代数推理 专题抢分训练—《中考导航》 2026年广东中考数学高分特训专辑

**基本信息** 聚焦代数推理与证明，以“观察-猜想-验证-证明”为主线，系统整合数论、新定义、进位制等模块，强化推理意识与运算能力，突出从具体到抽象的逻辑建构。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数推理|1,8,11题|设元转化、平方差公式、因式分解|连续整数关系→代数表达式→一般化证明| |数论规律|2,3,10题|数字特征分析、整除性质推导|特殊数验证→规律猜想→代数证明| |新定义探究|4,12,14题|定义转化、符号表达、性质论证|概念生成→特例应用→逻辑推理| |进位制|5题|进制转换公式、数位特征分析|基数概念→转换法则→整除性证明| |几何公式|6,7题|面积公式推导、勾股定理应用|公式背景→代数变形→推导验证|

代数推理及证明 1．（2026·广东汕头·一模）小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数，，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当，，则． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴(__________)． ∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： （1）请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________． 【类比探究】 （2）小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 2．（2026·安徽蚌埠·三模）综合与实践 【阅读材料】为四位数，因为，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，则能被3整除． 【问题提出】数学兴趣小组发现，通过一个数的各位数字之和判断这个数是否能被3整除比直接判断更方便．因此，他们想进一步探究能被11整除的四位数的数字规律． 【特例研究】先列出一些能被11整除的数：1023，1353，2805，3091，7194，8976，… 对上面这些数的各位数字直接相加，显然不具有规律性，那么尝试加法和减法相结合，是否具有规律呢？ 【规律探究】兴趣小组进行探究尝试，最终发现：上面所列的数都满足具有某种规律．由此提出猜想，并类比前面阅读材料中的方法尝试对猜想进行证明． （1）猜想：当，，，满足________________时，四位数能被11整除； （2）证明上述猜想． 3．（2026·湖北恩施·模拟预测）[材料1]我们知道像12，27，36，45，108…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． [材料2]若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3 整除． [材料3]设三位数n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（均为整数，且），记，数字和． [解决问题] （1）如果能被3整除，那么______（填“能”或“不能”）被3整除； （2）求证：一定能被3整除； （3）若三位数n是能被3整除的偶数，且满足，请直接写出3个符合条件的三位数n． 4．（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和，，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）由定义可得：， 我们可以利用这个式子解决相关问题…… 任务： （1）45是“k阶和倍数”，则______； （2）若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求的值； （3）若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证：一定是42的倍数． 5．（2026·福建龙岩·二模）综合与实践：进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，二进制的基数为2，各数位上的数字为0或1；四进制的基数为4，各数位上的数字为．我们熟知的十进制的基数为10，各数位上的数字为．说明：为了区分不同进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是六进制数235的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 各进制数之间可以进行互相转换．可把其他进制数转换为十进制数，例如，三进制数转换为十进制数：；六进制数转换为十进制数：．可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，即 素材2 若要将十进制数转换为其他进制数，则可逆用素材1中的等式．例如，十进制数27转换为二进制数：因为，所以，；将十进制数75转换为六进制数：因为，所以，． （1）①把二进制数转换为十进制数为__________； ②把十进制数22转换为三进制数为__________； （2）若与转换为十进制数的和能被5整除，且与转换为十进制数的和能被6整除（其中，，且，为整数），求的值； （3）若一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，求证：这个三进制数转换为十进制数能被2整除． 6．（2026·浙江温州·一模）【阅读理解】我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》,书中记载了“三斜求积术”,即根据三角形的三边长求面积的方法．如果将三角形的三边长分别记为a,b,c,那么三角形的面积公式为：． 【推导验证】 已知：如图,在中,记, ,． 求证：的面积 证明：过点A作于点D, 设,则, ∴, …… （1）请你继续完成上述推导． （2）【尝试应用】已知的三边长分别为,2,,请用“三斜求积术”求△ABC的面积． 7．（2026·浙江温州·模拟预测）【阅读资料】对任意的正奇数，都有两个连续的正整数和（），使得．由规律可得如下数表： ，，间的关系 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 … … … … 【特殊值验证】 （1）当时，请你求出和的值，并验证所得，，是否满足小温的猜想． 【一般化证明】 （2）小温对猜想的条件和结论分析如下，请你帮助小温完成证明过程． 已知：正奇数和两个连续的正整数和（）满足． 求证：． 证明：…… 8．（2025·浙江·模拟预测）观察连续两个正整数的立方差： ①； ②； ③ （1）写出第n个等式（为正整数），并给出证明． （2）问2025能否写成这样的两个连续正整数的立方差？如果能，请写出这两个正整数；如果不能，请说明理由． 10．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． （1）判断2，3是否为“树人数”？说明理由． （2）下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． （3）已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 11．（2025·河南郑州·三模）小伍提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． （1）举例验证：当，，则______；（请你补上空格所缺内容）； （2）推理证明：小陆同学做了如下的证明： 设， ，是连续的正整数， ． ， ______． 一定是正整数的平方数请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容； （3）类比探究： 小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方”，请证明该结论． 12．（2026·江苏盐城·二模）若一个四位数的各数位上的数字互不相等且满足，则称这个四位数为“友善四位数”．例如：四位数，因为，所以四位数是友善四位数． (1)判断 是不是友善四位数，并说明理由； (2)已知四位数（千位数字为，十位数字为）是友善四位数，则这个友善四位数是________； (3)若是一个友善四位数，将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到一个新的四位数，求证：能被整除． 13．（2026·浙江杭州·二模）综合与实践 【新知理解】 对于任意实数x，y，都有． 证明方法如下： 因为，所以． 【类比发现】 小聪提出猜想：对于正实数x，y，可能存在的关系．对此，小亮和小敏都想到用作差法进行探究： 小亮： 小敏： (1)请你选择其中一人的方法完成探究，并判断小聪的猜想是否正确． (2)【简单应用】已知正实数x，y满足，求证：． 14．（2026·福建莆田·模拟预测）小明翻开自己小学时的作业本，发现如下三道练习题的解答： 他发现有些运算结果错了，也有些运算结果歪打正着是对的．他将此事分享给班级数学兴趣小组，兴趣小组“错”中取义，对这三题解答过程中的运算结果的正确性进行探究，他们从练习②、③的计算过程中提炼出以下两个“非法运算”规则． “非法运算”（I）：对于非零实数a，b，c，d（其中），则 “非法运算”（II）：对于非零实数a，b，c（其中），则． (1)三道练习中，运算结果正确的是______________；（填序号） (2)判断“非法运算”（I）规则是否成立？若成立，请证明；若不成立，请探索当a，b，c，d满足何种条件时，该运算的结果是正确的． (3)是否存在非零实数a，b，c，使“非法运算”（II）的运算结果正确？若存在，求a，b，c应满足的条件；若不存在，请证明． 15．（2026·广东惠州·二模）项目式学习： 【研究背景】你知道古埃及人怎样表示分数吗？他们用分子是1、分母是某一自然数（0和1除外）的分数（即几分之一）作为分数单位，并用它们的和表示其他分数（除外），例如，他们想表示，不用“”，而是用“”来表示，我们把这种分子为1的真分数叫作“埃及分数”． (1)任务一【理解题意】三个不同的“埃及分数”的和表示可以是___________； (2)任务二【类比进阶】对于分数，如何用两个“埃及分数”表示呢？兴趣小组提出两种解法如下： 方法一：，，； 方法二：； 任选一种思路：将用两个“埃及分数”表示为________； (3)任务三【探究方法】兴趣小组进一步研究发现，对于任意分子为2的真分数，当分母为奇数时，可用两个“埃及分数”表示如下： ……① ……② ……③ …… 则根据上述规律，写出第⑥个等式为________，猜想第n个等式为________，并证明你的猜想． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 代数推理及证明 1．（2026·广东汕头·一模）小陆提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数，，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． 【举例验证】当，，则． 【推理证明】小陆同学做了如下的证明： 设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴(__________)． ∴一定是正整数的平方数·请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容： （1）请你补上小陆同学证明过程的空格所缺内容__________． 【类比探究】 （2）小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方，请证明该结论． 【答案】(1)（或） (2)证明见解析 【分析】（1）通过设连续正整数（），对进行因式分解，即可得到完全平方形式，从而补全空格． （2）类比（1）的方法，设且，对因式分解，证明其结果为完全平方数． 【详解】（1）证明：设， ∵，是连续的正整数， ∴． ∵， ∴或， ∴一定是正整数的平方数， 故空格处填（或）． （2）证明：设，是连续的正整数，且， ， ， ， 一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数． 2．（2026·安徽蚌埠·三模）综合与实践 【阅读材料】为四位数，因为，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，则能被3整除． 【问题提出】数学兴趣小组发现，通过一个数的各位数字之和判断这个数是否能被3整除比直接判断更方便．因此，他们想进一步探究能被11整除的四位数的数字规律． 【特例研究】先列出一些能被11整除的数：1023，1353，2805，3091，7194，8976，… 对上面这些数的各位数字直接相加，显然不具有规律性，那么尝试加法和减法相结合，是否具有规律呢？ 【规律探究】兴趣小组进行探究尝试，最终发现：上面所列的数都满足具有某种规律．由此提出猜想，并类比前面阅读材料中的方法尝试对猜想进行证明． （1）猜想：当，，，满足________________时，四位数能被11整除； （2）证明上述猜想． 【答案】(1)能被11整除 (2)证明： ， 因为和都能被11整除， 所以四位数能被11整除， 故当能被11整除时，能被11整除． 【分析】（1）根据所给数字探究即可； （2）把整理成解答． 【详解】（1）解：1023，，0能被11整除； 1353，，0能被11整除； 2805，，能被11整除； …； ∴当，，，满足能被11整除，四位数能被11整除； （2）略． 3．（2026·湖北恩施·模拟预测）[材料1]我们知道像12，27，36，45，108…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除． [材料2]若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3 整除． [材料3]设三位数n的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c（均为整数，且），记，数字和． [解决问题] （1）如果能被3整除，那么______（填“能”或“不能”）被3整除； （2）求证：一定能被3整除； （3）若三位数n是能被3整除的偶数，且满足，请直接写出3个符合条件的三位数n． 【答案】(1) 能 (2) 见解析 (3) 126，144，216（答案不唯一） 【分析】（1）根据，能被3整除，得到能被3整除，进而得到能被3整除； （2）求出，即可得出结论； （3）易得能被3整除，结合，且为偶数，作答即可． 【详解】（1）解：∵，且能被3整除， ∴能被3整除， ∵，都能被3整除， ∴能被3整除； （2）证明：∵，， ∴， ∵均能被3整除， ∴ 一定能被3整除； （3）解：∵能被3整除， ∴能被3整除， 又∵，且为偶数，， ∴可以为：126，144，216等． 4．（2026·山西临汾·三模）阅读与思考 下面是小敏同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． k阶和倍数定义：对于一个两位自然数，若它的个位数字，十位数字均不为0，且这个自然数等于其各位数字之和的k倍，则称这个两位数为“k阶和倍数”． 例如：两位数18，各位数字和，，则18为“2阶和倍数”． 若一个“k阶和倍数”的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）由定义可得：， 我们可以利用这个式子解决相关问题…… 任务： （1）45是“k阶和倍数”，则______； （2）若一个两位数是“k阶和倍数”，交换十位数字和个位数字得到的两位数是“m阶和倍数”，求的值； （3）若一个两位自然数p是“7阶和倍数”，求证：一定是42的倍数． 【答案】(1)5 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“k阶和倍数”的定义求解即可； （2）设原数为，则新数是，根据“k阶和倍数”的定义得到，据此化简即可求解； （3）设两位自然数的十位数字为，个位数字为，根据“7阶和倍数”的定义可得 ，化简得，故；要证明 是42的倍数，即证明 是42的倍数，只需证明 是2的倍数即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴45是“k阶和倍数”，则； （2）解：设原两位数的十位为a，个位为b（，且a，b为整数），则 原数：①． 交换十位数字和个位数字得到的新数是：②， 将：， ∴， ∵， ∴． 两边同时除以，得： ； （3）解：设两位自然数p的十位数字为a，个位数字为b（，且a，b为整数）， 由p是“7阶和倍数”，得：， 整理得： ，化简得， 因此 ， 对因式分解：代入 ，得：， 可知 是21的倍数， 又∵和 是两个连续整数， ∴它们的乘积一定是偶数，即 也是2的倍数， ∵2和21互质， ∴ 一定是的倍数， ∴一定能被42整除．即一定是42的倍数． 5．（2026·福建龙岩·二模）综合与实践：进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．例如，二进制的基数为2，各数位上的数字为0或1；四进制的基数为4，各数位上的数字为．我们熟知的十进制的基数为10，各数位上的数字为．说明：为了区分不同进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是六进制数235的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 各进制数之间可以进行互相转换．可把其他进制数转换为十进制数，例如，三进制数转换为十进制数：；六进制数转换为十进制数：．可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，即 素材2 若要将十进制数转换为其他进制数，则可逆用素材1中的等式．例如，十进制数27转换为二进制数：因为，所以，；将十进制数75转换为六进制数：因为，所以，． （1）①把二进制数转换为十进制数为__________； ②把十进制数22转换为三进制数为__________； （2）若与转换为十进制数的和能被5整除，且与转换为十进制数的和能被6整除（其中，，且，为整数），求的值； （3）若一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，求证：这个三进制数转换为十进制数能被2整除． 【答案】(1)①13；② (2) (3)见解析 【分析】（1）根据定义转换即可； （2）先把各数转换为十进制，结合整除计算可得，，再求和即可； （3）设三进制数为：，则进而判断即可． 【详解】（1）①； ②； （2），， ∴它们的和能被5整除， ， ，是整数， ∴当且仅当时，是5的倍数， ，， ∴它们的和能被6整除， ， 代入，得， ，是整数， ∴当且仅当时，是6的倍数， ，， ； （3）设三进制数为：（为正整数）， 则 ， ，，…，，，都是偶数，能被2整除， 又三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除， 即能被2整除， 能被2整除． ∴这个三进制数转换为十进制数能被2整除． 6．（2026·浙江温州·一模）【阅读理解】我国南宋时期数学家秦九韶著有《数书九章》,书中记载了“三斜求积术”,即根据三角形的三边长求面积的方法．如果将三角形的三边长分别记为a,b,c,那么三角形的面积公式为：． 【推导验证】 已知：如图,在中,记, ,． 求证：的面积 证明：过点A作于点D, 设,则, ∴, …… （1）请你继续完成上述推导． （2）【尝试应用】已知的三边长分别为,2,,请用“三斜求积术”求△ABC的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求出，得出，再根据三角形面积公式求出结果即可； （2）假设, ,，代入表达式，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点A作于点D， 设,则， ∴， ， ， ， 解得， ∴， ∴ ． （2）解：假设, ,，代入得： ． 7．（2026·浙江温州·模拟预测）【阅读资料】对任意的正奇数，都有两个连续的正整数和（），使得．由规律可得如下数表： ，，间的关系 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 … … … … 【特殊值验证】 （1）当时，请你求出和的值，并验证所得，，是否满足小温的猜想． 【一般化证明】 （2）小温对猜想的条件和结论分析如下，请你帮助小温完成证明过程． 已知：正奇数和两个连续的正整数和（）满足． 求证：． 证明：…… 【答案】(1)，，满足 (2)见解析 【分析】（1）根据题意得到，求出和的值，再验证和是否相等即可得出结论； （2）结合和，计算和，即可证明． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； ∵，，， ∴，， ∴， 即，，满足小温的猜想； （2）证明：由题意得，， ∵， ∴，， ∴． 8．（2025·浙江·模拟预测）观察连续两个正整数的立方差： ①； ②； ③ （1）写出第n个等式（为正整数），并给出证明． （2）问2025能否写成这样的两个连续正整数的立方差？如果能，请写出这两个正整数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)不能，理由见解析． 【分析】本题考查了规律的探究，涉及到实数的运算，整式的运算，解一元二次方程，正确理解题意，找出规律是关键． （1）仿照示例，写出第n个等式，对等式的左右两边分别化简，可得到结果； （2）根据示例，设，利用求根公式判断方程的整数根，得到结果． 【详解】（1）第n个等式为：， 证明：左边 ， 右边 ， 左边=右边， 等式成立； （2）不能写成两个连续正整数的立方差，理由如下： 设两个连续正整数为n和， 则， 令， ， ， 不是完全平方数，因此方程无整数解， 不能写成两个连续正整数的立方差． 10．（2025·江苏南京·三模）定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”． 如：，，则0和1都是“树人数”． （1）判断2，3是否为“树人数”？说明理由． （2）下列说法正确的序号有______． 任何一个奇数都是“树人数”； 任何一个偶数都是“树人数”； 任何一个被4整除的数是“树人数”； 任何一个被4除余2的数是“树人数”． （3）已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”． 【答案】(1)2不是“树人数”，3是“树人数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查整数的平方差的表示形式即“树人数”的定义，涉及数的奇偶性的分析、代数恒等变形等知识点 （1）利用假设法求证2，若求出的结果符合题意就是“树人数”，反之则不是，，因此可得出3是“树人数”； （2）分析奇数、偶数、被4整除的数等不同类别是否满足树人数的条件； （3）利用平方差乘积的恒等变形，将两个树人数的乘积表示为新的平方差的形式． 【详解】（1）解：不是“树人数”，3是“树人数”， 理由：假设存在整数a，b，使得，则：， 因数分解可能为或， 或，解得：或非整数，矛盾， 不是“树人数”， ， 是“树人数”； （2）①设奇数，令，，则：，故①正确， ②由（1）中2不是“树人数”得出②错误， ③设被4整除的数是4k，令，，则：则：，故③正确， ④设被4除余2的数是，若存在a，b使得， ∴若a，b同奇偶，则为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则为奇数，矛盾，故④错误， 故答案为：①③； （3）证明：，b是“树人数”． 设，是整数 或 ，n，p，q是整数． ，，，都是整数． 能写成两个整数的平方差的形式． 是“树人数”． 11．（2025·河南郑州·三模）小伍提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为某个正整数的平方． （1）举例验证：当，，则______；（请你补上空格所缺内容）； （2）推理证明：小陆同学做了如下的证明： 设， ，是连续的正整数， ． ， ______． 一定是正整数的平方数请你补上小陆同学的证明过程的空格所缺内容； （3）类比探究： 小柒同学类比小陆同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正整数的平方”，请证明该结论． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查利用完全平方公式，整式的乘法等知识，掌握完全平方公式和整式乘法是解题的关键． （1）代入计算，求算术平方根即可； （2）将整体代入消元即可得解； （3）将整体代换消元即可得解． 【详解】（1）解：当，时， ， 故答案为：； （2）设， ，是连续的正整数， ， ， ， 一定是正整数的平方数， 故答案为：； （3）证明：设，是连续的正整数，且， ， ， ， 一定是平方数，即任意两个连续正整数的乘积与较小数的差为平方数． 12．（2026·江苏盐城·二模）若一个四位数的各数位上的数字互不相等且满足，则称这个四位数为“友善四位数”．例如：四位数，因为，所以四位数是友善四位数． (1)判断 是不是友善四位数，并说明理由； (2)已知四位数（千位数字为，十位数字为）是友善四位数，则这个友善四位数是________； (3)若是一个友善四位数，将的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到一个新的四位数，求证：能被整除． 【答案】(1)解：是“友善四位数”，理由如下： ∵四位数， ∴各数位数字为， ∴各数位数字互不相等， 又∵ ，，满足， ∴是友善四位数； (2)或 (3)证明：∵，， ∴，， ∴， 整理得，， ∵是友善四位数， ∴， ∴， ∵都是整数， ∴能被整除，即能被1111整除． 【分析】（）根据“友善四位数”的定义判断即可求解； （）根据“友善四位数”的定义可得 ，再结合数字的取值范围和各数位互不相等的条件，枚举得到符合要求的四位数即可； （）将和分别用代数式表示，相加后结合化简，可得到是与整数的乘积，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵四位数是友善四位数， ∴， ∴， ∵都是的整数，且四个数位数字互不相等， ∴，即， 当时，，得到四位数，各数位互不相等，符合要求； 当时，，与千位数字重复，不符合要求，舍去； 当时，，得到四位数，各数位互不相等，符合要求； ∴这个友善四位数是或， 故答案为：或； （3）略 13．（2026·浙江杭州·二模）综合与实践 【新知理解】 对于任意实数x，y，都有． 证明方法如下： 因为，所以． 【类比发现】 小聪提出猜想：对于正实数x，y，可能存在的关系．对此，小亮和小敏都想到用作差法进行探究： 小亮： 小敏： (1)请你选择其中一人的方法完成探究，并判断小聪的猜想是否正确． (2)【简单应用】已知正实数x，y满足，求证：． 【答案】(1)解：选择小亮的方法探究，过程如下： ∵x、y为正实数， ∴，且， ∴， 即， ∴，小聪的猜想正确． 选择小敏的方法探究，过程如下： ， ∵x、y为正实数， ∴，且， ∴， 即， ∴，小聪的猜想正确． (2)证明：由（1）可知，任意正实数x、y都满足， 不等式两边同时除以正实数，不等号方向不变，可得： 化简左边得， 化简右边得， 即， ∵正实数x、y满足， ∴， ∴． 【分析】（1）先因式分解得到，然后利用非负数性质得到，进而可判断小聪的猜想正确； （2）根据不等式的性质得到，进而推导出，利用得到，进而可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 14．（2026·福建莆田·模拟预测）小明翻开自己小学时的作业本，发现如下三道练习题的解答： 他发现有些运算结果错了，也有些运算结果歪打正着是对的．他将此事分享给班级数学兴趣小组，兴趣小组“错”中取义，对这三题解答过程中的运算结果的正确性进行探究，他们从练习②、③的计算过程中提炼出以下两个“非法运算”规则． “非法运算”（I）：对于非零实数a，b，c，d（其中），则 “非法运算”（II）：对于非零实数a，b，c（其中），则． (1)三道练习中，运算结果正确的是______________；（填序号） (2)判断“非法运算”（I）规则是否成立？若成立，请证明；若不成立，请探索当a，b，c，d满足何种条件时，该运算的结果是正确的． (3)是否存在非零实数a，b，c，使“非法运算”（II）的运算结果正确？若存在，求a，b，c应满足的条件；若不存在，请证明． 【答案】(1)①② (2)解：， ， ， ， ， 故结论不成立， 当a，b，c，d满足时，运算结果是正确的． (3)解：若不成立，理由如下： 根据题意，得， 非零实数a，b，c， ， ， ， ， 故方程没有实数根， 故结论不成立． 【分析】（1）根据有理数的混合运算，计算判断即可； （2）根据实数的混合运算，解答即可． （3）利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：，故①正确；，故②正确； ，故③错误． （2）略 （3）略 15．（2026·广东惠州·二模）项目式学习： 【研究背景】你知道古埃及人怎样表示分数吗？他们用分子是1、分母是某一自然数（0和1除外）的分数（即几分之一）作为分数单位，并用它们的和表示其他分数（除外），例如，他们想表示，不用“”，而是用“”来表示，我们把这种分子为1的真分数叫作“埃及分数”． (1)任务一【理解题意】三个不同的“埃及分数”的和表示可以是___________； (2)任务二【类比进阶】对于分数，如何用两个“埃及分数”表示呢？兴趣小组提出两种解法如下： 方法一：，，； 方法二：； 任选一种思路：将用两个“埃及分数”表示为________； (3)任务三【探究方法】兴趣小组进一步研究发现，对于任意分子为2的真分数，当分母为奇数时，可用两个“埃及分数”表示如下： ……① ……② ……③ …… 则根据上述规律，写出第⑥个等式为________，猜想第n个等式为________，并证明你的猜想． 【答案】(1) （答案不唯一） (2) （答案不唯一） (3) ，， 证明：右边 左边． 【分析】（1）根据即可求解； （2）方法一：先找出小于的“埃及分数”，再用减去这个“埃及分数”，看结果是否为“埃及分数”即可；方法二：先将的分子分母扩大相同倍数，再将分子拆成两个数的和，然后分别化简即可； （3）观察已知等式，找出等式中分子与分母变化 规律，进而根据规律写出第⑥和第n个等式，并进行证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴将用三个“埃及分数”表示为（答案不唯一）； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：∵ ∴将用两个“埃及分数”表示为； （3）解：观察已知的等式，发现等式左边的分子都要是2，依次为3，5，7，…，是连续的奇数，第n个等式左边的分母为 ；等式右边第一个分数的分母依次为2，3，4，…，第n个等式右边第一个分数的分母为，第二个分数的分母为等式左边的分母与右边第一个分数分母的乘积，即， 所以第⑥个等式中，，左边分母为，右边第一个分数的分母为，第二个分数的分母为， ∴第⑥个等式为； 根据上述规律，猜想第n个等式为， 证明略 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $