【甘肃专用】第5练 向量的线性运算（1）《数学》拓展模块（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》平面向量同步练，以三阶分层设计（基础-中档-提升）实现从概念理解到综合应用的知识巩固，通过几何直观与逻辑推理培养数学眼光与思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|向量线性运算定义、中点公式|直接应用概念（如中点向量关系），强化抽象能力| |中档层|共线向量、图形中向量表示|结合三角形/平行四边形情境（如D为BC中点），培养推理意识| |提升层|综合应用与证明|含最小值问题（正方形中点）及证明题（平行四边形性质），发展模型意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 5 练 向量的线性运算（1） 1、 选择题 1．已知在中，点在边上，且，则（    ） A． B． C． D．   2．已知向量，对平面内的任意一点O，都有等于（    ） A． B． C． D． 3．（ ） A． B． C． D． 4．在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 6．如图，平行四边形中，，设，则（ ） A． B． C． D． 7．在边长为1正方形中，E为上的任意一点，F为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若C是线段AB的中点，则＋＝________. 9．在直角中，斜边，则___________. 10．在等边△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，写出一个与向量垂直的向量：______．（用字母作答） 11．已知向量不共线，且，则___________. 12．已知、、分别是的边、、的中点，且，，，则下列各式：①；②；③；④其中正确的序号为______. 三、解答题 13．如图所示，在中，点为的三等分点（靠近点），且，，请用，表示． 14．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点，E为BC中点，用向量方法证明且． 15．如图，在中，，记，，用和表示. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 5 练 向量的线性运算（1） 1、 选择题 1．已知在中，点在边上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】在中，，又点在边上，且， 则， 故选：A.    2．已知向量，对平面内的任意一点O，都有等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的三角形法则即可求解. 【详解】根据向量的三角形法则， 向量的加法：首尾相连首尾连，方向指向末向量， 则有 A选项，，故不正确； B选项，，故不正确； C选项，，故不正确； D选项，，故正确. 故选：D 3．（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量加减运算法则及运算律即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：B. 4．在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知可推得，.然后根据，即可得出答案. 【详解】 因为D为BC的中点，所以. 又因为，，所以. 所以，. 故选：A. 5．设向量，是两个不共线的单位向量，，，，则（ ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线的基本定理依次判断求解. 对于A，若A，B，C三点共线，则，， 即，则，此时无解，故A错误； 对于B，若A，B，D三点共线，则，， 而，即， 则，解得，故B正确； 对于C，若A，C，D三点共线，则，， 而，即， 则，此时无解，故C错误； 对于D，若B，C，D三点共线，则，， 即，则，此时无解，故D错误. 6．如图，平行四边形中，，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件,将所求据图变形,即可得出结果. 【详解】 ． 故选:B． 7．在边长为1正方形中，E为上的任意一点，F为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的运算,模的定义,全等三角形,勾股定理即可得解. 【详解】 根据向量的运算与向量模的定义可知: =. 如图所示,延长到点,使,则， 即三点共线时值最小. 因为. 所以,. 所以. 在直角中,. 所以的最小值为. 故选:. 二、填空题 8．若C是线段AB的中点，则＋＝________. 【答案】 【分析】根据相反向量的加法可求解. 【详解】∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB. ∴与方向相反，模相等．∴. 故答案为： 9．在直角中，斜边，则___________. 【答案】16 【分析】利用相反向量和向量的加法法则即可求解. 【详解】 故答案为：16 10．在等边△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，写出一个与向量垂直的向量：______．（用字母作答） 【答案】  （答案不唯一） 【分析】先计算出，从而可判断与其垂直的向量. 【详解】如图，连接， ， 因为为等边三角形，D为中点，故， 所以与向量垂直的向量有（答案不唯一，，，，，，，也可以）． 故答案为：（答案不唯一）. 11．已知向量不共线，且，则___________. 【答案】 【分析】根据平面向量共线定理即可求解. 【详解】因为向量不共线，且， 所以有， 则，即，解得， 故答案为：. 12．已知、、分别是的边、、的中点，且，，，则下列各式：①；②；③；④其中正确的序号为______. 【答案】 【分析】根据平面向量的线性运算与基本定理即可得解. 【详解】 ①：由题，故①错误. ②：由题，故②正确. ③：由题，故③正确. ④：由题，故④正确. 故答案为：②③④ 三、解答题 13．如图所示，在中，点为的三等分点（靠近点），且，，请用，表示． 【答案】 【分析】利用向量线性运算即可求解. 【详解】由图可知，， 因为点为的三等分点（靠近点）， 所以， . 因为，， 所以. 14．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点，E为BC中点，用向量方法证明且． 【答案】证明见解析 【分析】根据几何图形，转化向量，证明. 【详解】证明：如图，因为O、E分别BD、BC的中点， 故． 所以且． 15．如图，在中，，记，，用和表示. 【答案】 【分析】先根据线段比例关系和向量的加法法则，得到，，再根据向量的加法法则求解即可. 【详解】因为，所以，， ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $