心率，，则，解得， 综上，的值为或. 故答案为：或. 三、解答题 13．如图所示，已知椭圆的短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．    (1)求椭圆的离心率； (2)若椭圆经过点，求椭圆的标准方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据椭圆方程，得到顶点坐标，再根据正三角形的性质，得到的关系，即可求得离心率. （2）根据点的坐标，得到，即可求得标准方程. 【详解】（1）    ∵短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形， 而椭圆与正半轴的交点坐标A为，与正半轴的交点B坐标为， 故. ，即， ∴． （2）∵椭圆经过点，∴，， ∴椭圆的标准方程为． 14．中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 【答案】 【分析】根据椭圆的性质即可求解. 【详解】由一个焦点为可得，椭圆的焦点在x轴上， 设椭圆方程为，，， 则，解得，所以椭圆方程为：． 15．在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. (1)求的方程. (2)直线 与C交于两点（点不重合）. ①求的取值范围； ②若，求. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据点，点的坐标确定中点的轨迹方程即可； （2）①利用直线与椭圆的位置关系求解参数；②利用弦长公式联立方程组求解即可； 【详解】（1） 设，则， 又点在圆上，所以， 所以，所以的方程为； （2）①联立，可得， 因为直线与交于两点（点不重合）， 所以，解得， 所以的取值范围为； ②当时，，解得， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第三章 圆锥曲线 第 11 练 椭圆的几何性质 1、 选择题 1．一个椭圆形状的操场，长轴长为100米，短轴长为60米，则它的焦距为（    ） A．40米 B．60米 C．80米 D．100米 2．已知椭圆的焦距为2，离心率，则椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的离心率，左､右焦点分别为为上一点，且的周长为12，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 5．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 6．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，离心率为，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 7．设分别是椭圆的左右焦点，A是椭圆与y轴正半轴的交点，线段的中点在直线上，该椭圆上的一点P满足，若的周长为，则    （       ） A． B． C． D．   二、填空题 8．已知椭圆的焦点分别为，，，离心率为，过的直线交椭圆于、两点，则的周长为__________． 9．已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆的直径，则椭圆的标准方程是____________. 10．椭圆 的离心率 ______. 11．若椭圆的离心率，短轴长为，则长轴长为________________________. 12．已知椭圆的离心率等于，则实数_________． 三、解答题 13．如图所示，已知椭圆的短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．    (1)求椭圆的离心率； (2)若椭圆经过点，求椭圆的标准方程． 14．中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 15．在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. (1)求的方程. (2)直线 与C交于两点（点不重合）. ①求的取值范围； ②若，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $