【甘肃专用】第4练 向量的概念《数学》拓展模块（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学《一课一练》向量的概念同步练，以三阶分层设计实现从概念辨析到图形应用的递进，通过选择、填空、解答题梯度训练巩固基础，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念（单位向量、共线向量等）|选择题辨析基础考点，如单位向量性质判断| |巩固层|概念深化（命题判断、条件关系）|填空题强化理解，如向量命题真伪辨析| |应用层|综合应用（图形中向量关系）|解答题结合图形，如正六边形中相等/共线向量识别|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 4 练 向量的概念 1、 选择题 1．下列命题正确的是（ ） A．单位向量都相等 B．模为0的向量与任意非零向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等 2．已知两个非零向量与共线，下列说法不正确的是（　　） A．或 B．与平行 C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得 3．已知四边形满足且，则四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 4．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．下列命题中正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若， 则A、B、C、D四点构成平行四边形 C．若，且，则 D．与是两平行向量 6．下面四个命题是平面向量，共线的充要条件的是（  ） A．存在一个实数， B．，两向量中至少有一个为零向量 C．，方向相同成相反 D．存在不全为零的实数入λ，μ， 7．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 二、填空题 8．下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果非零向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有______个. 9．向量的有关概念 名称 定义 说明 向量 在数学中，我们把既有___又有___的量叫做向量 平面向量是自由向量 有向 线段 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 向量 的模 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作|| 向量的模是数量 零向量 长度为____的向量叫做零向量，记作0 单位向量 长度等于_______的向量，叫做单位向量 a是非零向量，则±是单位向量 平行向 量（共线 向量） 方向________的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量 规定：零向量与任意向量平行 相等 向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小 相反 向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0 10．已知向量，，则“”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）． 11．如图所示，在菱形中，，则下列说法中正确的是______（填序号）． ①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身） ②图中所标出的向量中与的模相等的向量有5个（不含本身） ③的长度恰为长度的倍 ④与不共线 12．给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是___________． 三、解答题 13．如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?    14．如图所示，已知正六边形. (1)写出的相等向量； (2)写出的相反向量； (3)写出的共线向量. 15．如图，点O是正六边形的中心，写出：    (1)与相等的向量； (2)的相反向量； (3)与共线的向量． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》拓展模块上册（高教版第三版） 第二章 平面向量 第 4 练 向量的概念 1、 选择题 1．下列命题正确的是（ ） A．单位向量都相等 B．模为0的向量与任意非零向量共线 C．平行向量不一定是共线向量 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】B 【分析】根据向量的基本定义判断即可. 【详解】对A，单位向量模长相等方向不一定一致，故A错误； 对B，零向量与任意非零向量共线，故B正确； 对C，平行向量即共线向量，故C错误； 对D，零向量与它的相反向量相等，故D错误． 故选：B 2．已知两个非零向量与共线，下列说法不正确的是（　　） A．或 B．与平行 C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得 【答案】A 【分析】根据共线向量的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果. 【详解】∵非零向量与共线， A、，，故A错误； B、∵向量与共线，∴向量与平行，故B正确； C、∵向量与共线，∴与方向相同或相反，故C正确； D、∵非零向量与共线，∴存在实数，使得，故D正确． 故选:A． 3．已知四边形满足且，则四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据相等向量的概念可得四边形为平行四边形，进而由矩形的特征判断. 【详解】∵四边形满足， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 故选：B. 4．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据向量的概念判断即可. 【详解】即有大小又有方向的量为向量， 所以是向量的有②速度；③位移；④力；⑤加速度； 只有大小没有方向的量为数量， 所以是数量的有①质量；⑥路程；⑦密度， 所以向量有4个. 故选：C. 5．下列命题中正确的是（    ） A．若、都是单位向量，则 B．若， 则A、B、C、D四点构成平行四边形 C．若，且，则 D．与是两平行向量 【答案】D 【分析】根据向量相关概念即可选出正确答案. 【详解】选项A：相等向量需满足长度相等，方向相同，单位向量方向可以不同，故不一定成立； 选项B：A、B、C、D四点可能共线，不能组成四边形，故B选项不一定成立； 选项C：当时，、为任意向量，故C选项不一定成立； 选项D：相反向量是一对平行向量，故D选项正确. 故选：D. 6．下面四个命题是平面向量，共线的充要条件的是（  ） A．存在一个实数， B．，两向量中至少有一个为零向量 C．，方向相同成相反 D．存在不全为零的实数入λ，μ， 【答案】D 【分析】利用共线向量与零向量的定义结合条件的充分性必要性可判断 【详解】A选项，若，为非零向量，，共线，不满足，故A选项错误； B选项，若其中一个为则，共线，但，共线，，可能都是非零向量，故B选项错误； C选项，若，，共线，但是零向量方向任意，故C选项错误； D选项，存在不全为零的实数λ，μ，可得，共线，反之若，共线，则存在不全为零的实数λ，μ，，故D选项正确； 故选：D. 7．下列说法错误的是（   ） A．若向量与都是单位向量，则 B．零向量与任意向量都共线 C．两个共线向量一定平行 D．相等向量一定共线 【答案】A 【分析】根据单位向量、零向量、共线向量以及相等向量的定义求解即可. 【详解】选项A.向量与都是单位向量，则它们的模都为1，但它们的方向可能不同，错误. 选项B.零向量与任意向量都共线，正确. 选项C.两个共线向量一定平行，正确. 选项D.相等向量一定共线. 故选：A. 二、填空题 8．下列五个命题： ①向量与共线，则必在同一条直线上； ②如果非零向量与平行，则与方向相同或相反； ③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是； ④若，则、的长度相等且方向相同或相反； ⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行. 其中正确的命题有______个. 【答案】1 【分析】利用向量共线可判断①②③；利用相等向量可判断④；利用零向量与任何向量共线可判断⑤. 【详解】对于①，向量与共线，则直线与直线可能平行，故①错； 对于②，根据共线向量的定义可知，②正确； 对于③，若，则四点可能共线，故③错； 对于④，若，只能说明，的长度相等但确定不了方向，故④错； 对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错. ∴正确的命题有1个. 故答案为：1. 9．向量的有关概念 名称 定义 说明 向量 在数学中，我们把既有___又有___的量叫做向量 平面向量是自由向量 有向 线段 具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a，b，c，…表示 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度 向量 的模 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作|| 向量的模是数量 零向量 长度为____的向量叫做零向量，记作0 单位向量 长度等于_______的向量，叫做单位向量 a是非零向量，则±是单位向量 平行向 量（共线 向量） 方向________的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量 规定：零向量与任意向量平行 相等 向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小 相反 向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a 0的相反向量仍是0 【答案】 大小 方向 0 1个单位长度 相同或相反 【分析】根据向量的有关概念填空即可. 【详解】由向量的定义知：①大小，②方向，③0，④1个单位长度，⑤相同或相反. 10．已知向量，，则“”是“”的________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）． 【答案】充分不必要 【分析】根据向量的相关性质结合充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则，充分性成立， 若，则不一定，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要. 11．如图所示，在菱形中，，则下列说法中正确的是______（填序号）． ①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身） ②图中所标出的向量中与的模相等的向量有5个（不含本身） ③的长度恰为长度的倍 ④与不共线 【答案】①②③ 【分析】根据向量相等、共线以及向量的模的定义进行分析求解. 【详解】在菱形中，，且方向相同，，且其他向量与向量不平行，故①正确； 又，是正三角形，，故②正确； 由平面几何知，故③正确； 因为，所以与共线，故④不正确． 故答案为：①②③. 12．给出下列命题： ①若 ，则； ②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ④向量与是共线向量，则四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是___________． 【答案】③ 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量的概念判断即可. 【详解】若，则①不成立，故①错误； 起点相同的单位向量，终点未必相同，故②错误； 对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的， 故只要方向相同且模相等向量是相等向量，故③正确； 共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可， 并不要求两个向量与必须在同一直线上，故④错误； 故正确命题的序号是③. 故答案为：③. 三、解答题 13．如图，EF，CH将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度).在以图中各点为端点的所有向量中，除向量外，与平行的向量有哪些?与平行且是单位向量的有哪些?    【答案】答案见解析 【分析】结合图形，由平行向量的定义及单位向量的定义即可得出结论. 【详解】根据平行向量的定义，由图可知， 与平行的向量有：，，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 其中的单位向量有：，，， ， ， ， ， ， ， ， . 14．如图所示，已知正六边形. (1)写出的相等向量； (2)写出的相反向量； (3)写出的共线向量. 【答案】(1)、、 (2)、、、 (3)、、、、、、、、 【分析】根据平面向量的相等、相反、共线的定义，观察图形得到答案. 【详解】（1）两向量相等，则长度、方向都相同， 结合定义，观察图形可得： 的相等向量：、、； （2）两向量相反则长度相同，方向相同， 结合定义，观察图形可得： 的相反向量：、、、； （3）两向量共线则两向量相互平行， 结合定义，观察图形可得： 的共线向量：、、、、、、、、. 15．如图，点O是正六边形的中心，写出：    (1)与相等的向量； (2)的相反向量； (3)与共线的向量． 【答案】(1) (2) (3),, 【分析】（1）利用相等向量的定义即可求解. （2）利用相反向量的定义即可求解. （3）利用共线向量的定义即可求解. 【详解】（1）因为点O是正六边形的中心， 所以有：,且与方向相同 所以与相等的向量为: . （2）因为点O是正六边形的中心， 所以有: ,且与方向相反, 所以的相反向量为: . （3）因为点O是正六边形的中心, 所以与方向相同，与方向相反, 所以与共线的向量为: ,,. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $