第六单元 因数与倍数（16知识点+80道题）-2026-2027学年五年级数学上册典型例题系列（苏教版·新教材）

**基本信息** 以因数与倍数概念为核心，按“认识-特征-应用”逻辑递进，覆盖16个考点，融合生活情境题，培养抽象能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|考点1-2|填空辨析|从因数倍数定义出发，构建概念认知| |特征应用|考点3-6|实际问题|结合找因数倍数特征，解决分组、包装等问题| |特殊数|考点7-10|综合判断|2/3/5倍数、奇偶数、质合数概念延伸与应用| |质因数|考点11-12|分解运算|质因数含义到分解质因数方法的衔接| |公因数公倍数|考点13-16|问题解决|从概念到最大公因数、最小公倍数的实际应用|

第六单元 因数与倍数 专项练习 目录 考点一：因数和倍数的认识 1 考点二：找一个数的因数和因数的特征 2 考点三：根据因数的特征解决问题 3 考点四：找一个数的倍数和倍数的特征 7 考点五：根据倍数的特征解决问题 9 考点六：因数和倍数的综合运用 12 考点七：2、3、5的倍数的特征 15 考点八：奇数与偶数的认识 18 考点九：质数与合数的认识 20 考点十：质数与合数的综合应用 22 考点十一：质因数的含义 25 考点十二：分解质因数 27 考点十三：公因数与最大公因数 31 考点十四：用最大公因数解决实际问题 33 考点十五：公倍数与最小公倍数 36 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 42 考点一：因数和倍数的认识 1．一个自然数既是6的倍数，又是6的因数，这个数是( )。 【答案】6 【分析】一个数最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，据此解答。 【详解】分析可知：一个自然数既是6的倍数，又是6的因数，这个数是6。 2．一个数最小的倍数是30，它有( )个因数。 【答案】8 【分析】根据倍数的特征，一个数最小的倍数是它本身，由此确定这个数是30。再根据找因数的方法，通过乘法算式一对一对地找出30的所有因数，最后统计因数的个数。 【详解】因为一个数最小的倍数是30，所以这个数是30。 30＝1×30 30＝2×15 30＝3×10 30＝5×6 所以30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，共8个。 3．32的最小倍数是( )，最大因数是( )。 【答案】 32 32 【分析】一个数的最小倍数是它本身，一个数的最大因数也是它本身，据此直接得出结果。 【详解】由一个数的最小倍数是它本身，一个数的最大因数也是它本身，可得32的最小倍数是32，最大因数是32。 4．在24÷3＝8中，( )和( )是( )的因数；在5×3＝15中，( )是( )和( )的倍数。 【答案】 3 8 24 15 5 3 【分析】在能整除的整数除法中，除数和商就是被除数的因数，被除数就是除数和商的倍数；乘法算式中，积就是两个乘数的倍数，两个乘数是积的因数。 【详解】根据分析：除数和商是被除数的因数，所以3和8是24的因数；积是乘数的倍数，即15是3和5的倍数。 5．根据8×5＝40可知，( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 【答案】 40 8 5 8 5 40 【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 【详解】根据8×5＝40可知，（40）是（8）和（5）的倍数，（8）和（5）是（40）的因数。 考点二：找一个数的因数和因数的特征 6．一个数既是30的因数，又是5的倍数，这个数最大是( )。 【答案】30 【分析】30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30，5的倍数有5，10，15，20，25，30……，据此解答。 【详解】一个数既是30的因数，又是5的倍数，这个数最大是30。 7．一个数既是36的因数，又是4的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 4 36 【分析】根据求一个数因数的方法和求一个数倍数的方法，列出36的全部因数，36以内4的倍数，即可解答。 【详解】36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36； 4的倍数有：4，8，12，16，20，24，28，32，36； 一个数既是36的因数，又是4的倍数，这个数最小是4，最大是36。 8．《红楼梦》是中国古典四大名著之首，是清代作家曹雪芹创作的章回体长篇小说。《红楼梦》中描写了“金陵十二钗”，12的全部因数有( )，其中( )是合数，( )是偶数。 【答案】 1，2，3，4，6，12 4，6，12 2，4，6，12 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 【详解】12＝1×12＝2×6＝3×4 12的全部因数有1，2，3，4，6，12，其中4，6，12是合数，2，4，6，12是偶数。 9．24的因数有( )个，它的最小倍数是( )。 【答案】 8 24 【分析】把24分解成因数相乘的形式，找出因数的个数即可。一个数的最小倍数就是它本身，那么24的最小倍数就是24。据此可以解答。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 那么24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，24的因数有8个。它的最小倍数是24。 10．一个数除了它自身以外的所有因数之和是它的本身，这个数叫作完全数。例如6＝1＋2＋3，则它为完全数。请你再找出一个完全数，写出计算过程：( )。 【答案】28＝1＋2＋4＋7＋14 【分析】找出一个数的因数，把除了它本身以外的因数相加，如果等于这个数。那么这个数就是完全数。 【详解】举例：28的因数有1，2，4，7，14，28。 28＝1＋2＋4＋7＋14 28是完全数。（答案不唯一） 考点三：根据因数的特征解决问题 11．非遗文化进校园，同学们制作剪纸作品，一共制作了48幅作品，要把这些作品贴在展板上，每行贴的数量相同，且不少于6幅，不多于16幅，有几种贴法？分别每行贴多少幅作品？ 【答案】4种； 6、8、12、16幅 【分析】作品总数固定为 48 幅，且每行贴的数量相同，说明每行贴的数量必须是48的因数。题目还限制了每行贴的数量范围是不少于6幅且不多于16幅。先有序地找出48的所有因数，然后根据给定的范围（每行贴的数量范围是不少于6幅且不多于16幅）进行筛选，符合条件的因数个数即为贴法的种数，具体的因数即为每行贴的作品数量。 【详解】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 根据条件“不少于6幅，不多于16幅” 在48的因数中，大于或等于6且小于或等于16的数有：6、8、12、16。 符合条件的因数共有4个，所以对应有4种贴法。 答：有4种贴法，分别每行贴6、8、12、16幅作品。 12．妈妈买了54个桔子，让昭昭把桔子放入水果盘中，要求每次拿的个数相同，但不能一个一个拿，也不许一次拿超过9个，拿到最后一个不剩，昭昭有几种不同的拿法？每种拿法每次拿几个？ 【答案】4种；每次拿2个、3个、6个、9个 【分析】根据题意，昭昭拿的个数是54的因数。用除法找出54的因数，再找出符合题意的因数，再统计拿的种数。 【详解】54÷1＝54 54÷2＝27 54÷3＝18 54÷6＝9 54的因数有1，2，3，6，9，18，27，54。 符合条件的因数有2，3，6，9。 答：昭昭有4种拿法；分别是每次拿2个，3个，6个，9个。 13．游客刘阿姨购买了24包白水贡糖，刘阿姨希望用精致礼品袋包装，且每个袋子所装的数量要相同。她有几种装法？每种装法分别需要多少个袋子？ 免费打包服务 6包以下用普通包装袋包装， 6包及6包以上可用精致礼品袋包装。 普通包装 1－5包/袋 精致礼品包装 6－15包/袋 【答案】3种装法。每袋6包需4个袋子；每袋8包需3个袋子；每袋12包需2个袋子 【分析】先通过列乘法算式找出24的所有因数，确定每袋可能装的数量；然后根据表格中“精致礼品包装”每袋6至15包的限制条件，筛选出符合要求的每袋包数；最后用总包数除以每袋包数，求出每种装法所需的袋子数量。 【详解】24＝1×24 24＝2×12 24＝3×8 24＝4×6 24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。 在24的因数中，符合6至15范围的数有：6、8、12，所以共有3种装法。 每袋装6包：24÷6＝4（个） 每袋装8包：24÷8＝3（个） 每袋装12包：24÷12＝2（个） 答：她有3种装法，每袋6包需4个袋子，每袋8包需3个袋子，每袋12包需2个袋子。 14．在第55个世界地球日，某小学准备了一条长36米的彩带用来悬挂宣传海报，现在把这条彩带剪成同样长的小彩带，每条小彩带的长度为整米数，且小彩带数量大于1条。最少能剪成几条，最多能剪成几条？ 【答案】 最少能剪成2条；最多能剪成36条 【分析】彩带总长度是36米，每条小彩带长度是整米数，说明小彩带的条数是36的因数。结合小彩带数量大于1条的条件，找出36的因数中大于1的最小值和最大值即可。 【详解】36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36 符合条件的小彩带条数有：2，3，4，6，9，12，18，36。其中最小的数是2，最大的数是36。 （米） （米） 答：最少能剪成2条，最多能剪成36条。 15．水晶饼是陕西名点，具有“金面银帮，起皮掉酥”的外观特征，口感油而不腻、甜润清香。某甜品店新鲜出炉了52个水晶饼，店里现有三款包装盒：A款每盒装4个；B款每盒装6个；C款每盒装8个。应该选用哪款包装盒正好能把52个水晶饼装完？ 【答案】A款 【分析】水晶饼的总数量52必须是每盒装数量的倍数，即每盒装的数量必须是52的因数，据此分析解答。 【详解】A款：52÷4＝13（盒） B款：52÷6＝8（盒）……4（个） C款：52÷8＝6（盒）……4（个） 52÷4没有剩余，所以应该选择A款包装盒。 答：应该选用A款包装盒正好能把52个水晶饼装完。 考点四：找一个数的倍数和倍数的特征 16．一个数是56的因数，也是7的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 【答案】 7 56 【分析】先列出56的所有因数，再从中找出7的倍数。 【详解】56的所有因数：1、2、4、7、8、14、28、56； 从这些因数中筛选出7的倍数，得到：7、14、28、56； 因此这个数最小是7，最大是56。 17．玲玲的年龄是12岁，弟弟的年龄是9岁。12的最大因数是( )，最小倍数是( )。9的倍数中小于50的数有( )个。 【答案】 12 12 5 【分析】一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身。用乘法找出9的倍数，再找出小于50的数即可。 【详解】12的最大因数是12，最小倍数是12。 9×1＝9 9×2＝18 9×3＝27 9×4＝36 9×5＝45 9×6＝54⋯ 9的倍数中小于50的数有9，18，27，36，45。共5个。 18．《三十六计》或称《三十六策》，是指中国古代三十六个兵法策略。其中数字36的最大因数是( )；比36小的两位数中，既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。 【答案】 36 12、18、24、30 【分析】一个数最大的因数是它本身。既是2的倍数又是3的倍数的数，是6（2×3＝6）的倍数，需要找出比36小的两位数，也就是从10到35之间所有6的倍数。 【详解】36的最大因数是36。 在10~35之间，6的倍数有12（6×2＝12）、18（6×3＝18）、24（6×4＝24）、30（6×5＝30），所以既是2的倍数，又是3的倍数的有12、18、24、30。 19．课间游戏。翩鹊和同学们玩“抱团”游戏，口令为几，就几个人抱成一团。同学们发现当抱团口令为6或8时，每个人都可以抱团成功。抱团游戏的人数在20和30人之间，有( )人在玩游戏。 【答案】24 【分析】“同学们发现当抱团口令为6或8时，每个人都可以抱团成功”说明抱团游戏的人数既是6的倍数又是8的倍数，因为抱团游戏的人数在20和30人之间，找到在20到30之间两个数共同的倍数即是抱团游戏的人数。 【详解】6的倍数：6、12、18、24、30、36……； 8的倍数：8、16、24、32、40、48……； 抱团游戏的人数在20和30人之间； 所以，有24人在玩游戏。 20．一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是7的最小倍数，个位上是2和3的倍数，这个数是( )。 【答案】476 【分析】先分别确定这个三位数的百位、十位、个位上的数字，再将它们组合起来得到这个三位数。 合数是指除了1和它本身以外还有其他因数的数。最小的合数是4，所以百位上的数字是4 。一个数的最小倍数是它本身，7的最小倍数是7，所以十位上的数字是7。个位上的数字是一位数，且是2和3的倍数。2和3的倍数即6的倍数，一位数中6的倍数是6，所以个位上的数字是6，由此可得到这个数。 【详解】由分析可知，这个数是476。 考点五：根据倍数的特征解决问题 21．剧院有25排座位，第一排有22个座位，后面每一排总比前一排多2个座位。算一算，这个剧院一共有多少个座位？ 【答案】1150个 【分析】根据题意，第一排有22个座位，后面每一排总比前一排多2个座位，那么第二排就是24个，第三排26个，根据此规律，第25排比第一排多了24个2，所以第25排座位数就是70个，然后再把第一排和第25排相加也就是92个，第二排和第24排座位数之和也是92个，这样两两相加一共有25÷2＝12（组）……1（排），余下的那一排正好是中间的第13排，最后将12组之和加上第13排座位数就是总座位数。 【详解】第一排     22 第二排     22＋2 第三排     22＋2×2 第四排     22＋2×3 …… 由此规律可得第25排座位数量： 22＋2×24 ＝22＋48 ＝70（个） 第一排跟第25排数量之和为：22＋70＝92（个）， 第二排跟第24排数量之和为：24＋68＝92（个）， 第三排跟第23排数量之和为：24＋68＝92（个）， 由此推断25÷2＝12（组）……1（排），余数1排也就是第13排， 第13排座位数量： 22＋2×12 ＝22＋24 ＝46（个） 92×12＋46 ＝1104＋46 ＝1150（个） 答：这个剧院一共有1150个座位 【点睛】本题考查倍数，后面每一排总比前一排多2个座位，多的座位数都是2的倍数，还考查如何寻找数字之间的规律，以及如何利用规律就行简算，比如此题，除了要知道排与排之间的规律，还要观察出前排和后排数量之和的规律，所以我们在做题时，一定要善于观察并且运用规律。 22．4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 【答案】2人；4人 【分析】根据题意，五年级有526人，分成6人一组，如果总人数是6的倍数，则刚好分完；用总人数除以6，商是分成的组数，有余数，用6减去余数，即是至少需要再来的人数，去掉余数即是至少减少的人数。 【详解】526÷6＝87（组）……4（人） 6－4＝2（人） 答：至少需要再来2人就可以正好6人一组，至少减少4人也正好6人一组。 23．小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 【答案】小明14岁；爸爸42岁 【分析】列举出42的因数、2的倍数、7的倍数，从2、7的倍数中找出既是2的倍数又是7的倍数的数，再从中找出既是14的倍数又是42的因数的数，即可求解。 【详解】42的因数：1，2，3，6，7，14，21，42； 2的倍数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，…； 7的倍数：7，14，21，28，35，42，49，56，…； 既是2的倍数又是7的倍数有：14，28，42，…； 其中既是14的倍数，又是42的因数的数是42。 所以小明今年14岁，爸爸今年是42岁。 答：小明今年14岁，爸爸今年42岁。 24．五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 【答案】42、49棵 【分析】根据求一个数的倍数，求出7的倍数，又因为小树苗的数量在40～50棵之间，结合题意即可求出这批小树苗可能有多少棵。 【详解】7的倍数有7、14、21、28、35、42、49、56…… 其中40～50之间的数是42、49。 答：这些小树苗可能有42、49棵。 25．金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 【答案】181本 【分析】先找出100到200之间，24的倍数有哪些，然后分别加上13，找出得数在100到200之间最大的数即可解答。 【详解】100到200之间24的倍数有：120，144，168，192； （本） （本） （本） （本） 其中，205＞200，100到200之间，181＞157＞133。 答：参与共享的图书最多有181本。 考点六：因数和倍数的综合运用 26．15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？ 【答案】可以分给3个人，每人分5支；或分给5个人，每人分3支；有2种分法 【分析】每人发的一样多，这个表示人数和每人分到的铅笔数都必须是15的因数，即人数每人分到的支数＝，所以要先找的因数；再根据题目条件筛选，“每人不止支”意味着每人分到的铅笔数必须大于，即不能人每人支；“几个人”说明人数大于人，即不能人分支。从而确定最终的分法数量。 【详解】的因数有：，，，。 根据题意“每人不止1支”和“几个人”，排除因数（人分支）和（人每人支），还剩两种情况。 方案1：分给个人，（支），即每人分支； 方案2：分给个人，（支），即每人分支； 答：可以分给个人，每人支；或者分给个人，每人支； 一共种分法。 27．食品店里做了66个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把66个月饼装完？（请用因数、倍数的知识说明。） 【答案】B包装，说明见详解 【分析】如果一个数能整除66，那么这个数就是66的因数，对应的包装盒就能正好装完。据此解答即可。 【详解】A包装：66÷4＝16……2，有余数，说明66不能被4整除，所以用A包装盒，装16盒，剩下2个。 B包装：66÷6＝11，没有余数，说明66能被6整除，所以用B包装，装11盒。 C包装：66÷8＝8……2，有余数，说明66不能被8整除，所以用C包装，装8盒，剩下2个。 答：选用B包装盒正好能把66个月饼装完。 28．星源小学举行武术操比赛，每一个参赛方队站2~4列，每一列的人数必须都相等。一个方队有多少名同学？下面几个人中只有一个是对的，谁说得对？请写出你的理由。 【答案】45名同学；小贝说得对；理由见详解 【分析】由题中所说每一个参赛方队站2~4列，总人数＝列数×每列人数，所以总人数一定为合数。由41和43均为质数，45是合数，可知一共多少名同学，谁说的是对的。 【详解】因为每一个参赛方队站2~4列， 所以总人数一定为2或3或4的倍数， 所以总人数一定是合数。 因为41和43都是质数，45是合数，45＝3×15， 所以一个方队有45名同学，小贝说的是正确的。 29．如图，5个小朋友按媛媛、姗姗、凯凯、兰兰、星星、媛媛……的顺序从1开始依次报数。像这样一直报下去，谁会报到35的因数？这些因数分别由谁报出？ 【答案】媛媛、姗姗、星星会报到35的因数。35的因数有1，5，7，35，所以媛媛报1、星星报5和35、姗姗报7。 【分析】根据题意，先用乘法求出35的因数，再据此判断是由哪位小朋友报出即可。 【详解】因为，所以35的因数有：1，5，7，35。 媛媛报1，星星报5，姗姗报7，又因为5个小朋友一个循环，35是5的倍数，所以星星也会报到35。 答：媛媛、姗姗、星星会报到35的因数。35的因数有1，5，7，35，所以媛媛报1、星星报5和35、姗姗报7。 30．今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 【答案】9元或63元 【分析】先找出9的倍数，再根据一个数最大的因数是它本身，从9的倍数中判断63的因数。 【详解】由分析得， 9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63…… 9×1＝9 63＝9×7 答：爸爸给乐乐的红包里可能是9元或63元。 【点睛】此题考查的是找一个数的因数和倍数的方法，掌握一个数最大的因数是它本身是解题关键。 考点七：2、3、5的倍数的特征 31．从0、2、6、7中任选三个数组成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数分别是：__________（请写出所有的可能）。 【答案】720，270 【分析】能同时被2、3、5整除的数，需要满足两个条件：一是个位数字为0（同时被2、5整除的特征），二是各位数字之和是3的倍数（被3整除的特征）。需要从0、2、6、7中选出包含0的三个数字，且另外两个数字与0的和是3的倍数，再组成三位数。 【详解】先确定个位必须是0，再从2、6、7中选两个数和0相加： 选2和7：2＋7＋0＝9，9是3的倍数，可组成270、720； 选2和6：2＋6＋0＝8，8不是3的倍数，排除； 选6和7：6＋7＋0＝13，13不是3的倍数，排除。 所以符合条件的三位数是270、720。 32．161至少减去( )同时是2、3、5的倍数；89至少加( )就是3和5的倍数。 【答案】 11 1 【分析】根据3的倍数特征：所有数位上的数相加的和是3的倍数，则这个数是3的倍数；2的倍数特征：个位上的数是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上是0、5的数；所以个位上是0的数，同时是2和5的倍数；据此解答。 【详解】同时是2、3、5的倍数，说明所有数位上的数相加的和是3的倍数且个位上是0；161要变成个位上的数是0，可以减去1、11、21…… 如果161－1＝160，1＋6＋0＝7，7不是3的倍数，所以不符合题意； 如果161－11＝150，1＋5＋0＝6，6÷3＝2，6是3的倍数，符合题意； 所以综上所述，161至少要减去11，得到161－11＝150，150同时是2、3、5的倍数； 同时是3和5的倍数，即说明所有数位上的数相加的和是3的倍数且个位上的数是0或5，8＋9＝17，17不是3的倍数，89加1得90，9＋0＝9，9是3的倍数，所以至少加1，即89＋1＝90，90就是3和5的倍数。 33．把下面各数按要求填入对应括号里面。 6    9    31    45    110    97    780    248    37 奇数( )；偶数( )；质数( )；合数( )；能被2整除( )；能被3整除( )；能被5整除( )；能被2、3、5整除( )。 【答案】 9，31，45，97，37 6，110，780，248 31，97，37 6，9，45，110，780，248 6，110，780，248 6，9，45，780 45，110，780 780 【分析】不能被2整除的自然数是奇数，能被2整除的自然数是偶数；大于1的自然数中，只有1和自身2个因数的是质数，除1和自身外还有其他因数的是合数；2的倍数个位为0、2、4、6、8，3的倍数各位数字之和是3的倍数，5的倍数个位为0或5，据此逐个数字分析属性。 【详解】6：能被2整除→偶数；因数有1、2、3、6→合数；个位是6、各位和为6，能被2、3整除 9：不能被2整除→奇数；因数有1、3、9→合数；各位和为9，能被3整除 31：不能被2整除→奇数；因数只有1、31→质数 45：不能被2整除→奇数；因数有1、3、5、9、15、45→合数；各位和为9、个位为5，能被3、5整除 110：能被2整除→偶数；因数有1、2、5、10、11、22、55、110→合数；个位为0，能被2、5整除 97：不能被2整除→奇数；因数只有1、97→质数 780：能被2整除→偶数；因数除1和自身外还有多个→合数；个位为0、各位和为15，能被2、3、5整除 248：能被2整除→偶数；因数除1和自身外还有多个→合数；个位为8，能被2整除 37：不能被2整除→奇数；因数只有1、37→质数 奇数：9、31、45、97、37 偶数：6、110、780、248 质数：31、97、37 合数：6、9、45、110、780、248 能被2整除：6、110、780、248 能被3整除：6、9、45、780 能被5整除：45、110、780 能被2、3、5整除：780 34．丽丽期末考试得了九十多分，她的分数既是2的倍数，又是3的倍数，丽丽得了_____分；要使8□0同时是2、3和5的倍数，□内最小填_____，最大填_____。 【答案】 96 1 7 【分析】2、3、5的倍数特征：2的倍数个位是偶数，3的倍数各位数字和是3的倍数，5的倍数个位是0或5。丽丽分数是九十多分（90~99之间），同时是2和3的倍数，也就是6的倍数。九十多范围内，仅96满足个位是偶数，且9＋6＝15是3的倍数，因此得96分。8□0的个位是0，已经满足同时是2和5的倍数，只需要满足是3的倍数即可。各位数字和为8＋□＋0＝8＋□，□是0~9的一位数，要使8＋□是3的倍数，符合条件的□有1、4、7，因此最小填1，最大填7。 【详解】9＋6＝15 8＋□＋0＝8＋□ 当时□＝1，8＋1＝9，是3的倍数； 当时□＝1，8＋4＝12，是3的倍数； 当时□＝1，8＋7＝15，是3的倍数； 丽丽期末考试得了九十多分，她的分数既是2的倍数，又是3的倍数，丽丽得了96分；要使8□0同时是2、3和5的倍数，□内最小填1，最大填7。 35．文具店有一批不同样式的书包，其价格既是2的倍数，又是3和5的倍数，这批书包中最低价格是( )元，如果书包的价格不超过100元，有( )种价格。 【答案】 30 3/三 【分析】要同时满足是2、3、5的倍数，首先2和5的倍数个位一定是0，再满足各位数字之和是3的倍数，最低价格就是2、3、5的最小公倍数30；接着找出100以内30的倍数，确定个数即可。 【详解】2和5的倍数：个位必须是0； 3的倍数：各位数字之和是3的倍数。 2、3、5的最小公倍数是30，所以这批书包中最低价格是30元。 100以内30的倍数有：30、60、90，共3种。 考点八：奇数与偶数的认识 36．平平家的门锁密码是一个六位数，记为：ABCDEF。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C是最小的自然数，D是10以内最大的合数，E只有因数1和5，F是一位数中最大的偶数，平平家的门锁密码是( )。 【答案】420958 【分析】因数只有1和它本身的数是质数。除了1和它本身还有其它的因数的数是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。这六个数的每个数字是0到9之间的数字。偶数是能被2整除的数。 【详解】A是最小的合数：4； B是最小的质数：2； C是最小的自然数：0； D是10以内最大的合数：9； E只有因数1和5：1×5＝5； F是一位数中最大的偶数：8； 门锁密码是420958。 37．（在自然数范围内）一个数是由最小的奇数、最小的偶数、最小的质数、最小的合数组成的最大四位数，这个数是( )。 【答案】4210 【分析】不能被2整除的自然数是奇数，能被2整除的自然数是偶数，只有1和自身两个因数的数是质数，除1和自身外还有其他因数的数是合数，据此找出对应数字后，将数字从大到小排列得到最大四位数。 【详解】最小的奇数是1，最小的偶数是0，最小的质数是2，最小的合数是4；组成的最大的四位数是4210。 38．小明在做“用橡皮筋驱动小车”实验时，分别记录了橡皮筋绕三种不同圈数时小车行驶的距离，小明发现3次距离正好是3个连续的偶数，3次距离总和是24米，最长的一次是( )米。 【答案】10 【分析】已知3个连续偶数的和是24，根据连续偶数的特征，相邻两个偶数相差2，这三个数呈等差数列，中间那个数等于这三个数的平均数。先求出中间的偶数，再加2即可求出最大的偶数。 【详解】因为3次距离是3个连续的偶数，所以相邻两个偶数相差2。中间的偶数（即平均数）为：24÷3＝8（米），最大的偶数（即最长的一次距离）为：8＋2＝10（米） 验证：这三个连续偶数分别是 6、8、10，6＋8＋10＝24，符合题意。所以最长的一次是10米。 39．在15、8、9、2和1中，最大的合数是( )，最小的奇数是( )，最大的偶数是( )。 【答案】 15 1 8 【分析】合数：除了1和它本身外还有其他因数的自然数（1不是合数）。 奇数：不能被2整除的自然数。 偶数：能被2整除的自然数。 【详解】①15的因数有1，3，5，15； 8的因数有1，2，4，8； 9的因数有1，3，9； 2和1不是合数； 所以，其中最大的合数是15。 ②15、9、1是奇数，其中最小的是1。 ③8、2是偶数，其中最大的是8。 40．已知有五个连续的奇数，中间的一个数是a，则其中最小的数是( )，最大的数是( )，这五个数的和是( )。 【答案】 a－4 a＋4/4＋a 5a 【分析】连续的奇数相差2，中间的一个数是a，则与中间数相邻的两个奇数分别是a－2和a＋2，最小的奇数和最大的奇数分别是a－4和a＋4，最后用加法表示出这五个数的和。 【详解】分析可知，按照从小到大的顺序排列，这五个数分别是a－4、a－2、a、a＋2、a＋4。 a－4＋a－2＋a＋a＋2＋a＋4 ＝a＋a＋a＋a＋a－4－2＋2＋4 ＝（a＋a＋a＋a＋a）－（4＋2－2－4） ＝5a－0 ＝5a 最小的数是a－4，最大的数是a＋4，这五个数的和是5a。 考点九：质数与合数的认识 41．《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是( )，最小倍数是( )，108的所有因数中，质数有( )。 【答案】 108 108 2，3 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，把108分解质因数是：108＝2×2×3×3×3，所以108的所有因数中，质数有2和3，据此解答。 【详解】由分析可得：108的最大因数是108，最小倍数是108，108的所有因数中，质数有2和3。 42．一个数亿位上的数是最大的一位数，万位上的是最小的合数，十位上是最小的质数，其余各位上都是0，这个数写作( )，省略亿后面的尾数约是( )。 【答案】 900040020 9亿 【分析】（1）最大的一位数是9，最小的合数是4，最小的质数是2，根据整数的写法，从高位到低位，一级一级的写，哪一个数位上一个单位也没有，就在这个数位上写0，据此写出这个数； （2）省略“亿”后面的尾数就是先根据千万位上的数字进行“四舍五入”，再把亿位后面的数字去掉，在数的后面加上一个“亿”字，据此解答。 【详解】最大的一位数是9，最小的合数是4，最小的质数是2； 写作：900040020 900040020≈9亿 这个数写作900040020，省略亿后面的尾数约是9亿。 43．用4、5、6三张数字卡片组成两位数，有( )种可能的结果，把最小的两位数写成质数相乘的形式是( )。 【答案】 6 45＝3×3×5 【分析】十位上是4，可以组成45，46；十位上是5，可以组成54，56；十位上是6，可以组成64，65。 最小的两位数是45。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。 【详解】用4、5、6三张数字卡片组成两位数，可以组成45，46，54，56，64，65。共6个。 其中，最小的是45，45＝3×3×5。 44．一个四位数的千位上是最小的质数，百位上是最小的偶数，十位上是10以内最大的合数，个位上是最小的奇数，这个数是( )。 【答案】2091 【分析】大于1的自然数，只有1和它本身两个因数，叫做质数，最小的质数是2；除了1和它本身两个因数外，还有别的因数，这样的数叫做合数，10以内最大的合数是9；个位上是0、2、4、6、8的数叫做偶数，最小的偶数是0；个位上是1、3、5、7、9的数叫做奇数，最小的奇数是1。 【详解】最小的质数是2，则千位上是2。 最小的偶数是0，则百位上是0。 10以内最大的合数是9，则十位上是9。 最小的奇数是1，则个位上是1。 所以，这个四位数是2091。 45．0、2、6、7、9、11、20、45，这些数中，质数有( )个，合数有( )个，( )是2和3的公倍数，( )是3和5的公倍数；6和9的最大公因数是( )，2和45的最小公倍数是( )。 【答案】 3 4 6 45 3 90 【分析】质数是指大于1，且只有1和它本身两个因数的数。 合数是指大于1，且除了1和它本身还有其他因数的数。 同时是2和3的倍数的数，需要满足：个位是偶数，且各位数字和是3的倍数。 同时是3和5的倍数的数，需要满足：个位是0或5，且各位数字和是3的倍数。 求两个数最大公因数，就是把这两个数共有的质因数乘起来。 求两个数的最小公倍数，就是把这两个数共有的和各自的质因数乘起来。 【详解】质数有：2、7、11，共3个。 合数有：6、9、20、45，共4个。 2和3的公倍数：给定的数中，只有6符合条件。 3和5的公倍数：给定的数中，只有45符合条件。 6和9的最大公因数： 由于6＝2×3，9＝3×3，公有的质因数是3，因此最大公因数是3。 2和45的最小公倍数： 由于2和45互质（公因数只有1），因此最小公倍数是2×45＝90。 考点十：质数与合数的综合应用 46．一块长方形菜地的周长是36米，长和宽都是以米为单位的整数，且都是质数。这块菜地的长和宽可能是多少米？（写出符合要求的所有情况）这块菜地的面积最大是多少平方米？ 【答案】长和宽可能是13米和5米或长和宽可能是11米和7米；面积最大是77平方米 【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2；长＋宽＝周长÷2，用36÷2＝18，求出长和宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，据此求出18以内的质数，再求出两个质数的和是18；再根据长方形面积＝长×宽，据此求出菜地的最大面积。 【详解】36÷2＝18（米） 18以内的质数：2，3，5，7，11，13，17。 5＋13＝18，7＋11＝18； 长方形的长和宽可能是13米和5米，或长和宽可能是11米和7米。 面积：13×5＝65（平方米） 11×7＝77（平方米） 65＜77，最大面积是77平方米。 答：这块菜地的长和宽可能是13米和5米或长和宽可能是11米和7米，这块菜地的最大面积是77平方米。 47．李爷爷是书法协会会员。下表是李爷爷收藏的不同字体的书法作品数量。李爷爷要把这些作品分类放到盒子里。哪种字体的作品可以平均分成若干份（份数、每份的作品幅数均大于1）？请说明理由。 字体 隶书 楷书 行书 草书 数量/幅 31 57 91 42 【答案】楷书、行书、草书作品可以平均分成若干份；理由见详解 【分析】分别检查表格中每个字体对应的数量是否为合数，即能否找到两个大于1的整数相乘等于该数量。 质数是指大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数。合数是指大于1的自然数，除了1和它本身之外还有其他因数的数，因此可以分解为两个大于1的整数的乘积。 【详解】答：楷书、行书、草书作品可以平均分成若干份。理由： 隶书：31的因数只有1和31，不能平均分成若干份（份数、每份的作品幅数均大于1）； 楷书：57的因数有1、3、19、57，可分成3份，每份19幅，或分成19份，每份3幅，能平均分成若干份； 行书：91的因数有1、7、13、91，可分成7份，每份13幅，或分成13份，每份7幅，能平均分成若干份； 草书：42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，可分成2份，每份21幅，或分成3份，每份14幅，或分成6份，每份7幅等，能平均分成若干份； 所以楷书、行书、草书作品可以平均分成若干份。因为57、91、42都是合数，除了1和它本身之外还有其他因数，而31是质数，只有1和它本身两个因数。 48．宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 【答案】8和7，2，3不同；理由见详解 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫做合数，据此分析解答。 【详解】8的因数有：1，2，4，8，有4个因数，8是合数。 7的因数有：1，7，有2个因数，7是质数。 2的因数有：1，2，有2个因数，2是质数。 3的因数有：1，3，有2个因数，3是质数。 8有4个因数是合数，7，2，3只有1和它本身2个因数是质数。所以8和7，2，3不同。 答：8和7，2，3不同。 49．李叔叔的密码锁由三位数字组成，李叔叔设计的密码的第一个数字是最小的质数，第二个数字是最大的一位数，三个数字相乘的积是90，这个密码是什么？ 【答案】295 【分析】质数：因数只有1和它的本身的数叫作因数，最小的质数是2；最大的一位数是9；根据三个数字的乘积是90，则第三个数字＝乘积÷第一个数÷另外一个数。 【详解】最小的质数是2，最大的一位数是9 90÷2÷9 ＝45÷9 ＝5 答：这个密码是295。 50．猜一猜：小红家的电话号码是多少？从左边数，第一位是最小的质数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是最小的合数，第五位的最大的因数是8，第六位是最小的自然数，第七位是既是奇数又是合数。 【答案】2304809或2314809 【分析】一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；当a×b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说c是a和b的倍数，a和b是c的因数。一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；0和1既不是质数，也不是合数，据此解答。 【详解】最小的质数的质数是2，因数只有1和3的数是3，既不是合数也不是质数是0或1，最小的合数是4，最大的因数是8的数是8，最小的自然数0，既是奇数又是合数的数是9。 所以小红家的电话号码是2304809或2314809。 【点睛】本题考查了质数、合数、因数、奇数的认识。 考点十一：质因数的含义 51．20以内的质数有：( )；用质数和的形式表示21＝( )＋( )＋( )；用分解质因数的形式表示15＝( )×( )。 【答案】 2、3、5、7、11、13、17、19 3 5 13 3 5 【分析】质数：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。根据质数的定义，从小到大依次找出20以内的质数。优先从小质数开始找出合适的三个和为21的质数，组成质数和的形式。分解质因数就是把一个合数用质数相乘的形式表示出来；从最小的质数开始试除，直到商也是质数为止，15的质因数只有3和5。 【详解】20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19 21＝3＋7＋11或21＝3＋5＋13 15＝3×5 52．在因数和倍数中，我们学习了质数、合数、质因数、奇数、偶数。请在下面的括号里分别填出合适的数（每个只能用一次）。 0是最小的( )，1是最小的( )，2是最小的( )，4是最小的( )，5和7都是35的( )。 【答案】 偶数 奇数 质数 合数 质因数 【分析】自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数；是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。 若a×b＝c（a、b、c均是不为0的自然数），则a和b是c的因数。 【详解】0是最小的偶数，1是最小的奇数，2是最小的质数，4是最小的合数。 5×7＝35，5和7是35的因数，且5和7都是质数，所以5和7都是35的质因数。 53． 【答案】见详解 【分析】所谓质因数就是，当我们把一个整数写成若干个整数的积的时候，如果每个因数都是质数。那么这些因数都叫原数的质因数，据此将10和22分解质因数再填空。 【详解】10＝2×5 22＝2×11，所以10、22都有的质因数为2，只是10的质因数为5，只是22的质因数为11，据此填空： 54．一个数的质因数是10以内所有的质数，这个数最小是( )。 【答案】210 【分析】质因数是指能整除给定正整数的质数，也就是一个数的因数中是质数的那些数。质数概念：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数。10以内的质数有2、3、5、7。要求这个数最小是多少，就是求这几个10以内质数的乘积，据此解答。 【详解】10以内的质数有2、3、5、7。 2×3×5×7＝210 即一个数的质因数是10以内所有的质数，这个数最小是210。 55．在42＝6×7中，( )和( )都是42的因数，其中( )是42的质因数。 【答案】 6 7 7 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。所谓质因数就是，当我们把一个整数写成若干个整数的积的时候，如果每个因数都是质数，那么这些因数都叫原数的质因数。 【详解】在42＝6×7中，6和7都是42的因数；因为6是合数，7是质数，所以7是42的质因数。 因此在42＝6×7中，6和7都是42的因数，其中7是42的质因数。 考点十二：分解质因数 56．用短除法分解质因数。 57        72        135 【答案】57＝3×19；72＝2×2×2×3×3；135＝3×3×3×5 【分析】分解质因数就是把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来。求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】（1）57＝3×19 （2）72＝2×2×2×3×3 （3）135＝3×3×3×5 57．将下面各数分解质因数。 18            60 【答案】 18＝2×3×3；60＝2×2×3×5 【分析】18、60分解质因数，即把这两个数表示为质数相乘的形式。一时找不到他们的质因数，可以先把他们分解成两个因数相乘的形式，然后逐步分解，直至因数都是质数为止。 【详解】18 ＝2×9（9是合数） ＝2×3×3（各个因数都是质数） 60 ＝6×10 ＝2×3×2×5（都是质数） ＝2×2×3×5（从小到大排序） 所以：18＝2×3×3 60＝2×2×3×5 58．把下面各数分解质因数。 21    88    85 【答案】21＝3×7；88＝2×2×2×11；85＝5×17 【分析】把一个合数写成几个质数连乘积的形式，叫做把这个合数分解质因数。据此解答。 【详解】 21＝3×7 88＝2×2×2×11 85＝5×17 59．用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 32和48        54和81 【答案】32和48：16；96 54和81：27；162 【分析】短除法求最大公因数：用公有的质因数连续去除，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因数。 短除法求最小公倍数：用公有的质因数连续去除，直到商两两互质，所有除数和最后的商的乘积即为最小公倍数。 【详解】 32和48的最大公因数： 32和48的最小公倍数： 54和81的最大公因数： 54和81的最小公倍数： 60．把下面各数分解质因数。 75    32    90 【答案】75＝3×5×5；32＝2×2×2×2×2；90＝2×3×3×5 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数通常用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】 75＝3×5×5 32＝2×2×2×2×2 90＝2×3×3×5 考点十三：公因数与最大公因数 61．求出下面各组数的最大公因数。 30和12    25和70    22和286    8和100 【答案】6；5；22；4 【分析】先把要求的两个数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数。 【详解】30＝2×3×5 12＝2×2×3 30和12的最大公因数是2×3＝6。 25＝5×5 70＝2×5×7 25和70的最大公因数是5。 22＝2×11 286＝2×11×13 22和286的最大公因数是2×11＝22。 8＝2×2×2 100＝2×2×5×5 8和100的最大公因数是2×2＝4。 62．相邻两个非零自然数的最大公因数是( )。 【答案】 1 【分析】若两个数互质（公因数只有1），则最大公因数是1。 【详解】相邻两个非零自然数互质，所以它们的最大公因数是1。 63．如果 （且a、b是不为0的自然数），a、b的最大公因数是( )，a、b的最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】根据题意，a是b的3倍。两个数是倍数关系，它们的最大公因数是较小数；它们的最小公倍数是较大数。 【详解】a是b的3倍，a大于b，a、b的最大公因数是b，a、b的最小公倍数是a。 64．花店要用52朵玫瑰和86朵月季扎花束，不能有剩余。如果每束中玫瑰的数量要相等，月季的数量也要相等，每束花中至少有( )朵花。 【答案】69 【分析】要满足“扎花束无剩余，每束玫瑰数量相等、月季数量相等”，说明花束的数量是52和86的公因数；要让每束花总数最少，总花数固定，因此花束数量要最多，也就是求52和86的最大公因数。 【详解】 因此52和86的最大公因数是2，即最多扎2束花。 计算每束花的总数： 每束玫瑰有52÷2＝26（朵），每束月季有86÷2＝43（朵）。 每束总花数为：26＋43＝69（朵）。 65．教室地面长8.4米，宽6.6米，选用边长( )分米的方砖来铺地用的块数最少且不需要切割。 【答案】 6 【分析】首先需要注意单位换算，将米换算成分米。铺地不需要切割，说明方砖的边长必须既是地面长的因数，也是地面宽的因数，即长和宽的公因数。要使所用的块数最少，方砖的面积应最大，即边长应最大，因此需要求地面长和宽的最大公因数。 【详解】1米＝10分米，8.4米＝84分米，6.6米＝66分米。 求84和66的最大公因数：84和66都能被2整除，84÷2＝42，66÷2＝33。 42和33都能被3整除，42÷3＝14，33÷3＝11。 14和11互质，不再有公因数。所以84和66的最大公因数是：2×3＝6 选用边长6分米的方砖来铺地用的块数最少且不需要切割。 考点十四：用最大公因数解决实际问题 66．王师傅用一张长1.2米，宽8分米的长方形铁皮剪小正方形铁皮，怎样剪，小正方形的边长最大，且没有剩余铁皮？ 【答案】6个 【分析】根据题意，小正方形的最大边长是长方形的长和宽的最大公因数，求出边长后，分别计算长和宽方向上可以剪出的个数，最后相乘得到总个数。 【详解】1.2米＝12分米 12和8的最大公因数是4，小正方形铁皮的边长是4分米。 12÷4＝3（个）          8÷4＝2（个）    3×2＝6（个） 答：最多剪出6个。 67．把一个长45厘米，宽30厘米的长方形分成面积相等边长是整厘米数的小正方形，小正方形的边长最长是多少厘米？一共能分成多少个这样的小正方形？ 【答案】 15厘米；6 个 【分析】根据题意，求出45、30的最大公因数是多少，即小正方形的边长最长是多少；再用原来长方形的面积除以小正方形的面积，解答即可。 【详解】45和30的最大公因数是15，因此小正方形的边长最长是15厘米。 （45×30）÷（15×15） ＝1350÷225 ＝6（个） 答：小正方形的边长最长是15厘米，一共能分成6个这样的小正方形。 68．春假期间，小明约了小伙伴们一起去公园野餐。妈妈为他们准备了30袋饼干和24袋果冻，这两种零食刚好可以平均分给来参加野餐的小朋友，参加野餐的小朋友最多有多少个？每个小朋友能分得多少袋零食？ 【答案】6个；9袋 【分析】要把30袋饼干和24袋果冻刚好平均分给小朋友，说明小朋友的人数必须既是30的因数，又是24的因数，即小朋友的人数是30和24的公因数。要求“最多有多少个”，即求30和24的最大公因数。求出小朋友的人数后，将饼干和果冻的总袋数相加，再除以小朋友的人数，即可得到每个小朋友分得的零食袋数。 【详解】30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30 24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24 30和24的公因数有：1，2，3，6 30和24的最大公因数是6。 所以参加野餐的小朋友最多有6个。 （30＋24）÷6 ＝54÷6 ＝9（袋） 答：参加野餐的小朋友最多有6个，每个小朋友能分得9袋零食。 69．为了塑造良好的身体姿态，提高身体协调性，实验小学决定编排“护脊课间操”，并选择42名男生和36名女生拍摄教学视频。拍摄时，男、女生分别站成若干排，且每排的人数相同，每排最多站多少人？这时男、女生分别站了几排？ 【答案】6人；男生7排；女生6排 【分析】根据题意，男、女生分别站成若干排，且每排人数相同，说明每排的人数既是42的因数，也是36的因数，即每排人数是42和36的公因数。要求每排最多站多少人，即求42 和36的最大公因数。求出最大公因数后，分别用男、女生的总人数除以最大公因数，即可得到男、女生分别站的排数。 【详解】42＝2×3×7 36＝2×2×3×3 42和36的最大公因数是2×3＝6 所以每排最多站6人。 42÷6＝7（排） 36÷6＝6（排） 答：每排最多站6人，这时男生站了7排、女生站了6排。 考点十五：公倍数与最小公倍数 70．从一张长45厘米、宽37厘米的长方形纸上剪下几个完全相同的小正方形，正好剩下一张长45厘米、宽1厘米的小纸条。剪下的小正方形边长最长是多少厘米？剪下了几个小正方形？ 【答案】9厘米；20个 【分析】根据题意，剩下的纸条长 45 厘米，与原长方形的长相等，说明剪去部分是一个长45厘米、宽（37－1）厘米的长方形。因为剪下的是几个完全相同的小正方形，所以小正方形的边长必须是45和36的公因数。求边长最长是多少，即求45和36的最大公因数。求出边长后，分别计算长和宽方向能剪出的个数，相乘即为总个数。 【详解】37－1＝36（厘米） 45＝3×3×5 36＝2×2×3×3 所以45和36的最大公因数是3×3＝9，即小正方形的边长最长是9厘米。 45÷9＝5（个） 36÷9＝4（个） 5×4＝20（个） 答：剪下的小正方形边长最长是9厘米，剪下了20个小正方形。 71．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 5和7     9和36     15和20 【答案】5和7的最大公因数是1，最小公倍数是35。 9和36的最大公因数是9，最小公倍数是36。 15和20的最大公因数是5，最小公倍数是60。 【分析】最大公因数：几个数公有的因数中，数值最大的那个。 最小公倍数：几个数公有的倍数中，数值最小的那个。 （1）5和7都是质数，它们的公因数只有1，属于互质数关系，可直接用互质数的规律求解；互质数的最小公倍数是两数的乘积 （2）36是9的4倍，属于倍数关系，可直接用倍数关系的规律求解，倍数关系最大公因数是较小数本身，倍数关系的最小公倍数是较大数本身。 （3）15和20既不是互质数，也不是倍数关系，属于一般关系，用分解质因数法或短除法求解。 【详解】（1）5的因数：1、5 7的因数：1、7 5×7＝35 所以5和7的最大公因数是1，最小公倍数是35。 （2）36÷9＝4，属于倍数的关系 所以9和36的最大公因数是9，最小公倍数是36； （3）15＝3×5 20＝2×2×5 15的因数：1、3、5、15 20的因数：1、2、4、5、10、20 2×2×3×5＝60 所以15和20的最大公因数是5，最小公倍数是60。 72．用短除法求出各组数的最大公因数和最小公倍数。 14和56        30和45        28和16 【答案】 14，56；15，90；4，112 【分析】短除法：把公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，直到得出的商只有公因数1为止。把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数；把所有的除数、商都相乘，得到最小公倍数。 【详解】14和56 2×7＝14 2×7×1×4 ＝14×1×4 ＝14×4 ＝56 所以14和56的最大公因数是14，最小公倍数是56。 30和45 3×5＝15 3×5×2×3 ＝15×2×3 ＝30×3 ＝90 所以30和45的最大公因数是15，最小公倍数是90。 28和16 2×2＝4 2×2×7×4 ＝4×7×4 ＝28×4 ＝112 所以28和16的最大公因数是4，最小公倍数是112。 73．用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 18和24    12、18和36    25和40 【答案】（1）6；72 （2）6；36 （3）5；200 【分析】短除法是求最大公因数和最小公倍数的常用方法。用短除法时，先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所有的商互质为止。最大公因数：把所有除数相乘。最小公倍数：把所有除数和最后的商相乘。 【详解】（1）18和24： 最大公因数：2×3＝6 最小公倍数：2×3×3×4＝72 （2）12、18和36： 最大公因数：2×3＝6 最小公倍数：2×2×3×3＝36 （3）25和40： 最大公因数：5 最小公倍数：5×5×8＝200 74．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 32和48                18和45 【答案】（1）16；96 （2）9；90 【分析】短除法规则：除数必须是两个数公有的质因数，除到商互质为止。 短除法求最大公因数：将所有的公共除数相乘。 短除法求最小公倍数：将所有的公共除数与最后的商相乘。 【详解】 32和48的最大公因数为：2×2×2×2＝16 32和48的最小公倍数为：2×2×2×2×2×3＝96 18和45的最大公因数为：3×3＝9 18和45的最小公倍数为：3×3×2×5＝90 75．求下列数的最大公因数和最小公倍数。 24和18               14和21       16和26               13和26 【答案】6，72；7，42； 2，208；13，26 【分析】将每组的两个数分别分解成质因数相乘的形式，最大公因数是两个数公有质因数的乘积，最小公倍数是公有质因数与各自独有质因数的乘积。如果一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是两个数的最小公倍数，另一个数就是两个数的最大公因数。 【详解】（1）24＝2×2×2×3 18＝2×3×3 24和18的最大公因数为：2×3＝6 24和18的最小公倍数为：2×2×2×3×3＝72                （2）14＝2×7 21＝3×7 14和21的最大公因数为：7   14和21的最小公倍数为：2×3×7＝42     （3）16＝2×2×2×2 26＝2×13 16和26的最大公因数为：2 16和26的最小公倍数为：2×2×2×2×13＝208                （4）26÷13＝2 13和26的最大公因数为：13 13和26的最小公倍数为：26 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 76．甲、乙两人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，如果3月21日两人在图书馆相遇，那么他们下一次在图书馆相遇是几月几日？ 【答案】4月14日 【分析】根据题意，甲每6天去一次，乙每8天去一次，两人再次相遇经过的天数是6和8的最小公倍数。求出最小公倍数后，再加上第一次相遇的日期3月21日，求出下一次相遇的日期。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是：2×2×2×3＝24 即两人再过24天再次相遇。 3月21日＋24天＝4月14日 答：他们下一次在图书馆相遇是4月14日。 77．便民超市新进了80多个松花蛋，无论是分装入4个一排的蛋托中，还是分装入6个一排的蛋托中，都能正好分装完，这些松花蛋一共有多少个？ 【答案】84个 【分析】根据题意，松花蛋的数量既能被4整除，又能被6整除，说明松花蛋的数量是4和6的公倍数。先求出4和6的最小公倍数，然后找出最小公倍数的倍数中符合“80多个”这一条件的数，即松花蛋的总个数。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 4和6的最小公倍数是2×2×3＝12。 12×7＝84（个） 80＜84＜90，符合要求。 答：这些松花蛋一共有84个。 78．明明和亮亮去图书馆借书，明明每3天去一次，亮亮每4天去一次，4月20日他们两人都去了图书馆借书，再过多少天两人又都去图书馆借书？是几月几日？ 【答案】 天；月日 【分析】明明每天去一次，亮亮每天去一次，两人再次同时去图书馆经过的天数应是和的最小公倍数。求出经过的天数后，根据月份的天数推算具体日期。月是小月，共有天。 【详解】因为和互质，所以它们的最小公倍数是： （天） （天） （日） 答：再过天两人又都去图书馆借书，是月日。 79．小明和小林都去参加绘画培训，小明每6天去一次，小林每8天去一次。7月15日两人同时参加了培训后，几月几日他们再次相遇？ 【答案】8月8日 【分析】由题意可知，两人再次相遇经过的天数应是6和8的最小公倍数，先求出这两个数的最小公倍数，7月一共有31天，计算时需要减去7月剩余的天数，最后推算出再次相遇的日期。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。 7月有31天。 31－15＝16（天） 24－16＝8（天） 分析可知，8月8日他们再次相遇。 答：8月8日他们再次相遇。 80．六一儿童节快到了，蓝天小学的老师们要为同学们编排一个群舞节目，要求人数在40人以上，无论是3人一组，还是5人一组，都刚好分完没有剩余。老师们至少要选多少名同学？ 【答案】45名 【分析】根据题意，学生人数既能被3整除，又能被5整除，说明学生人数是3和5的公倍数。要求人数在40人以上且至少多少名，因此需要先求出3和5的最小公倍数，再列举出它们的公倍数，从中找出大于40的最小数值即可。 【详解】3和5的最小公倍数是：3×5＝15 3和5的公倍数有：15，30，45，60…… 因为要求人数在40人以上，且求至少选多少名，即找大于40的最小公倍数。 比较可知：15＜40，30＜40，45＞40，所以符合条件的最小人数是45。 答：老师们至少要选45名。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数 专项练习 目录 考点一：因数和倍数的认识 1 考点二：找一个数的因数和因数的特征 2 考点三：根据因数的特征解决问题 2 考点四：找一个数的倍数和倍数的特征 4 考点五：根据倍数的特征解决问题 4 考点六：因数和倍数的综合运用 5 考点七：2、3、5的倍数的特征 7 考点八：奇数与偶数的认识 7 考点九：质数与合数的认识 8 考点十：质数与合数的综合应用 8 考点十一：质因数的含义 9 考点十二：分解质因数 10 考点十三：公因数与最大公因数 11 考点十四：用最大公因数解决实际问题 12 考点十五：公倍数与最小公倍数 13 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 14 考点一：因数和倍数的认识 1．一个自然数既是6的倍数，又是6的因数，这个数是( )。 2．一个数最小的倍数是30，它有( )个因数。 3．32的最小倍数是( )，最大因数是( )。 4．在24÷3＝8中，( )和( )是( )的因数；在5×3＝15中，( )是( )和( )的倍数。 5．根据8×5＝40可知，( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 考点二：找一个数的因数和因数的特征 6．一个数既是30的因数，又是5的倍数，这个数最大是( )。 7．一个数既是36的因数，又是4的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 8．《红楼梦》是中国古典四大名著之首，是清代作家曹雪芹创作的章回体长篇小说。《红楼梦》中描写了“金陵十二钗”，12的全部因数有( )，其中( )是合数，( )是偶数。 9．24的因数有( )个，它的最小倍数是( )。 10．一个数除了它自身以外的所有因数之和是它的本身，这个数叫作完全数。例如6＝1＋2＋3，则它为完全数。请你再找出一个完全数，写出计算过程：( )。 考点三：根据因数的特征解决问题 11．非遗文化进校园，同学们制作剪纸作品，一共制作了48幅作品，要把这些作品贴在展板上，每行贴的数量相同，且不少于6幅，不多于16幅，有几种贴法？分别每行贴多少幅作品？ 12．妈妈买了54个桔子，让昭昭把桔子放入水果盘中，要求每次拿的个数相同，但不能一个一个拿，也不许一次拿超过9个，拿到最后一个不剩，昭昭有几种不同的拿法？每种拿法每次拿几个？ 13．游客刘阿姨购买了24包白水贡糖，刘阿姨希望用精致礼品袋包装，且每个袋子所装的数量要相同。她有几种装法？每种装法分别需要多少个袋子？ 免费打包服务 6包以下用普通包装袋包装， 6包及6包以上可用精致礼品袋包装。 普通包装 1－5包/袋 精致礼品包装 6－15包/袋 14．在第55个世界地球日，某小学准备了一条长36米的彩带用来悬挂宣传海报，现在把这条彩带剪成同样长的小彩带，每条小彩带的长度为整米数，且小彩带数量大于1条。最少能剪成几条，最多能剪成几条？ 15．水晶饼是陕西名点，具有“金面银帮，起皮掉酥”的外观特征，口感油而不腻、甜润清香。某甜品店新鲜出炉了52个水晶饼，店里现有三款包装盒：A款每盒装4个；B款每盒装6个；C款每盒装8个。应该选用哪款包装盒正好能把52个水晶饼装完？ 考点四：找一个数的倍数和倍数的特征 16．一个数是56的因数，也是7的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 17．玲玲的年龄是12岁，弟弟的年龄是9岁。12的最大因数是( )，最小倍数是( )。9的倍数中小于50的数有( )个。 18．《三十六计》或称《三十六策》，是指中国古代三十六个兵法策略。其中数字36的最大因数是( )；比36小的两位数中，既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。 19．课间游戏。翩鹊和同学们玩“抱团”游戏，口令为几，就几个人抱成一团。同学们发现当抱团口令为6或8时，每个人都可以抱团成功。抱团游戏的人数在20和30人之间，有( )人在玩游戏。 20．一个三位数，百位上是最小的合数，十位上是7的最小倍数，个位上是2和3的倍数，这个数是( )。 考点五：根据倍数的特征解决问题 21．剧院有25排座位，第一排有22个座位，后面每一排总比前一排多2个座位。算一算，这个剧院一共有多少个座位？ 22．4月2日城北小学开展“党旗飘飘队旗红承古传今文化行”研学活动。五年级有526人，若6人一组，至少需要再来多少人就可以正好6人一组？至少减少多少人也正好6人一组？ 23．小明今年的年龄是2和7的倍数，爸爸今年的年龄是小明的倍数，也是42的因数。小明和爸爸今年各多少岁？ 24．五（1）班有7位同学去给树苗浇水。小树苗的数量在40～50棵之间，他们发现每人浇水的棵数相同。这些小树苗可能有多少棵？ 25．金城小区开展闲置图书共享活动。参与共享的图书本数在100到200之间，并且比24的倍数多13，参与共享的图书最多有多少本？ 考点六：因数和倍数的综合运用 26．15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？ 27．食品店里做了66个月饼，店里有A包装盒每盒装4个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把66个月饼装完？（请用因数、倍数的知识说明。） 28．星源小学举行武术操比赛，每一个参赛方队站2~4列，每一列的人数必须都相等。一个方队有多少名同学？下面几个人中只有一个是对的，谁说得对？请写出你的理由。 29．如图，5个小朋友按媛媛、姗姗、凯凯、兰兰、星星、媛媛……的顺序从1开始依次报数。像这样一直报下去，谁会报到35的因数？这些因数分别由谁报出？ 30．今年春节的时候，爸爸用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是9的倍数。爸爸给乐乐的红包里可能是多少元？ 考点七：2、3、5的倍数的特征 31．从0、2、6、7中任选三个数组成能同时被2、3、5整除的三位数，这样的三位数分别是：__________（请写出所有的可能）。 32．161至少减去( )同时是2、3、5的倍数；89至少加( )就是3和5的倍数。 33．把下面各数按要求填入对应括号里面。 6    9    31    45    110    97    780    248    37 奇数( )；偶数( )；质数( )；合数( )；能被2整除( )；能被3整除( )；能被5整除( )；能被2、3、5整除( )。 34．丽丽期末考试得了九十多分，她的分数既是2的倍数，又是3的倍数，丽丽得了_____分；要使8□0同时是2、3和5的倍数，□内最小填_____，最大填_____。 35．文具店有一批不同样式的书包，其价格既是2的倍数，又是3和5的倍数，这批书包中最低价格是( )元，如果书包的价格不超过100元，有( )种价格。 考点八：奇数与偶数的认识 36．平平家的门锁密码是一个六位数，记为：ABCDEF。已知：A是最小的合数，B是最小的质数，C是最小的自然数，D是10以内最大的合数，E只有因数1和5，F是一位数中最大的偶数，平平家的门锁密码是( )。 37．（在自然数范围内）一个数是由最小的奇数、最小的偶数、最小的质数、最小的合数组成的最大四位数，这个数是( )。 38．小明在做“用橡皮筋驱动小车”实验时，分别记录了橡皮筋绕三种不同圈数时小车行驶的距离，小明发现3次距离正好是3个连续的偶数，3次距离总和是24米，最长的一次是( )米。 39．在15、8、9、2和1中，最大的合数是( )，最小的奇数是( )，最大的偶数是( )。 40．已知有五个连续的奇数，中间的一个数是a，则其中最小的数是( )，最大的数是( )，这五个数的和是( )。 考点九：质数与合数的认识 41．《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是( )，最小倍数是( )，108的所有因数中，质数有( )。 42．一个数亿位上的数是最大的一位数，万位上的是最小的合数，十位上是最小的质数，其余各位上都是0，这个数写作( )，省略亿后面的尾数约是( )。 43．用4、5、6三张数字卡片组成两位数，有( )种可能的结果，把最小的两位数写成质数相乘的形式是( )。 44．一个四位数的千位上是最小的质数，百位上是最小的偶数，十位上是10以内最大的合数，个位上是最小的奇数，这个数是( )。 45．0、2、6、7、9、11、20、45，这些数中，质数有( )个，合数有( )个，( )是2和3的公倍数，( )是3和5的公倍数；6和9的最大公因数是( )，2和45的最小公倍数是( )。 考点十：质数与合数的综合应用 46．一块长方形菜地的周长是36米，长和宽都是以米为单位的整数，且都是质数。这块菜地的长和宽可能是多少米？（写出符合要求的所有情况）这块菜地的面积最大是多少平方米？ 47．李爷爷是书法协会会员。下表是李爷爷收藏的不同字体的书法作品数量。李爷爷要把这些作品分类放到盒子里。哪种字体的作品可以平均分成若干份（份数、每份的作品幅数均大于1）？请说明理由。 字体 隶书 楷书 行书 草书 数量/幅 31 57 91 42 48．宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 49．李叔叔的密码锁由三位数字组成，李叔叔设计的密码的第一个数字是最小的质数，第二个数字是最大的一位数，三个数字相乘的积是90，这个密码是什么？ 50．猜一猜：小红家的电话号码是多少？从左边数，第一位是最小的质数，第二位的因数只有1和3，第三位既不是合数也不是质数，第四位是最小的合数，第五位的最大的因数是8，第六位是最小的自然数，第七位是既是奇数又是合数。 考点十一：质因数的含义 51．20以内的质数有：( )；用质数和的形式表示21＝( )＋( )＋( )；用分解质因数的形式表示15＝( )×( )。 52．在因数和倍数中，我们学习了质数、合数、质因数、奇数、偶数。请在下面的括号里分别填出合适的数（每个只能用一次）。 0是最小的( )，1是最小的( )，2是最小的( )，4是最小的( )，5和7都是35的( )。 53． 54．一个数的质因数是10以内所有的质数，这个数最小是( )。 55．在42＝6×7中，( )和( )都是42的因数，其中( )是42的质因数。 考点十二：分解质因数 56．用短除法分解质因数。 57        72        135 57．将下面各数分解质因数。 18            60 58．把下面各数分解质因数。 21    88    85 59．用短除法求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 32和48        54和81 60．把下面各数分解质因数。 75    32    90 考点十三：公因数与最大公因数 61．求出下面各组数的最大公因数。 30和12    25和70    22和286    8和100 62．相邻两个非零自然数的最大公因数是( )。 63．如果 （且a、b是不为0的自然数），a、b的最大公因数是( )，a、b的最小公倍数是( )。 64．花店要用52朵玫瑰和86朵月季扎花束，不能有剩余。如果每束中玫瑰的数量要相等，月季的数量也要相等，每束花中至少有( )朵花。 65．教室地面长8.4米，宽6.6米，选用边长( )分米的方砖来铺地用的块数最少且不需要切割。 考点十四：用最大公因数解决实际问题 66．王师傅用一张长1.2米，宽8分米的长方形铁皮剪小正方形铁皮，怎样剪，小正方形的边长最大，且没有剩余铁皮？ 67．把一个长45厘米，宽30厘米的长方形分成面积相等边长是整厘米数的小正方形，小正方形的边长最长是多少厘米？一共能分成多少个这样的小正方形？ 68．春假期间，小明约了小伙伴们一起去公园野餐。妈妈为他们准备了30袋饼干和24袋果冻，这两种零食刚好可以平均分给来参加野餐的小朋友，参加野餐的小朋友最多有多少个？每个小朋友能分得多少袋零食？ 69．为了塑造良好的身体姿态，提高身体协调性，实验小学决定编排“护脊课间操”，并选择42名男生和36名女生拍摄教学视频。拍摄时，男、女生分别站成若干排，且每排的人数相同，每排最多站多少人？这时男、女生分别站了几排？ 考点十五：公倍数与最小公倍数 70．从一张长45厘米、宽37厘米的长方形纸上剪下几个完全相同的小正方形，正好剩下一张长45厘米、宽1厘米的小纸条。剪下的小正方形边长最长是多少厘米？剪下了几个小正方形？ 71．求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 5和7     9和36     15和20 72．用短除法求出各组数的最大公因数和最小公倍数。 14和56        30和45        28和16 73．用短除法求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 18和24    12、18和36    25和40 74．用短除法求下列每组数的最大公因数和最小公倍数。 32和48                18和45 75．求下列数的最大公因数和最小公倍数。 24和18               14和21       16和26               13和26 考点十六：用最小公倍数解决实际问题 76．甲、乙两人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，如果3月21日两人在图书馆相遇，那么他们下一次在图书馆相遇是几月几日？ 77．便民超市新进了80多个松花蛋，无论是分装入4个一排的蛋托中，还是分装入6个一排的蛋托中，都能正好分装完，这些松花蛋一共有多少个？ 78．明明和亮亮去图书馆借书，明明每3天去一次，亮亮每4天去一次，4月20日他们两人都去了图书馆借书，再过多少天两人又都去图书馆借书？是几月几日？ 79．小明和小林都去参加绘画培训，小明每6天去一次，小林每8天去一次。7月15日两人同时参加了培训后，几月几日他们再次相遇？ 80．六一儿童节快到了，蓝天小学的老师们要为同学们编排一个群舞节目，要求人数在40人以上，无论是3人一组，还是5人一组，都刚好分完没有剩余。老师们至少要选多少名同学？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $