专题07 数列（1年汇编）（全国通用）2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 数列专题高考真题与模拟题汇编，覆盖等差、等比、递推求和及新定义，结合“一百零八塔”等传统文化情境，注重数学建模与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|等差数列定义（上海卷）、等比数列性质（新课标全国Ⅰ卷）|结合实际情境，如“一百零八塔”建筑格局考查等差数列求和| |多选题|4|数列单调性（山东烟台二模）、新定义“美好成长”（黑龙江模拟）|逻辑推理与分类讨论，如等比数列公比范围反推| |填空题|3|递推公式求通项（湖南湘潭二模）、等差等比实际应用（陕西西安模拟）|运算求解与转化思想，如错位相减法严谨性考查| |解答题|5|新定义数阵（北京卷）、数列与不等式综合（湖南湘潭三模）|高阶思维能力，如“0-1数阵”性质探究考查抽象思维|

专题07 数列 考点分类 2026年高考命题解读 创新考法 考点01 等差数列 基础性与实际应用并重。试题既考查了等差数列的基本定义和通项公式（如上海卷），也结合了实际情境（如新课标全国Ⅰ卷的“一百零八塔”）。重点在于利用前n项和公式与通项公式建立方程求解公差或项数。 传统文化与数学建模结合： 如新课标全国Ⅰ卷第2题，以宁夏“一百零八塔”的建筑格局为背景。这要求考生能从文字描述中提取“等差数列”模型，利用求和公式计算行数或项数，考查了数学建模素养。 考点02 等比数列 强调逻辑推理与参数范围。试题不再局限于单一的求通项或求和，而是考查了等比数列的性质（如公比对单调性的影响）以及前n项和的符号特征。重点在于利用不等式或方程求解公比的取值范围。 逻辑推理与分类讨论的深度结合： 如新课标全国Ⅰ卷第1题，已知前n项和的符号特征（ Sn>0），反推公比 q 的取值范围。这需要考生分 q=1、 q≠1 等多种情况讨论，并利用不等式性质推导，对逻辑严密性要求极高。 考点03 数列的递推公式与求和 突出“运算求解”与“转化思想”。试题涵盖了由递推公式求通项（如天津卷）、数列极限的逻辑判断（如北京卷）。难点在于利用“累加法”、“错位相减法”或“分组求和法”进行复杂运算。 极限概念与逻辑条件的融合： 1. 错位相减法的严谨性（天津卷）：第3题考查了等差乘等比型数列的求和，要求考生熟练掌握错位相减法的步骤，避免运算失误。 2. 极限存在的充要条件（北京卷）：第2题将数列极限与常数列结合，打破了纯计算的模式，考查了对极限概念的理解。 考点04 数列新定义 考查“抽象思维”与“探究能力”。试题以“数阵”或“新性质”为载体（如北京卷），考查学生现场学习和应用新规则的能力。这通常是试卷的压轴题，难度较大。 数阵规律与组合逻辑的综合： 如北京卷，定义了具有特定性质的“0-1数阵”。这要求考生利用“行列式”或“组合数学”的思想，分析行与列之间的符号关系（如乘积为1或-1），并推导出元素个数的最值。这种考法极具创新性，考查了高阶思维能力。 考点01 等差数列 1．（2026·上海卷·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 2．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3.（2026·北京卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 4．（2026·上海卷·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 考点02 等比数列 1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 2．（2026·上海卷·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 考点03 数列的递推公式与求和 1．（2026·天津卷·高考真题）已知，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 2．（2026·北京卷·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·天津卷·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 考点04 数列中的新定义 1．（2026·北京卷·高考真题）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质． (1)判断下列两个数表是否具有性质． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)在所有具有性质的数阵中，的个数最多是多少？ (3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有． 一、单选题 1．（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江嘉兴·二模）数列满足，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．（2026·山东烟台·二模）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 5．（2026·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知数列且满足，令，则数列的前项和为（　　） A． B． C． D． 7．（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．（2026·河南开封·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为14 10．（2026·福建三明·模拟预测）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 11．（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D． 12．（2026·黑龙江·模拟预测）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 三、填空题 13．（2026·湖南湘潭·二模）数列满足，，则数列的前8项和______. 14．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 15．（2026·北京丰台·三模）《九章算术・均输篇》记录了古代物资统筹核算算法，现如今借鉴这一统筹思路，某地乡村振兴落地光伏储能惠民工程，分年度分批采购储能光伏组件.项目采购方案规定：每年新增采购的组件箱数构成等差数列，项目第一年采购 16 箱，往后每一年都比上一年多采购 3 箱；受原材料价格浮动影响，组件单箱采购市价逐年成等比数列，首年定价 4 元，价格每年变为原来的 3 倍.项目财务制度约定，前年所有入库储存的组件，不在每年分次结账，统一留存至第年年末，按照当期最新市场单价一次性核算全部货款.则项目运行满 4 年时，结算总货款为______元；运行年末核算总货款的最简代数式为______ 四、解答题 16．（2026·宁夏吴忠·三模）已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 18．（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 19．（2026·湖南湘潭·三模）已知数列和满足． (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求的取值范围； (3)设，若，证明：． 20．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 试卷第1页，共3页 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列 考点分类 2026年高考命题解读 创新考法 考点01 等差数列 基础性与实际应用并重。试题既考查了等差数列的基本定义和通项公式（如上海卷），也结合了实际情境（如新课标全国Ⅰ卷的“一百零八塔”）。重点在于利用前n项和公式与通项公式建立方程求解公差或项数。 传统文化与数学建模结合： 如新课标全国Ⅰ卷第2题，以宁夏“一百零八塔”的建筑格局为背景。这要求考生能从文字描述中提取“等差数列”模型，利用求和公式计算行数或项数，考查了数学建模素养。 考点02 等比数列 强调逻辑推理与参数范围。试题不再局限于单一的求通项或求和，而是考查了等比数列的性质（如公比对单调性的影响）以及前n项和的符号特征。重点在于利用不等式或方程求解公比的取值范围。 逻辑推理与分类讨论的深度结合： 如新课标全国Ⅰ卷第1题，已知前n项和的符号特征（ Sn>0），反推公比 q 的取值范围。这需要考生分 q=1、 q≠1 等多种情况讨论，并利用不等式性质推导，对逻辑严密性要求极高。 考点03 数列的递推公式与求和 突出“运算求解”与“转化思想”。试题涵盖了由递推公式求通项（如天津卷）、数列极限的逻辑判断（如北京卷）。难点在于利用“累加法”、“错位相减法”或“分组求和法”进行复杂运算。 极限概念与逻辑条件的融合： 1. 错位相减法的严谨性（天津卷）：第3题考查了等差乘等比型数列的求和，要求考生熟练掌握错位相减法的步骤，避免运算失误。 2. 极限存在的充要条件（北京卷）：第2题将数列极限与常数列结合，打破了纯计算的模式，考查了对极限概念的理解。 考点04 数列新定义 考查“抽象思维”与“探究能力”。试题以“数阵”或“新性质”为载体（如北京卷），考查学生现场学习和应用新规则的能力。这通常是试卷的压轴题，难度较大。 数阵规律与组合逻辑的综合： 如北京卷，定义了具有特定性质的“0-1数阵”。这要求考生利用“行列式”或“组合数学”的思想，分析行与列之间的符号关系（如乘积为1或-1），并推导出元素个数的最值。这种考法极具创新性，考查了高阶思维能力。 考点01 等差数列 1．（2026·上海卷·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 【答案】C 【分析】设该数列为，由题可得，其中为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断. 【详解】设该数列为，则该数列满足，其中. 则，因为常数，该式对任意正整数成立，则， 从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意. 故选：C 2．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可. 【详解】由已知，，，，， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 3.（2026·北京卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【分析】利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，通项公式为. ∵ ，， ∴ . 由，得， 消去等式两侧的，整理得，解得. ∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立， ∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ， 代入通项公式得，解得， 取即为符合条件的一个取值. 4．（2026·上海卷·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解. 【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出， 且，是单调递增的，所以必须满足， 所以，所以. 考点02 等比数列 1．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 【答案】 【分析】由前项和公式推出每连续三项的和. 将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值. 【详解】令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为. 2．（2026·上海卷·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【详解】设数列的公比为，则，则. 考点03 数列的递推公式与求和 1．（2026·天津卷·高考真题）已知，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 2．（2026·北京卷·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论. 【详解】由题意， ，是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性： 当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 3．（2026·天津卷·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 考点04 数列中的新定义 1．（2026·北京卷·高考真题）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质． (1)判断下列两个数表是否具有性质． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)在所有具有性质的数阵中，的个数最多是多少？ (3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有． 【答案】(1)数表不具有性质，数表具有性质； (2) (3)性质中的四个数都属于，且四个数的和为，所以其中恰有两个和两个． 因此，对任意满足性质下标条件的四个位置，都有①， 对，，令 先取行距为、列距为的矩形． 由①，对及，有 由于，所以②， 下面比较第行与第行的值． 对，取第、行和第、列． 此时行距为，列距为，由①得 由②知，故③， 令 则由③得，所以 再取第、行和第、列． 此时行距为，列距为，由①得即 由于且，所以． 从而④， 同理，取第、行和相距的两列，再取第、行和相距的两列，可得⑤， 结合②、④、⑤，可知对于每个，都有⑥， 当时，由，显然有 当时，由⑥，由中间因子均成对出现，且，有 再由⑥， 两边同乘，并利用，得 命题得证． 【分析】（1）性质的下标约束条件，选取符合要求的四元组代入验证，若存在不满足和为0的组合则不具有性质，反之则具有性质. （2）由性质的和约束推导行列符号的等价乘积约束，确定每行1的最大可行数量，结合行之间的符号交替规律计算总1的个数的上界，构造符合条件的实例证明上界可达. （3）利用性质的乘积等价性质，结合的初始条件，先验证差为2的下标组合，再通过递推推广到所有下标，完成证明. 【详解】（1）对于，只有两行，所以行距只能为． 要满足|行距列距|，列距只能为． 取第、行和第、列，四个顶点之和为 所以不具有性质． 对于，行距为时，列距只能为；行距为时，不存在符合条件的列距． 因此，只需检验相邻两行与第、列组成的两个矩形． 第、行对应的四个顶点之和为 第、行对应的四个顶点之和为 所以具有性质． （2）设第行元素之和为 先考察第行与第行． 令 对，第、行的行距为，第、列的列距为，由性质得 因此从而 同理，考察第行与第行，可得 所以整个数阵所有元素之和为 设数阵中的个数为． 数阵中共有个数，因此的个数为，从而解得 下面说明可以达到． 取 该数阵中共有个． 对于数阵，可能的行距、列距组合只有 当行距、列距为时，相邻两行第、列的四个数之和均为； 当行距、列距为时，第、行以及第、行对应各列的元素之和均为； 当行距、列距为时，第、行与相距的两列组成的四个数之和也为． 所以该数阵具有性质，且的个数为． 因此，的个数最多为 （3）略 一、单选题 1．（2026·北京顺义·三模）已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 2．（2026·浙江嘉兴·二模）数列满足，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】结合递推公式依次计算即可. 【详解】，， . 3．（2026·山东烟台·二模）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，满足，此时，，不满足数列为单调递增数列，充分性不成立； 若，此时，满足数列为单调递增数列，但不成立，必要性不成立； 所以“”是“数列为单调递增数列”的既不充分也不必要条件. 4．（2026·广东东莞·三模）记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 【答案】D 【分析】结合前项和与通项的关系式求解，再根据数列的通项公式求出. 【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 5．（2026·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，，则的前7项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 当时，， 当时，， 时，， ， ，故是首项为3，公比为2的等比数列， 的前7项和为：． 6．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知数列且满足，令，则数列的前项和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，再根据得到为等差数列，最后利用裂项相消法即可求解. 【详解】令，可得， 由变形可得， 则， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 则， 故数列的前项和为. 7．（2026·重庆·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 因此， 因为， 因此， 所以原式化简为， 而，所以原式为， 而因为，所以， 则，， 代入得，， 而已知， 设，(为非零常数)，，， 所以. 8．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列的前n项和为，且满足，，则使得不等式成立的实数k的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据和与的关系，结合等比数列性质，即可求解得到数列本身的通项，表示，代入到原不等式中，通过比较即可求解. 【详解】因为，，因此当时，， 所以两式相减得，，所以，， 当时，，满足递推关系，所以的递推公式为， 则为首项为，公比为的等比数列，通项公式为， 因此， 代入得，，化简得， 设，则上式等价于， 所以，， 当时，，，单调递增，当时，，，单调递减， ，，当时，，所以，因此的最小值为， 即，因此的最大值为， 故选择B选项. 二、多选题 9．（2026·河南开封·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数n为14 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】A，由，可得， 因为，可得，所以，正确； B，由A分析且，所以且，正确； C，在等差数列中，由且， 当时，得；当时，得， 所以取得最大值时，，错误； D，由，且， 所以使得成立的最大整数为，正确. 10．（2026·福建三明·模拟预测）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 【答案】ACD 【分析】利用与关系求出，结合等差数列前项和公式依次判断选项即可. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以，显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C正确； 令，所以的前30项和为：，故D正确. 11．（2026·山东聊城·模拟预测）已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【分析】计算出结合等比数列的定义可判断A；分别令可判断B；根据等比数列的定义可判断C；根据C选项写出的通项，然后利用分组求和即可，或者直接根据递推公式结合等比数列求和公式可判断D. 【详解】 当时， ． 当时，， 数列一定不是等比数列，故A错误； 当时，； 当时，；当时，． ，故B正确； ． 数列是首项为，公比为的等比数列，故C正确； 方法一：由可知，， ， ，故D错误． 方法二：， ，故D错误． 12．（2026·黑龙江·模拟预测）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……，设第次“美好成长”后得到的数列为，，，…，，，记，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列的通项公式为 【答案】ABD 【分析】根据给出的新定义数列变化形式，找出数列中k与n之间的变化关系，列出变化等式，进而判断选项即可． 【详解】初始数列：1，4； 第一次成长：1，4，4，乘积,； 第二次成长：1，4，4，16，4，乘积：， ；故A正确 记次“美好成长”后的数列有项，则，即， 又，所以数列是以2为首项和公比的等比数列， 故，， 所以，故B正确 因为每次插入的新项为原数列中相邻两项的乘积， 故 ； 故， 则，故C错误， 由此， 因此数列为等比数列，首项为，公比为3； 故，解得，故D正确． 三、填空题 13．（2026·湖南湘潭·二模）数列满足，，则数列的前8项和______. 【答案】502 【详解】因为，所以，易知，故， 又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为，则， 所以数列的前8项和 . 14．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 【答案】（或） 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 15．（2026·北京丰台·三模）《九章算术・均输篇》记录了古代物资统筹核算算法，现如今借鉴这一统筹思路，某地乡村振兴落地光伏储能惠民工程，分年度分批采购储能光伏组件.项目采购方案规定：每年新增采购的组件箱数构成等差数列，项目第一年采购 16 箱，往后每一年都比上一年多采购 3 箱；受原材料价格浮动影响，组件单箱采购市价逐年成等比数列，首年定价 4 元，价格每年变为原来的 3 倍.项目财务制度约定，前年所有入库储存的组件，不在每年分次结账，统一留存至第年年末，按照当期最新市场单价一次性核算全部货款.则项目运行满 4 年时，结算总货款为______元；运行年末核算总货款的最简代数式为______ 【答案】 【分析】先分别计算前年采购组件的总箱数和第年末的组件单价，二者相乘得到总货款，代入即可得满年的结算款. 【详解】设第年采购的组件箱数为， 由题意是首项、公差的等差数列， 则， 前年总采购箱数为的前项和： ， 设第年组件单价为，由题意是首项、公比的等比数列， 第年末的单价为： ， 计算满年的总货款： 代入，得， ，故总货款； 计算年末总货款： 根据题意总货款为总箱数乘以第年末单价， 即. 四、解答题 16．（2026·宁夏吴忠·三模）已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 经检验，时符合上式， 所以，． 由上可知，， 设的公差为，则， 所以，， 即． （2）由(1)得， 则数列的前项和为： ， ， ， ， 所以，数列的前项和． 17．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 18．（2026·江苏徐州·模拟预测）设是等比数列的前项和，已知，． (1)求和； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件列出等比数列基本量的方程，求解即得到数列的通项公式和前项和； （2）化简的表达式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2）， ． 19．（2026·湖南湘潭·三模）已知数列和满足． (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求的取值范围； (3)设，若，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由，，分别求得求解； （2）由，得到，从而，再利用裂项相消法求解； （3）由，得到，再由，得到，然后递推求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以． （2）因为， 所以， 则， 所以， 由恒成立，可得， 则，得， 则，即的取值范围为． （3）证明：由， 可得， 则， 两式相减得． 由，得， 则． 由，得， 则，即． 20．（2026·天津·二模）已知数列的各项均为正整数，设集合，记的元素个数为． (1)若数列，求集合； (2)已知为正项等比数列，，是与的等差中项． （i）求； （ii）令，求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题意计算求解即可； （2）（i）设等比数列的公比为，根据等差中项可得，进而可得，由题意推导可得得到彼此互异，进而可得；（ii）由题意可得，根据裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 试卷第1页，共3页 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列 答案版 考点01 等差数列 1．C 2．B 3. （答案不唯一，满足即可） 4． 考点02 等比数列 1． 2． 考点03 数列的递推公式与求和 1．C 2．A 3．【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 考点04 数列中的新定义 1．【答案】(1)数表不具有性质，数表具有性质； (2) (3)性质中的四个数都属于，且四个数的和为，所以其中恰有两个和两个． 因此，对任意满足性质下标条件的四个位置，都有①， 对，，令 先取行距为、列距为的矩形． 由①，对及，有 由于，所以②， 下面比较第行与第行的值． 对，取第、行和第、列． 此时行距为，列距为，由①得 由②知，故③， 令 则由③得，所以 再取第、行和第、列． 此时行距为，列距为，由①得即 由于且，所以． 从而④， 同理，取第、行和相距的两列，再取第、行和相距的两列，可得⑤， 结合②、④、⑤，可知对于每个，都有⑥， 当时，由，显然有 当时，由⑥，由中间因子均成对出现，且，有 再由⑥， 两边同乘，并利用，得 命题得证． 【分析】（1）性质的下标约束条件，选取符合要求的四元组代入验证，若存在不满足和为0的组合则不具有性质，反之则具有性质. （2）由性质的和约束推导行列符号的等价乘积约束，确定每行1的最大可行数量，结合行之间的符号交替规律计算总1的个数的上界，构造符合条件的实例证明上界可达. （3）利用性质的乘积等价性质，结合的初始条件，先验证差为2的下标组合，再通过递推推广到所有下标，完成证明. 【详解】（1）对于，只有两行，所以行距只能为． 要满足|行距列距|，列距只能为． 取第、行和第、列，四个顶点之和为 所以不具有性质． 对于，行距为时，列距只能为；行距为时，不存在符合条件的列距． 因此，只需检验相邻两行与第、列组成的两个矩形． 第、行对应的四个顶点之和为 第、行对应的四个顶点之和为 所以具有性质． （2）设第行元素之和为 先考察第行与第行． 令 对，第、行的行距为，第、列的列距为，由性质得 因此从而 同理，考察第行与第行，可得 所以整个数阵所有元素之和为 设数阵中的个数为． 数阵中共有个数，因此的个数为，从而解得 下面说明可以达到． 取 该数阵中共有个． 对于数阵，可能的行距、列距组合只有 当行距、列距为时，相邻两行第、列的四个数之和均为； 当行距、列距为时，第、行以及第、行对应各列的元素之和均为； 当行距、列距为时，第、行与相距的两列组成的四个数之和也为． 所以该数阵具有性质，且的个数为． 因此，的个数最多为 （3）略 一、单选题 1．B 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．B 二、多选题 9．ABD 10．ACD 11．BC 12．ABD 三、填空题 13．502 14．（或） 15． 四、解答题 16．【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 经检验，时符合上式， 所以，． 由上可知，， 设的公差为，则， 所以，， 即． （2）由(1)得， 则数列的前项和为： ， ， ， ， 所以，数列的前项和． 17．【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 18．【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据已知条件列出等比数列基本量的方程，求解即得到数列的通项公式和前项和； （2）化简的表达式，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设的公比为，则，而，得， 已知，所以， 所以，则. （2）， ． 19．【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由，，分别求得求解； （2）由，得到，从而，再利用裂项相消法求解； （3）由，得到，再由，得到，然后递推求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以． （2）因为， 所以， 则， 所以， 由恒成立，可得， 则，得， 则，即的取值范围为． （3）证明：由， 可得， 则， 两式相减得． 由，得， 则． 由，得， 则，即． 20．【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据题意计算求解即可； （2）（i）设等比数列的公比为，根据等差中项可得，进而可得，由题意推导可得得到彼此互异，进而可得；（ii）由题意可得，根据裂项相消法计算求解. 【详解】（1）由题意可知数列，得 ， 则； （2）（i）设等比数列的公比为， 由题意可知，， 解得或（不符合题意舍去）， 所以， 此时数列， 因为， 所以集合中元素最多为个，即， 对于数列，此时， 若存在，则，其中， 故， 若，不妨设，则，而， 故为偶数，为奇数，矛盾，故， 故由得到彼此互异， 所以； （ii）， ， 则 . 试卷第1页，共3页 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $