专题14：探索规律（专项训练）小升初数学暑假专项提升

**基本信息** 以“类型识别-方法提炼-规律验证”为主线，系统覆盖算式、数字、图形、数表、间隔周期五大规律模块，融合观察分析、推理验证等解题策略，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |算式规律|3题|观察分析-尝试推理-验证规律|从运算符号、数字变化到结果规律，层层递进| |数字排列规律|4题|差值比值计算-分解数字-特殊数列记忆|涵盖等差、等比、平方立方及斐波那契数列| |图形变化规律|5题|全面观察-标注记录-模拟操作|从数量、形状、位置到组合变化，培养几何直观| |数表规律|3题|行列对比-特殊位置观察-规律验证|横向、纵向、斜向及整体规律综合应用| |间隔周期规律|6题|间隔公式应用-周期总数÷周期数|结合植树、锯木等实际问题，强化模型意识|

2026年小升初数学暑假专项提升 专题14：探索规律 知识点01：算式的规律 1、常见类型​ （1）运算符号规律：如算式中加号、减号交替出现，或乘除运算按特定顺序排列。 （2）数字变化规律：​加数或因数变化：一个加数或因数按一定规律递增或递减。 （3）结果规律：算式结果呈现周期性或等差、等比变化。 2、解题方法​ （1）观察分析：仔细观察算式中数字、运算符号的变化特点。​ （2）尝试推理：根据观察到的特点，尝试推测下一个算式的形式。​ （3）验证规律：用推测出的规律去验证后续算式是否符合。 知识点02：数字排列的规律 1、常见类型​​ （1）等差数列：相邻两项的差值相等，这个差值称为公差。 （2）等比数列：相邻两项的比值相等，该比值称为公比。 （3）平方数列：数列中的数是连续自然数的平方。 （4）立方数列：数列为连续自然数的立方。 （1）斐波那契数列：从第三项起，每一项都等于前两项之和。 2、解题技巧​ （1）计算差值或比值：判断数列是等差还是等比数列。​ （2）分解数字：对于复杂数列，将数字分解因数或拆分成几个部分，寻找规律。​ （3）特殊数列记忆：牢记常见特殊数列的规律，便于快速识别。 知识点03：图形的变化规律​ 1、常见类型​ （1）数量变化：图形的个数、边数等数量按规律增减。​ （2）形状变化：图形的形状、大小、颜色等发生规律性改变。​ （3）位置变化：图形进行平移、旋转、对称等变换。​ （4）组合变化：多个图形按一定规律组合或拆分。​ 2、解题步骤​ （1）全面观察：从数量、形状、位置等多个角度观察图形。​ （2）标注记录：对于数量变化的图形，标注每个图形的相关数量。​ （3）模拟操作：通过在纸上画出图形的变化过程，直观感受规律。​ 知识点04：数表中的规律​ 1、常见类型​​ （1）横行规律：同一行数字的大小变化、运算关系等规律。​ （2）纵列规律：同一列数字的变化特点。​ （3）斜向规律：数表中斜着方向上数字的规律。​ （4）整体规律：数表整体呈现的规律。​ 2、解题方法​ （1）行列对比：分别对横行和纵列数字进行分析，寻找规律。​ （2）特殊位置观察：关注数表的角落、对角线等特殊位置的数字。​ （3）规律验证：根据发现的规律，计算数表中其他位置的数字，看是否符合。​ 知识点05：简单间隔、周期规律​ 1、间隔规律​ （1）植树问题：​ 两端都植树：棵数=间隔数+1。 两端都不植树：棵数=间隔数－1。​ 一端植树一端不植树：棵数=间隔数。​ （2）锯木问题：锯的次数=段数－1。 2、周期规律​ （1）周期概念：事物按一定顺序循环出现，循环一次的数量就是周期。 （2）解题方法：用总数除以周期数，根据余数判断结果。若余数为 0，则是周期的最后一个；若余数不为 0，则是周期内的第几个。 一、选择题 1．科学老师用四张航拍剧照展示了无人机变化队形的过程（每个点代表一架无人机）。若按前四张的规律继续变化，第八张剧照应该有（     ）架无人机。 A．27 B．28 C．29 D．30 2．如图，把一个正方形各边中点连接起来组成第二个正方形，再把第二个正方形各边中点连接起来组成第三个正方形，按这样的方式连接得到第五个正方形。第五个正方形的面积占第一个正方形面积的（     ）。 A． B． C． D． 3．观察下边算式的规律，14285.7×42的正确得数应是（     ）。 14285.7×7＝99999.9 14285.7×14＝199999.8 14285.7×21＝299999.7 …… A．399999.6 B．499999.5 C．599999.4 D．699999.3 4．下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，M的值是（     ）。 A．60 B．72 C．86 D．98 5．某种大肠杆菌细胞在环境适应的情况下，平均每20分会分裂一次，第一次分裂会变成两个细胞，第二次分裂这两个细胞会变成四个细胞，以此类推，经过（     ）分，这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞。 A．7 B．20 C．120 D．140 6．一个五边形可以用5根同样的小棒摆出来，要按照下图的方式摆10个这样的五边形需要（     ）根小棒。 A．40 B．41 C．45 D．50 7．一列分数按规律排列：根据此规律，第20个分数是（     ）。 A． B． C． D． 8．在去博物馆的路上小梦拿出围棋和同学们玩摆棋子的游戏，将同样大小的棋子按下图所示的方式摆放，则接下来的第20个图形需要摆（     ）个棋子。 A．463 B．191 C．441 D．420 9．用相同的圆画图，依据前三幅图的规律，想一想图4的阴影部分在哪？面积是（     ）个圆的面积。 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 二、填空题 10．下面是小华用完全一样的黑白正三角形纸板拼成的图形。 按照图中拼三角形纸板的规律一直拼下去。 （1）第⑩号图形有（ ）块黑色的三角形纸板。 （2）第n号图形中，黑色的三角形纸板比白色的少（ ）块。 11．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书记载了按数级排序的数词，如“一、万、亿、兆、京、垓……”。万就是4个10相乘的积，记作；亿就是8个10相乘的积，记作，依次类推，兆应记作（ ）。 12．斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”。部分数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34…按照这部分数列的规律，第30个数是（ ），第1000个数是（ ）。（填“奇数”或“偶数”） 13．围棋的起源可追溯到春秋中叶之前，在我国有悠久的历史。淘气和爸爸不仅是围棋高手，还喜欢利用围棋探索一些规律。星期天，爸爸在棋盘上摆出了如下图形，淘气好奇地研究起来：第n个图形中，白棋有（ ）枚，黑棋有（ ）枚。 14．乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符。把音符按照一定规律排列如图所示，①号图由5个八分音符组成，②号图由7个八分音符组成，③号图由9个八分音符组成……，那么第⑤号图由（ ）个八分音符组成，第n号图由（ ）个八分音符组成。 15．定义一种新运算“△”满足：9△2＝9＋8＝17，8△3＝8＋7＋6＝21，7△4＝7＋6＋5＋4＝22，则2025△5＝（ ）＝（ ）。 16．下面的图形是由白色和黑色的小正方形按一定的规律摆放组成的。按下图方式继续摆下去，完成下表。 第几个图形 1 2 3 4 … n 黑色小正方形/个 1＋4 1＋4×2 （ ） （ ） … （ ） 17．下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第10个图案由（ ）个基本图形组成，第n个图案由（ ）个基本图形组成。 18．找规律填空。 （1）0.1，4，0.2，16，0.3，36，0.4，（ ），0.5。 （2），，，，…，（ ），（ ），…。 19．观察下列算式，寻找规律填数。 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 2＋4＋6＋…＋40＝（ ） ×（ ）。 20．1张三角形的餐桌可以坐6人，按照如图的方式摆放餐桌和椅子。 （1）9张餐桌可以坐（ ）人。 （2）有50位参加会议的客人需要用餐，那么需要摆放（ ）张餐桌。 21．下面是聪聪探究规律时创造的三角形数表。按照规律从上往下数。 （1）第5行的第一个数是（ ），最后一个数是（ ）。 （2）第n行的第一个数是（ ），最后一个数是（ ）。 22．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律摆下去，则第12个图形需要黑色棋子的枚数是（ ）个。 23．如图，用小棒搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，搭2个梯形需要9根小棒，搭3个梯形需要13根小棒，那么搭6个梯形需要（ ）根小棒。 24．两个正方形如下图摆放，已知左边正方形的边长等于右边正方形的对角线。某时刻起右边正方形以固定速度沿图中虚线开始向左移动，30秒时两图形第一次接触，35秒时两图形重叠面积为10cm2，50秒时两图形重叠面积达到最大，那么45秒时两图形重叠面积是（ ）cm2。 25．的计算结果的个位数是（ ）。 三、解答题 26．“倍尔数”是以数学家倍尔的名字命名的一个数列。它的形状像一个三角形，人们又称它为“倍尔三角形”。 …… （1）请写出两条“倍尔三角形”中每行数形成的规律。 （2）请你试着写出第7行“倍尔数”吧。 27．先看看表格中三角形的个数有什么变化，然后填一填，再回答下列问题。 三角形个数 6 12 （1）如果在三角形内部画上5条横线，图中有多少个三角形？ （2）如果图中三角形的个数是84，图中应画多少条横线？ 28．中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 （1）如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有（ ）个交点，照这样的规律，第9幅图有（ ）个交点。 （2）根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 29．多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… （1）如果继续摆下去，7个凳子的总高度是（ ）厘米。 （2）凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 30．下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 （1）仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 （2）按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ （3）第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 31．观察下面算式，解答问题： ， （1）请求出1＋3＋5＋7＋9＋11的结果为_______； （2）若n表示正整数，请用含n的式子表示1＋3＋5＋7＋9＋…＋（2n－1）的和为_______。 （3）请用上述规律计算：13＋15＋17＋19＋…＋175＋177＋179的和。（要求写出解答过程） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年小升初数学暑假专项提升 专题14：探索规律 知识点01：算式的规律 1、常见类型​ （1）运算符号规律：如算式中加号、减号交替出现，或乘除运算按特定顺序排列。 （2）数字变化规律：​加数或因数变化：一个加数或因数按一定规律递增或递减。 （3）结果规律：算式结果呈现周期性或等差、等比变化。 2、解题方法​ （1）观察分析：仔细观察算式中数字、运算符号的变化特点。​ （2）尝试推理：根据观察到的特点，尝试推测下一个算式的形式。​ （3）验证规律：用推测出的规律去验证后续算式是否符合。 知识点02：数字排列的规律 1、常见类型​​ （1）等差数列：相邻两项的差值相等，这个差值称为公差。 （2）等比数列：相邻两项的比值相等，该比值称为公比。 （3）平方数列：数列中的数是连续自然数的平方。 （4）立方数列：数列为连续自然数的立方。 （1）斐波那契数列：从第三项起，每一项都等于前两项之和。 2、解题技巧​ （1）计算差值或比值：判断数列是等差还是等比数列。​ （2）分解数字：对于复杂数列，将数字分解因数或拆分成几个部分，寻找规律。​ （3）特殊数列记忆：牢记常见特殊数列的规律，便于快速识别。 知识点03：图形的变化规律​ 1、常见类型​ （1）数量变化：图形的个数、边数等数量按规律增减。​ （2）形状变化：图形的形状、大小、颜色等发生规律性改变。​ （3）位置变化：图形进行平移、旋转、对称等变换。​ （4）组合变化：多个图形按一定规律组合或拆分。​ 2、解题步骤​ （1）全面观察：从数量、形状、位置等多个角度观察图形。​ （2）标注记录：对于数量变化的图形，标注每个图形的相关数量。​ （3）模拟操作：通过在纸上画出图形的变化过程，直观感受规律。​ 知识点04：数表中的规律​ 1、常见类型​​ （1）横行规律：同一行数字的大小变化、运算关系等规律。​ （2）纵列规律：同一列数字的变化特点。​ （3）斜向规律：数表中斜着方向上数字的规律。​ （4）整体规律：数表整体呈现的规律。​ 2、解题方法​ （1）行列对比：分别对横行和纵列数字进行分析，寻找规律。​ （2）特殊位置观察：关注数表的角落、对角线等特殊位置的数字。​ （3）规律验证：根据发现的规律，计算数表中其他位置的数字，看是否符合。​ 知识点05：简单间隔、周期规律​ 1、间隔规律​ （1）植树问题：​ 两端都植树：棵数=间隔数+1。 两端都不植树：棵数=间隔数－1。​ 一端植树一端不植树：棵数=间隔数。​ （2）锯木问题：锯的次数=段数－1。 2、周期规律​ （1）周期概念：事物按一定顺序循环出现，循环一次的数量就是周期。 （2）解题方法：用总数除以周期数，根据余数判断结果。若余数为 0，则是周期的最后一个；若余数不为 0，则是周期内的第几个。 一、选择题 1．科学老师用四张航拍剧照展示了无人机变化队形的过程（每个点代表一架无人机）。若按前四张的规律继续变化，第八张剧照应该有（     ）架无人机。 A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】C 【分析】通过观察发现，第一张剧照有1架无人机，第二张剧照有（1＋4）架无人机，第三张剧照有（1＋2×4）架无人机，……，第n张剧照有[1＋4×（n－1）]架无人机，据此解答。 【详解】当n＝8时， 1＋4×（n－1） ＝1＋4×7 ＝29（架） 第八张剧照应该有29架无人机。 故答案为：C 2．如图，把一个正方形各边中点连接起来组成第二个正方形，再把第二个正方形各边中点连接起来组成第三个正方形，按这样的方式连接得到第五个正方形。第五个正方形的面积占第一个正方形面积的（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】图形面积的递推规律，连接正方形各边中点得到的新正方形，面积为前一个正方形的。依此递推，第n个正方形的面积是第一个正方形面积的，代入即可求解。 【详解】设第一个正方形面积为，推导各正方形面积： ，，， 那么第五个正方形面积占第一个的 故答案为：B。 3．观察下边算式的规律，14285.7×42的正确得数应是（     ）。 14285.7×7＝99999.9 14285.7×14＝199999.8 14285.7×21＝299999.7 …… A．399999.6 B．499999.5 C．599999.4 D．699999.3 【答案】C 【分析】观察算式发现：第一个因数是14285.7不变，第二个因数依次是7的1倍、2倍、3倍。从第二个算式开始，积的整数部分都是六位数，最高位依次是1、2（呈依次加1的规律），后面五位都是9；积的小数部分依次是9、8、7（呈依次减1的规律）。因为42＝7×6，第二个因数是7的6倍。根据上述规律，积的整数部分最高位应是5，后面五位是9，即599999，积的小数部分应是4。 【详解】14285.7×42＝599999.4 故答案为：C 4．下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，M的值是（     ）。 A．60 B．72 C．86 D．98 【答案】C 【分析】每个正方形左上数字是0、2、4、6；正方形右上数字是4、6、8，依次加2的规律，每个正方形左下数字是2、4、6，依次加2的规律，右下数字为右上×左下＋左上，据此求出M。 【详解】右上为8＋2＝10 左下为6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 M的值 是86。 5．某种大肠杆菌细胞在环境适应的情况下，平均每20分会分裂一次，第一次分裂会变成两个细胞，第二次分裂这两个细胞会变成四个细胞，以此类推，经过（     ）分，这种大肠杆菌细胞会分裂成128个新细胞。 A．7 B．20 C．120 D．140 【答案】D 【分析】先根据题意明确大肠杆菌的分裂规律：每20分钟分裂1次，每次分裂后细胞数量变为原来的2倍；再从1个细胞开始，按每次数量翻倍的规律，依次列举出每次分裂后的细胞数量和对应的时间，直到细胞数量达到128个；最后根据分裂次数乘每次20分钟的间隔，求出总时间。 【详解】第1次：2个 第2次：2×2＝4（个） 第3次：4×2＝8（个） 第4次：8×2＝16（个） 第5次：16×2＝32（个） 第6次：32×2＝64（个） 第7次：64×2＝128（个） 总时间：7×20＝140（分钟） 所以经过140分钟，大肠杆菌会分裂成128个新细胞。 6．一个五边形可以用5根同样的小棒摆出来，要按照下图的方式摆10个这样的五边形需要（     ）根小棒。 A．40 B．41 C．45 D．50 【答案】B 【分析】先将最左侧五边形左下方的一根小棒固定，则每增加一个五边形就要增加4根小棒，设要摆n个这样的五边形，则摆n个这样的五边形需要（4n＋1）根小棒。求摆10个这样的五边形需要几根小棒，将n换为10进行计算。 【详解】10×4＋1 ＝40＋1 ＝41（根） 摆10个这样的五边形需要41根小棒。 7．一列分数按规律排列：根据此规律，第20个分数是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察题中的分数，可发现分子部分是后面一个分数的分子比前面一个分子多4，可推断第20个分数的分子；分母部分可以看成两个数相乘的形式，根据乘数的规律，能够推断出第20个分数的分母。这样就可以确定选项。 【详解】观察分子的规律：分子依次为： 可以看出，后一个数比前一个数多4。第1个分子是：，第2个分子是：，第3个分子是：第个分子是： 所以，第20个分子是： 观察分母的规律：分母依次为：将分母拆分为两个数相乘的形式： 第1个分母：，第2个分母：，第3个分母：，第4个分母：可以看出，第个分母等于项数乘。 所以，第20个分母是： 确定第20个分数：分子是77，分母是480，所以第20个分数是。 8．在去博物馆的路上小梦拿出围棋和同学们玩摆棋子的游戏，将同样大小的棋子按下图所示的方式摆放，则接下来的第20个图形需要摆（     ）个棋子。 A．463 B．191 C．441 D．420 【答案】A 【分析】看图可知，第1个图形摆了7个棋子，7＝（1＋1）2＋（1＋2）；第2个图形摆了13个棋子，13＝（2＋1）2＋（2＋2）；第3个图形摆了21个棋子，21＝（3＋1）2＋（3＋2）……由此可知，棋子个数＝（第几个图形就用几＋1）2＋（第几个图形就用几＋2）。 【详解】（20＋1）2＋（20＋2） ＝212＋22 ＝441＋22 ＝463（个） 第20个图形需要摆463个棋子。 9．用相同的圆画图，依据前三幅图的规律，想一想图4的阴影部分在哪？面积是（     ）个圆的面积。 A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】根据题意可知，阴影部分是相邻圆的重叠区域拼接而成，图4如图：； 基于图可知：图1：三个阴影是三个半径相同的扇形面积，三角形的内角和是180°，所以阴影部分合在一起是半个圆的面积； 图2：阴影部分是四个半径相同的扇形面积，四边形的内角和是360°，所以阴影部分合起来是1个圆的面积； 图3：阴影部分是由4个半径相同的扇形面积加上1个半圆面积，4个扇形内角和是360°，所以阴影部分是由1个圆的面积再加上一个半圆的面积，所以合起来是1.5个圆的面积； 图4：阴影部分4个半径相同扇形面积与2个半圆的面积；4个扇形内角和是360°，所以阴影部分合起来是2个圆的面积，据此解答。 【详解】如图：图4阴影部分：。 根据分析可知，图4面积是2个圆的面积。 故答案为：C 二、填空题 10．下面是小华用完全一样的黑白正三角形纸板拼成的图形。 按照图中拼三角形纸板的规律一直拼下去。 （1）第⑩号图形有（ ）块黑色的三角形纸板。 （2）第n号图形中，黑色的三角形纸板比白色的少（ ）块。 【答案】（1）55 （2）n＋1 【分析】（1）观察图形可知，第①号图形有黑色三角形纸板1个；第②号图形有黑色三角形纸板1＋2＝3个；第③号图形有黑色三角形纸板1＋2＋3＝6，据此推出第⑩号图形有黑色三角形纸板的个数为1＋2＋3＋……＋10个，凑整求和即可。 （2）根据上述分析，第n个图形黑色三角形纸板的个数是：1＋2＋3＋……＋n个；观察图形可知，第①号图形有白色三角形纸板1＋2个；第②号图形有白色三角形纸板1＋2＋3个；第③号图形有白色三角形纸板1＋2＋3＋4，据此推出第n号图形有白色三角形纸板的个数是1＋2＋3＋……＋n＋（n＋1）个，据此两者相减即可求出黑色的三角形纸板比白色的少的块数。 【详解】（1）第⑩号图形有黑色三角形纸板的个数为： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝（1＋9）＋（2＋8）＋（3＋7）＋（4＋6）＋5＋10 ＝10＋10＋10＋10＋5＋10 ＝55（块） （2）第n个图形黑色三角形纸板的个数是：1＋2＋3＋……＋n； 第n号图形有白色三角形纸板的个数是：1＋2＋3＋……＋n＋（n＋1）个。 黑色的三角形纸板比白色的少的块数： 1＋2＋3＋……＋n ＋（n＋1）－（1＋2＋3＋……＋n） ＝1＋2＋3＋……＋n ＋n＋1－1－2－3－……－n ＝（1－1）＋（2－2）＋（3－3）＋……＋（n－n）＋ n＋1 ＝0＋0＋0＋……＋0＋ n＋1 ＝ n＋1（个） 11．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书记载了按数级排序的数词，如“一、万、亿、兆、京、垓……”。万就是4个10相乘的积，记作；亿就是8个10相乘的积，记作，依次类推，兆应记作（ ）。 【答案】1012 【分析】数词按顺序排列为一、万、亿、兆……，已知：万是4个10相乘，指数为4＝4×1，记作104；亿是8个10相乘，指数为4×2＝8，记作108，规律是：从数次一开始，第几个数词，指数就是几个4。 【详解】兆是一之后的第3个数，指数为4×3＝12，因此兆记作1012。 12．斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”。部分数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34…按照这部分数列的规律，第30个数是（ ），第1000个数是（ ）。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】 偶数 奇数 【分析】根据题意可知，这组数据是按照奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……的规律排列的，每3个数为一组，求第30个和第1000个数是奇数还是偶数，分别用30和1000除以3，如果没有余数，这个数是偶数，如果有余数，这个数是奇数；据此解答。 【详解】30÷3＝10（组） 1000÷3＝333（组）……1（个） 13．围棋的起源可追溯到春秋中叶之前，在我国有悠久的历史。淘气和爸爸不仅是围棋高手，还喜欢利用围棋探索一些规律。星期天，爸爸在棋盘上摆出了如下图形，淘气好奇地研究起来：第n个图形中，白棋有（ ）枚，黑棋有（ ）枚。 【答案】 n 2n＋2 【分析】第①个图形有5个棋子，1枚白棋，4枚黑棋；第②个图形有8个棋子，2枚白棋，6枚黑棋；第③个图形有11个棋子，3枚白棋，8枚黑棋；……；第n个图形中一共有5＋（n－1）×3＝5＋3n－3＝（3n＋2）枚棋子，第n个图形中，白棋有n枚，黑棋有3n＋2－n＝（2n＋2）枚。 【详解】每两个图形相差3个棋子， 第n个图形中一共有棋子：5＋（n－1）×3 ＝5＋3n－3 ＝（3n＋2）枚 第n个图形白棋有n枚， 黑棋有：3n＋2－n＝（2n＋2）枚 14．乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符。把音符按照一定规律排列如图所示，①号图由5个八分音符组成，②号图由7个八分音符组成，③号图由9个八分音符组成……，那么第⑤号图由（ ）个八分音符组成，第n号图由（ ）个八分音符组成。 【答案】 13 （3＋2n）/（2n＋3） 【分析】如图，后面每一号图都比前面一号图多2个八分音符。①号图由5个八分音符组成，②号图由5＋2＝7个八分音符组成，③号图由5＋2×2＝5＋4＝9个八分音符组成。⑤号图由（5＋4×2）个八分音符组成。第n号图由5＋2×（n－1）个八分音符组成，由此解答本题即可。 【详解】由分析可知，第⑤号图八分音符有：5＋2×（5－1） ＝5＋2×4 ＝5＋8 ＝13（个） 第n号图八分音符有：5＋2×（n－1） ＝5＋2n－2 ＝（3＋2n）个 那么第⑤号图由13个八分音符组成，第n号图由（3＋2n）个八分音符组成。 15．定义一种新运算“△”满足：9△2＝9＋8＝17，8△3＝8＋7＋6＝21，7△4＝7＋6＋5＋4＝22，则2025△5＝（ ）＝（ ）。 【答案】 2025＋2024＋2023＋2022＋2021 10115 【分析】观察题目给出的例子：（9△2＝9＋8）：从9开始，连续2个递减的自然数相加；（8△3＝8＋7＋6）：从8开始，连续3个递减的自然数相加；（7△4＝7＋6＋5＋4）：从7开始，连续4个递减的自然数相加；由此可总结出新运算的规则：（a△b）表示：从a开始，连续b个依次递减1的自然数相加。 【详解】2025△5 ＝2025＋2024＋2023＋2022＋2021 ＝4049＋2023＋2022＋2021 ＝6072＋2022＋2021 ＝8094＋2021 ＝10115 16．下面的图形是由白色和黑色的小正方形按一定的规律摆放组成的。按下图方式继续摆下去，完成下表。 第几个图形 1 2 3 4 … n 黑色小正方形/个 1＋4 1＋4×2 （ ） （ ） … （ ） 【答案】 1＋4×3 1＋4×4 1＋4n 【分析】根据图形与数据可总结出规律：每个图形的正中间都有1个始终不变的黑色小正方形，每增加一个图形，就增加4个黑色小正方形；据此推导出第3、4个图形以及第n个图形的黑色小正方形数量。 【详解】第3个图形增加的个数为4×3，所以黑色小正方形的数量为：（1＋4×3）个； 第4个图形增加的个数为4×4，所以黑色小正方形的数量为：（1＋4×4）个； 第n个图形增加的个数为4n，所以黑色小正方形的数量为：（1＋4n）个。 17．下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基本图形组成，第2个图案由7个基本图形组成……那么第10个图案由（ ）个基本图形组成，第n个图案由（ ）个基本图形组成。 【答案】 31 3n＋1 【分析】该图案的排列规律：4，7，10……。后一个图案的基本图形比前一个图案多3个，所以，第几个图案，需要的基本图形的数量是3的几倍加上1的和。 【详解】第10个图案：3×10＋1 ＝30＋1 ＝31（个） 第n个图案：3×n＋1 ＝（3n＋1）个 18．找规律填空。 （1）0.1，4，0.2，16，0.3，36，0.4，（ ），0.5。 （2），，，，…，（ ），（ ），…。 【答案】（1）64 （2） 43 45 【分析】（1）观察可以发现，这列数字间隔成规律，奇数为上的数字是每次比前一个奇数位多0.1，偶数位上：第2个数字4＝2×2，第4个数字16＝4×4，第6个数字36＝6×6，即第几个数字就是几的平方数； （2）观察，22－12＝3＝2＋1，32－22＝5＝3＋2，42－32＝7＝4＋3，52－42＝9＝5＋4，可以发现先求两个相邻自然数的平方再相减的结果是这两个自然数的和。 【详解】（1）根据分析：第8个数字是：82＝8×8＝64； （2）根据分析：222－212＝22＋21＝43； 232－222＝23＋22＝45。 19．观察下列算式，寻找规律填数。 2＋4＝2×3 2＋4＋6＝3×4 2＋4＋6＋8＝4×5 2＋4＋6＋…＋40＝（ ） ×（ ）。 【答案】 20 21 【分析】等号左边是连续的偶数之和，观察可知：加数的个数＝最大的加数÷2；连续偶数的和＝加数的个数×（加数的个数＋1）。 【详解】40÷2＝20 20＋1＝21 所以2＋4＋6＋…＋40＝20×21 20．1张三角形的餐桌可以坐6人，按照如图的方式摆放餐桌和椅子。 （1）9张餐桌可以坐（ ）人。 （2）有50位参加会议的客人需要用餐，那么需要摆放（ ）张餐桌。 【答案】（1）22 （2）23 【分析】（1）由图知，1张三角形餐桌可坐6人；2张餐桌时，在1张的基础上增加2人，可坐6＋2＝8（人）；3张餐桌时，在2张的基础上再增加2人，可坐8＋2＝10（人）； 由此可得规律：每增加1张餐桌，可坐人数增加2人，张餐桌可坐人数为。 据此解答。 （2）根据规律，可坐人数为（）人，令＝50，通过解方程即可求得需摆放餐桌数。 【详解】（1）根据规律，当＝9时， 2×9＋4 ＝18＋4 ＝22（人） （2）＝50 解： 21．下面是聪聪探究规律时创造的三角形数表。按照规律从上往下数。 （1）第5行的第一个数是（ ），最后一个数是（ ）。 （2）第n行的第一个数是（ ），最后一个数是（ ）。 【答案】（1） 9 45 （2） 2n－1 （2n－1）×n 【分析】先观察每行第一个数的变化规律，发现其为连续奇数，推导出第n行第一个数的表达式；再观察每行内部数的规律，每行的数依次是第一个数乘1、乘2……乘该行的行数，因此第n行最后一个数等于第一个数乘行数n。 【详解】（1）分析前4行第一个数： 第1行：1＝2×1－1 第2行：3＝2×2－1 第3行：5＝2×3－1 第4行：7＝2×4－1 第5行第一个数： 2×5－1 ＝10－1 ＝9 分析前4行最后一个数： 第1行：1＝1×1 第2行：6＝3×2 第3行：15＝5×3 第4行：28＝7×4 第5行最后一个数：9×5＝45 （2）由上述规律推导：第n行第一个数：2n－1 第n行最后一个数：（2n－1）×n 22．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律摆下去，则第12个图形需要黑色棋子的枚数是（ ）个。 【答案】168 【分析】根据图示，第一个图形可以摆1×3＝3个棋子；第二个图形可以摆棋子个数：2×4＝8个；第三个图形可以摆棋子个数3×5＝15个；……第n个图形可以摆棋子个数n（n＋2）个，据此解答即可。 【详解】第12个图形需要黑色棋子数： 12×（12＋2） ＝12×14 ＝168（个） 23．如图，用小棒搭图形，搭1个梯形需要5根小棒，搭2个梯形需要9根小棒，搭3个梯形需要13根小棒，那么搭6个梯形需要（ ）根小棒。 【答案】25 【分析】由图知，搭1个梯形需要5根小棒，5＝4×1＋1；搭2个梯形需要9根小棒，9＝4×2＋1；搭3个梯形需要13根小棒，13＝4×3＋1，由此可得，每多增加一个梯形，只需增加4根小棒，据此推导出搭n个梯形需要的小棒数为（4×n＋1）根，最后将n＝6带入上述表达式中求解。 【详解】根据分析可知，每多增加一个梯形，只需增加4根小棒，则搭n个梯形需要的小棒数为：（4×n＋1）根。 将n＝6代入4×n＋1中，得到搭6个梯形需要的小棒数为： 4×6＋1 ＝24＋1 ＝25（根） 24．两个正方形如下图摆放，已知左边正方形的边长等于右边正方形的对角线。某时刻起右边正方形以固定速度沿图中虚线开始向左移动，30秒时两图形第一次接触，35秒时两图形重叠面积为10cm2，50秒时两图形重叠面积达到最大，那么45秒时两图形重叠面积是（ ）cm2。 【答案】70 【分析】两图形从第一次接触到完全重合共用（50－30）秒，将右边正方形水平方向对角线平均分成4份，两图形从第一次接触到完全重合用的总时间÷4，可以发现每5秒右边正方形向左平移水平方向对角线的，如图，对35秒时和45秒时的图形分别进行分割，如图，可知45秒时两个图形重叠面积是35秒时两个图形重叠面积的7倍，求一个数的几倍是多少用乘法，据此计算出45秒时两图形重叠面积。 【详解】50－30＝20（秒） 20÷4＝5（秒） 每5秒右边正方形向左平移水平方向对角线的。 45秒时两图形重叠面积：10×7＝70（cm2） 25．的计算结果的个位数是（ ）。 【答案】1 【分析】个位为1； 的个位是2、4、8、6共4个数为一个周期； 的个位是3、9、7、1共4个数为一个周期； 的个位是4、6共2个数为一个周期； 的个位数是5； 的个位数是6； 的个位数以7、9、3、1共4个数为一个周期； 的个位数以8、4、2、6共4个数为一个周期； 的个位数以9、1共2个数为一个周期； 的个位数是0。 据此算出1到10的2007次方的个位数之和，再计算1－2006里有几组这样的数字即可确定。 【详解】2007÷4＝501……3，2007÷2＝1003…...1 的个位为1； 的个位为8； 的个位为7； 的个位为4； 的个位为5； 的个位为6； 的个位为3； 的个位为2； 的个位为9； 的个位为0。 1到10的2007次方的个位数之和是： 1＋8＋7＋4＋5＋6＋3＋2＋9＋0＝45 2006÷10＝200……6 即有200组1到10的2007次方的个位数，还余下1到6的2007次方的个位数 200×45＝9000 1到6的2007次方的个位数之和为： 1＋8＋7＋4＋5＋6＝31 0＋1＝1 所以计算结果的个位数是1。 三、解答题 26．“倍尔数”是以数学家倍尔的名字命名的一个数列。它的形状像一个三角形，人们又称它为“倍尔三角形”。 …… （1）请写出两条“倍尔三角形”中每行数形成的规律。 （2）请你试着写出第7行“倍尔数”吧。 【答案】（1）①每行开头的第一个数都是上一行最后一个数。 ②每行的第二个数都是前一个数与前一个数上方那个数的和。 （2）203，255，322，409，523，674，877 【分析】（1）观察给出的数字，可得：上一行的最后一个数是下一行的第一个数，这个数加上上一行的第一个数就是这行的第二个数，第二个数加上上一行的第二个数就是这一行的第三个数，以此类推； （2）根据（1）的结论写出第7行“倍尔数”。 【详解】（1）答：①每行开头的第一个数都是上一行最后一个数。 ②每行的第二个数都是前一个数与前一个数上方那个数的和。 （2） 答：第7行“倍尔数”是：203，255，322，409，523，674，877 27．先看看表格中三角形的个数有什么变化，然后填一填，再回答下列问题。 三角形个数 6 12 （1）如果在三角形内部画上5条横线，图中有多少个三角形？ （2）如果图中三角形的个数是84，图中应画多少条横线？ 【答案】18；24 （1）36个 （2）13条 【分析】先数出上面一层有6个三角形，再数出第一、二层合成有6个三角形，最后再数出第一、二、三层合成有6个三角形，加在一起，即可求得第三个图有几个三角形；用相同的方法，再加上第一、二、三、四层合成有6个三角形，加在一起，即可求得第四个图形有几个三角形。 （1）五条横线，可以分成5＋1层，每增加一层，增加6个三角形，共有6×（5＋1）个三角形。 （2）n条横线，则有6×（n＋1）个三角形，用84除以6，再减1，即可求得图中应画多少条横线。 【详解】 三角形个数 6 12 18 24 （1）6×（5＋1） ＝6×6 ＝36（个） 答：图中有36个三角形。 （2）84÷6－1 ＝14－1 ＝13（条） 答：图中应画13条横线。 28．中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 （1）如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有（ ）个交点，照这样的规律，第9幅图有（ ）个交点。 （2）根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 【答案】（1） 18 48 （2）75幅 【分析】（1）根据题意，已知第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，先计算两幅图交点数的差，得出每增加一幅图交点数增加5个，据此总结出第n幅图交点数的计算方法，再代入第3幅和第9幅图的序号计算结果。 （2）根据已知的交点总数378个，结合总结的规律，先减去固定多出的3个交点，再用所得的差÷每幅图增加的5个交点，即可求出对应的图序号。 【详解】（1）计算相邻两幅图交点数的差值：13－8＝5（个），可知每增加1幅图，交点数增加5个。 总结规律：第n幅图的交点数＝8＋（n－1）×5，化简后为5n＋3。 计算第3幅图交点数：5×3＋3＝18（个） 计算第9幅图交点数：5×9＋3＝48（个） （2）378－3＝375（个） 375÷5＝75 答：有378个交点的是第75幅图。 29．多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… （1）如果继续摆下去，7个凳子的总高度是（ ）厘米。 （2）凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 【答案】（1）81 （2）不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 【分析】（1）先观察表格里凳子数量和总高度的变化，发现1个凳子高45厘米，每增加1个凳子，总高度增加6厘米，由此得出总高度的计算公式：总高度＝45＋6×（凳子数量－1），再把凳子数量7代入公式，即可求出7个凳子的总高度。 （2）正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。接着计算不同数量凳子对应的总高度与数量的比值，发现这些比值不固定，因此判断凳子的数量与总高度不成正比例关系。 【详解】（1）45＋6×（7－1） ＝45＋6×6 ＝45＋36 ＝81（厘米） （2）1个凳子：45÷1＝45 2个凳子：51÷2＝25.5 3个凳子：57÷3＝19 答：不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 30．下图是用型号相同的黑、白两种三角形瓷砖铺成的图形。 （1）仔细观察，请用一个式子表示第n个图形铺瓷砖的总块数。 （2）按图中的规律一直铺下去，那么第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），请算出20个图形中黑瓷砖的块数是多少？ （3）第n个图形中白瓷砖的块数可以用什么式子表示？算出第55个图形中共有多少块白瓷砖？ 【答案】（1） （2）210块 （3）（2＋n）×（n＋1）÷2；1596块 【分析】由图可知，第一个图形有3块白瓷砖，1块黑瓷砖；第二个图形有6块白瓷砖，3块黑瓷砖；第三个图形有10块白瓷砖，6块黑瓷砖。 （1）第一个图形共4块瓷砖，第二个图形共9块瓷砖，第三个图形共16块瓷砖，找出瓷砖的总块数的规律，用含有n的式子表示。 （2）将n＝20代入式子1＋2＋3＋…＋n计算即可。根据公式：（第一个数＋最后一个数）×这组数的个数÷2，代入数据计算即可。 （3）第一个图形白瓷砖比黑瓷砖多2块，第二个图形白瓷砖比黑瓷砖多3块，第三个图形白瓷砖比黑瓷砖多4块，……，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块。 由第（2）问可知，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），据此计算。 【详解】（1）第一个图形共4块瓷砖，4＝＝ 第二个图形共9块瓷砖，9＝＝ 第三个图形共16块瓷砖，16＝＝ 第n个图形瓷砖总块数： （2）1＋2＋3＋…＋20 ＝（1＋20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝210（块） 答：第20个图形中黑瓷砖的块数是210块。 （3）由分析可知，第n个图形白瓷砖比黑瓷砖多（n＋1）块，第n个图形中黑瓷砖的块数可以表示为（1＋2＋3＋…＋n），所以第n个图形中白瓷砖的块数可以表示为1＋2＋3＋…＋n＋（n＋1）＝（1＋n＋1）×（n＋1）÷2＝（2＋n）×（n＋1）÷2。 当n＝55时， （2＋55）×（55＋1）÷2 ＝57×56÷2 ＝3192÷2 ＝1596（块） 答：第55个图形中共有1596块白瓷砖。 31．观察下面算式，解答问题： ， （1）请求出1＋3＋5＋7＋9＋11的结果为_______； （2）若n表示正整数，请用含n的式子表示1＋3＋5＋7＋9＋…＋（2n－1）的和为_______。 （3）请用上述规律计算：13＋15＋17＋19＋…＋175＋177＋179的和。（要求写出解答过程） 【答案】（1）36 （2）n2 （3）8064 【分析】（1）观察所得：从1开始，连续的奇数和等于1加最后一个奇数的和除以2所得商的平方，据此求解即可； （2）根据从1开始，连续的奇数和等于1加最后一个奇数的和除以2所得商的平方计算即可； （3）把13＋15＋17＋19＋…＋175＋177＋179的和化为1＋3＋5＋……＋179－（1＋3＋…＋11）求解即可。 【详解】（1）1＋3＋5＋7＋9＋11 ＝ ＝62 ＝36 （2）1＋3＋5＋7＋9＋…＋（2n－1） ＝ ＝n2 （3）13＋15＋17＋19＋…＋175＋177＋179 ＝1＋3＋5＋……＋179－（1＋3＋…＋11） ＝－ ＝902－62 ＝8100－36 ＝8064 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $