【甘肃专用】第7练 向量的内积《数学》拓展模块（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学《一课一练》向量的内积同步练，以三阶分层设计（基础认知-技能应用-综合拓展）构建从概念理解到实际应用的巩固路径，适配中职教学“基础+适度提升”需求，培养抽象能力与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|内积定义及简单计算|以直接计算题（如选择1-3、填空8-9）巩固概念，降低学习门槛| |技能应用层|内积性质与夹角计算|通过辨析题（如选择4-5）提升推理意识，强化运算能力| |综合拓展层|几何投影与实际问题|结合作图说明（解答14）与综合情境（解答15）发展几何直观与创新意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 7 练 向量的内积 1、 选择题 1．已知向量，，则等于（    ） A． B．6 C． D．18 2．已知，，且，则向量与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 3．已知 ，，， 则 （    ） A． B． C． D． 4．向量 与 是表示不同的非零向量，则下列命题为真命题的是（    ） A． 表示一个向量 B． 表示一个实数 C． D．越大，也越大 5．下面给出的关系式中正确的个数是（    ） ① ；②；③；④；⑤. A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 二、填空题 8．已知向量满足，则____________． 9．已知满足，则的形状一定是______． 10．已知，且向量与的夹角为，则______，_________． 11．若向量满足，则______． 12．已知向量，满足，，，则__________. 三、解答题 13．已知与的夹角为. (1)若，求； (2)若与垂直，求. 14．作图说明,如果向量在向量上的投影为 ，则. 15．已知D为等边所在平面内的一点，，且线段BC上存在点E，使得． (1)试确定点E的位置，并说明理由； (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 7 练 向量的内积 1、 选择题 1．已知向量，，则等于（    ） A． B．6 C． D．18 【答案】C 【分析】根据向量的内积公式易得答案. 【详解】因为向量，，所以，且， 则. 故选:C. 2．已知，，且，则向量与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的数量积即可得出答案. 【详解】由题意得，， ， 又因为，所以. 故选：C. 3．已知 ，，， 则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的夹角公式可求解. 【详解】由题可得， ，且, 所以. 故选 ：A 4．向量 与 是表示不同的非零向量，则下列命题为真命题的是（    ） A． 表示一个向量 B． 表示一个实数 C． D．越大，也越大 【答案】B 【分析】根据向量内积的概念和运算律即可解得. 【详解】选项AB：表示为一个数，A错误B正确. 选项C：，当且仅当或时成立，错误. 选项D：，越大，越小，越小，错误. 故选：B 5．下面给出的关系式中正确的个数是（    ） ① ；②；③；④；⑤. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量的内积与数量积的定义及其运算，即可判断. 【详解】根据向量的内积和数量积的运算，或，故错误； 根据向量内积的运算律，，故正确； ，故正确； 因为的结果是与共线的向量，而的结果是与共线的向量，故错误； 因为，又， 所以当与夹角为钝角或平角时，，此时，故错误； 所以正确的关系式有2个. 故选：C. 6．已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的数量积运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：B. 7．若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】首先根据向量相等判断四边形为平行四边形，再根据投影为零得到对角线互相垂直，即可判断； 【详解】解：因为，所以，所以平面四边形为平行四边形， 又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形； 故选：C 二、填空题 8．已知向量满足，则____________． 【答案】5 【分析】根据向量的内积定义和运算律计算即可. 【详解】已知向量满足， 则， 即，解得或（舍去）， 所以． 故答案为：5. 9．已知满足，则的形状一定是______． 【答案】直角三角形. 【分析】利用向量加法、减法和数量积的运算化简已知条件，得到，由此判断三角形是直角三角形. 【详解】由，得， 所以， 所以， 所以， ，即， 是直角三角形， 故答案为：直角三角形. 10．已知，且向量与的夹角为，则______，_________． 【答案】 【分析】根据向量的数量积公式即可求得. 【详解】因为，则，， 所以， 则， . 故答案为：，. 11．若向量满足，则______． 【答案】 【分析】先由向量垂直得出，再利用模长公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 12．已知向量，满足，，，则__________. 【答案】 【详解】因为可得， 又，得． 因为，所以，即，解得． 三、解答题 13．已知与的夹角为. (1)若，求； (2)若与垂直，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量内积的定义求值即可. （2）根据向量垂直的条件列方程求解即可. 【详解】（1），或，又， . （2）与垂直，， ，即， ， 又 14．作图说明,如果向量在向量上的投影为 ，则. 【答案】见解析 【分析】作出图象，再根据向量的数量积的几何意义解答. 【详解】解:设,过A作,则,与同向的单位向量为.    则, 即. 【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义，属于基础题. 15．已知D为等边所在平面内的一点，，且线段BC上存在点E，使得． (1)试确定点E的位置，并说明理由； (2)求的值． 【答案】(1)E为靠近点B的一个三等分点，理由见解析 (2) 【分析】（1）用平面向量的线性关系找出点所在的位置；（2）用向量分别表示出向量利用向量数量积公式计算. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 从而， 故点E为靠近点B的一个三等分点． （2）因为， 所以， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $