【甘肃专用】第9练 平面向量测验《数学》拓展模块（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学平面向量同步练，以基础巩固为核心，通过基础题-中档题-提升题三阶设计，实现从单一知识点到综合应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|向量基本概念与运算|选择题1-5直接对应课堂知识点，如平行四边形向量关系、垂直判定| |中档|概念辨析与简单综合|填空题8-12强化易错点，如单位向量坐标、平行条件| |提升|多知识点综合应用|解答题14结合坐标运算与最值问题，发展数学思维|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 9 练 平面向量测验 1、 选择题 1．如图，在平行四边形中，（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．下列各组向量中互相平行的是（   ） A． B． C． D． 4．已知向量与互相垂直，则（   ） A． B． C．3 D．6 5．已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．已知是边长为的正三角形，动点满足，且.若为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．设是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 8．有下列说法： ①向量和的长度相等； ②； ③“”的充要条件是“”． 其中，正确的说法是______．（填序号） 9．已知，单位向量与同向，求向量的坐标___________. 10．已知向量，则_________． 11．已知向量，，且，则实数______. 12．已知是△的边的中点，，，则______；______ 三、解答题 13．平面内给定三个向量，，. (1)求； (2)求； (3)若，求实数k. 14．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，． (1)求及在上的投影向量； (2)证明A，B，C三点共线，且当时，求λ的值； (3)求的最小值． 15．化简下列各式： (1). (2). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 9 练 平面向量测验 1、 选择题 1．如图，在平行四边形中，（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由向量加法的平行四边形法则即可求解. 由向量加法的平行四边形法则得，． 故选：D. 2．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的坐标，再根据投影向量的定义求解. 【详解】因为，，所以， 所以在方向上的投影向量， 故选：A 3．下列各组向量中互相平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行的坐标表示，即可代入判断求解． 【详解】因为， 又， 所以，故选项A符合题意； 因为， 又， 所以不平行，故选项B不符合题意； 因为， 又， 所以不平行，故选项C不符合题意； 因为， 又， 所以不平行，故选项D不符合题意； 故选：A． 4．已知向量与互相垂直，则（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据向量垂直则，列出方程即可得解. 【详解】向量与互相垂直，所以， 则，解得， 故选：. 5．已知平行四边形满足，，，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标为，求出，再根据向量相等的坐标表示列出方程，即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为，. 因为是平行四边形，所以， 即，解得，所以点的坐标为. 故选：A 6．已知是边长为的正三角形，动点满足，且.若为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，根据平面向量共线定理的推论可得、、三点共线，由正三角形的性质可得且，即可得到当是的中点取得最小值. 【详解】如图取的中点，连接，则， 因为，所以，又， 所以、、三点共线，即在直线上， 因为是边长为的正三角形，所以且， 又为的中点，所以当是的中点时且，则， 此时取得最小值，即的最小值为.    故选：B 7．设是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据向量内积公式以及充分、必要条件求解即可. 【详解】由数量积定义知（为夹角）， 解得，所以，所以； 反之，当时，则的夹角或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题 8．有下列说法： ①向量和的长度相等； ②； ③“”的充要条件是“”． 其中，正确的说法是______．（填序号） 【答案】① 【分析】根据相等向量，零向量和相反向量的概念结合充要条件的判别方法逐个分析即可. 【详解】已知向量和为相反向量，所以和长度相等方向相反，故①正确， 是向量，0是标量，所以，故②错误， 若，则有，即能推出， 若，则与不一定相等，方向有可能不同，即不能推出， 所以”是“的充分不必要条件.故③错误. 所以正确的只有①. 故答案为：①. 9．已知，单位向量与同向，求向量的坐标___________. 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示及单位向量的定义计算即可. 【详解】由题意可设，则，即. 故答案为：. 10．已知向量，则_________． 【答案】0 【分析】根据向量坐标运算法则直接计算即可. 【详解】因为向量， 所以，所以. 故答案为：0 11．已知向量，，且，则实数______. 【答案】 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算法则求出，代入平面向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】向量，，则， 因为，则，解得， 故答案为：. 12．已知是△的边的中点，，，则______；______ 【答案】 3 /-0.75 【分析】利用数量积的定义可得，利用向量的线性表示及数量积的运算即得. 【详解】∵，， ∴， 又是△的边的中点， ∴， ∴. 故答案为：3；. 三、解答题 13．平面内给定三个向量，，. (1)求； (2)求； (3)若，求实数k. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合向量的坐标运算可得，结合向量夹角公式求解； （2）根据向量的坐标运算可得，结合模长公式运算求解； （3）根据题意向量的坐标运算可得，结合向量垂直的坐标运算求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，所以. （3）因为， 若，则，解得. 14．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，． (1)求及在上的投影向量； (2)证明A，B，C三点共线，且当时，求λ的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8， (2)证明见解析，. (3) 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算法则和投影向量的计算公式，计算可得； （2）根据平面向量的共线定理，证明，即可说明，，三点共线，再结合，求得的值； （3）易知，根据模长公式，将表示成关于的二次函数，由二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）解：因为，， 所以，，， 所以在上的投影为， 所以在上的投影向量为． （2）证明：因为，，， 因为，所以且， 所以， 即，所以，又有公共点， 所以，，三点共线， 因为， 所以，即． （3）解：因为， 所以，其中且， 当时，取得最小值，即，所以的最小值为． 15．化简下列各式： (1). (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量加法的交换律、结合律及向量相反向量的性质，即可解得. （2）根据向量数乘的分配律展开并合并同类项，即可解得. 【详解】（1）. （2）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $