3.5点与圆、直线与圆的位置关系（讲义，7知识11题型）数学新教材苏科版九年级上册

本初中数学讲义聚焦“点与圆、直线与圆的位置关系”核心知识点，从点与圆的距离半径关系入手，递进至直线与圆的位置判定、切线的性质与判定，延伸到切线长定理、三角形内切圆及圆与圆的位置关系，构建完整知识支架。 资料以“即学即练”结合题型分类为特色，通过实例强化推理能力与几何直观，如切线证明题培养数学思维，尺规作图发展空间观念，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

第三章 圆 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系 1. 设圆的半径为，平面内一点到圆心的距离为，共三种位置关系： 点在圆外：）；点在圆上：（判定点在圆上的核心依据）；点在圆内：。 2. 补充结论：圆的内部是到圆心距离小于半径的点的集合；圆上是等于半径的点的集合；圆外部是大于半径的点的集合。 即学即练 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 2．（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 知识点二 直线与圆的位置关系 1. 设圆的半径为，圆心到直线的距离（垂线段长度）为，共三种位置关系： ①相离：直线与圆没有公共点，满足 ； ②相切：直线与圆只有一个公共点，满足，直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点； ③相交：直线与圆有两个公共点，满足，直线叫做圆的割线，两个公共点之间的线段为圆的弦。 即学即练 1．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 知识点三 切线的判定与性质 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定两个必备条件（缺一不可）：①直线过半径外端点 ②直线与半径垂直 2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 核心用途：遇切线，连切点和圆心，必得直角，是几何倒角、证垂直的常用方法。 3. 切线两种证明方法： ①有切点，连半径，证垂直：已知直线与圆有公共点时使用； ②无切点，作垂直，证半径：未知公共点，过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径。 即学即练 1．（2026·湖南益阳·二模）如图，是的直径，是上的两点，连接，且平分．过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：是的切线； (2)过点作圆的切线交的延长线于点，且，求的度数． 知识点四 尺规作图——过圆外一点作这个圆的切线 1. 已知⊙0与圆外一点P，过点P作⊙0的切线。 作法：①连接OP； ②以OP为直径作圆，交⊙0于点A，B； ③连接PA，PB，PA、PB即为所求。 即学即练 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点P在上．请用尺规作图法，过点P作的切线l．（保留作图痕迹，不写作法） 知识点五 切线长定理 1. 切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 2. 切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等。 即学即练 1．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）如图，，与分别相切于点A，B．如果，，那么的长度是（　　） A．2 B．3 C． D． 2．（2026·河南周口·模拟预测）乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 知识点六 三角形的内切圆 1. 尺规作图——作已知三角形的内切圆 作法：①分别作∠ABC，∠ACB的平分线BM，CN，BM与CN的交点为O； ②过点O作OD⊥BC，垂足为D； ③以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，⊙O即为所求。 2. 三角形的内切圆定义：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做内心。这个三角形叫作圆的外切三角形。 3. 内心性质： ① 内心是三角形三条角平分线的交点； ② 内心到三角形三边的距离相等（距离等于内切圆半径 ）； ③ 内心一定在三角形内部（任意三角形均成立）。 4. 补充公式（常用计算）三角形面积：（、b、c 为三边长，r 为内切圆半径）。 5. 外心与内心对比 外心（外接圆圆心）：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等； 内心（内切圆圆心）：三条角平分线交点，到三边距离相等。 即学即练 1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 知识点七 圆与圆的位置关系 1. 设两个圆的半径分别为 、（），两圆圆心之间的距离（圆心距）为 。 ①外离：位置：两圆没有公共点，一个圆在另一个圆外部； 数量关系：； ②外切：位置：两圆有唯一公共点，除切点外一圆在另一圆外部； 数量关系：；性质：两圆相切，连心线过切点； ③相交：位置：两圆有两个公共点； 数量关系：；性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦； ④内切：位置：两圆有唯一公共点，小圆在大圆内部； 数量关系：；性质：两圆相切，连心线过切点； ⑤内含：位置：两圆无公共点，小圆完全在大圆内部（含同心圆）； 数量关系：；特殊：同心圆 ，属于内含的特例。 即学即练 1．（2026·上海金山·二模）已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定 2．（2025·上海嘉定·二模）如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 题型01 点与圆位置关系判断及计算 / （1）算出点到圆心距离，对比半径：圆内，圆上，圆外； （2）易错：仅凭看图估位置，不列式计算；距离公式坐标代入出错。 典｜例｜精｜析 1．（2026·云南保山·一模）已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 题型02 直线与圆位置关系判断 / （1）求圆心到直线垂距，和比较：相离，相切，相交； （2）易错：误用圆心到直线上任意点线段长代替垂线段距离。 典｜例｜精｜析 1．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 变｜式｜巩｜固 1．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，与相切的直线是（   ）． A． B． C． D． 题型03 利用直线与圆位置关系求半径 / （1）先求圆心到直线垂距，按相切、相交、相离列式求解； （2）易错：不等号方向写反；相切时分值漏写等号。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 题型04 圆或直线平移到两者相切的计算 / （1）算出初始圆心距，平移距离=初始距离（外切）或距离（内切），分左右/上下两种相切情况。 （2）易错：只算一种相切位置，漏掉双解；平移长度加减混淆。 典｜例｜精｜析 1．（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东广州·二模）如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 3．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 题型05 切线判定证明题 / （1）有公共点：连圆心和交点，证垂直； （2）无公共点：作圆心垂线，证垂线段长=半径。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，点A在以为直径的上． (1)求度数； (2)求证：是的切线． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 2．（2026·山东济南·二模）如图，在中，，以为直径的交边于点，点在上，连接，，． (1)证明：是的切线； (2)若的直径为，，求的长． 题型06 切线的性质与判定综合 / （1）切线⊥过切点半径；判定用连半径证垂直，性质得直角后结合勾股、相似求解； （2）易错：不会主动连接切点与圆心构造直角；性质、判定定理混用。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的直线与边所在直线垂直于点M． (1)若是的切线，且．求的度数． (2)试猜想与满足什么关系时，直线与相切？并说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，是直径，是弦，D为的中点，连接并延长交于点E，为的切线交的延长线于点F．记与的交点为H． (1)求证：． (2)若H为的中点，的半径为4，求的长． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 题型07切线长定理计算与证明 / （1）圆外一点引两条切线长相等；圆心和该点连线平分夹角、垂直平分切点连线； （2）易错：多条切线时漏写多组等长线段；误把圆心连线当成切线。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，，分别与相切于，两点，连接，若，，则的周长为（    ） A．18 B．12 C． D． 2．（2026·广东汕头·一模）已知：O是的对称中心，与相切于点E． (1)如图1，求证：直线是的切线． 小明建议：可以过点O作的垂线…… 小红建议：也可以连接并延长…… 选择其中一位同学的建议，完成证明： (2)如图2，当与相切时，是菱形吗？说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南鹤壁·一模）已知中，为直径，、分别切于点、． (1)如图①．若，求的大小． (2)如图②，过点作于点，交于点，若，求的大小． 2．（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 3．（2025·河南洛阳·三模）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外 方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学， 传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数 学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，分别与相切于点N，M， E，且，，求的半径； 题型08三角形内切圆相关计算 / （1）内切圆半径（面积，周长）；直角三角形； （2）易错：直角三角形内切半径公式记错；周长、面积代数值出错。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 2．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 题型09三角形内心的应用 / （1）内心是三条角平分线交点，到三边距离相等（内切圆半径），可求角度、边长； （2）易错：内心和外心混淆；误以为内心到三顶点距离相等。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图将沿着直线折叠，点恰好与的内心重合，若，则的大小是（ ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江西上饶·期末）已知，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的边恰好为的直径，延长至点，使得，连接．求证：直线为的切线． 题型10圆与圆的位置关系 / （1）算圆心距，两圆半径： 外离；外切；相交；内切；内含； （2）易错：相切不分内外切，丢掉一解；大小半径相减不加大绝对值。 典｜例｜精｜析 1．（2025·上海青浦·二模）已知与有交点，圆心距如果的半径，那么的半径为的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·青海果洛·期末）已知和的直径分别为3和4，且，则两圆的位置关系是______． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·上海浦东新·二模）对于命题：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，与是半径为的两个等圆，是的中点，过点的直线交于、两点，交于、两点． (1)求证：； (2)若圆心、间的距离为10，，求的长． 题型11尺规作图——过圆外一点作圆的切线 / 连接圆心与外点，作线段中点，以中点为圆心、半长为半径画弧，与原圆交点即为切点，连线得切线。 典｜例｜精｜析 1．（2026·甘肃陇南·一模）如图，已知及上一点，请利用无刻度直尺及圆规作出直线，使得与相切． 下面是小宇设计的作法： ①作射线； ②在外取一点（点不在射线上），以为圆心，为半径作圆，与射线交于另一点； ③连接并延长交于点； ④作直线即为所求作直线． 所以直线即为所求作直线． 请在图中按小宇的作法作出直线（保留作图痕迹）． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏徐州·二模）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹．（可以写出必要作图过程） (1)如图①，点在内．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦被点平分； (2)如图②，在这个外再取一点．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与（1）中所作弦的长度相等． 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知：圆及圆外一点，求作：过点作圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和，连接，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明推理的依据 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（_______________）， ∵，为的半径， ∴直线，为的切线（_______________）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆 3.5 点与圆、直线与圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系 1. 设圆的半径为，平面内一点到圆心的距离为，共三种位置关系： 点在圆外：）；点在圆上：（判定点在圆上的核心依据）；点在圆内：。 2. 补充结论：圆的内部是到圆心距离小于半径的点的集合；圆上是等于半径的点的集合；圆外部是大于半径的点的集合。 即学即练 1．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在直角中，为斜边上的中线，以点D为圆心，以为直径作，则点C与的位置关系为（     ） A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．不能确定 【答案】C 【分析】已知的半径，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解． 【详解】解：为直径作， ∴的半径 ∵在直角中，为斜边上的中线， ∴ ∴点C在圆上． 2．（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 【详解】解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 知识点二 直线与圆的位置关系 1. 设圆的半径为，圆心到直线的距离（垂线段长度）为，共三种位置关系： ①相离：直线与圆没有公共点，满足 ； ②相切：直线与圆只有一个公共点，满足，直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点； ③相交：直线与圆有两个公共点，满足，直线叫做圆的割线，两个公共点之间的线段为圆的弦。 即学即练 1．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 直线与半径为的相交，且点到直线的距离，按照即可得到问题的答案． 【详解】解：直线与半径为的相交，且点到直线的距离为， ， 比较四个选项中的数，只有D选项中的，满足题意， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知的半径为5，直线与相切，圆心到直线距离等于__________． 【答案】5 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为5，直线与相切， ∴圆心到直线距离等于5； 故答案为：5． 知识点三 切线的判定与性质 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 判定两个必备条件（缺一不可）：①直线过半径外端点 ②直线与半径垂直 2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 核心用途：遇切线，连切点和圆心，必得直角，是几何倒角、证垂直的常用方法。 3. 切线两种证明方法： ①有切点，连半径，证垂直：已知直线与圆有公共点时使用； ②无切点，作垂直，证半径：未知公共点，过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径。 即学即练 1．（2026·湖南益阳·二模）如图，是的直径，是上的两点，连接，且平分．过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：是的切线； (2)过点作圆的切线交的延长线于点，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，则，再证明，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到的度数，再由切线的性质得到的度数，再根据四边形的内角和为360度可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）得，是的切线 ∵， ∴， 由切线的性质可得， ∴． 知识点四 尺规作图——过圆外一点作这个圆的切线 1. 已知⊙0与圆外一点P，过点P作⊙0的切线。 作法：①连接OP； ②以OP为直径作圆，交⊙0于点A，B； ③连接PA，PB，PA、PB即为所求。 即学即练 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，点P在上．请用尺规作图法，过点P作的切线l．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，直线即为所求． 【详解】略 知识点五 切线长定理 1. 切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 2. 切线长定理：过圆外一点可作圆的两条切线，切线长相等。 即学即练 1．（25-26九年级上·北京门头沟·期末）如图，，与分别相切于点A，B．如果，，那么的长度是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，证明为等边三角形，根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，与分别相切于点A，B， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：A． 2．（2026·河南周口·模拟预测）乐乐发现墙上点A处挂着一个圆形的装饰物，如图所示，悬挂绳分别切于点B、C，连接． (1)求证：垂直平分． (2)当为，四边形为正方形时，求的面积．（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线长定理以及线段垂直平分线的判定证明即可； （2）先根据正方形的性质求出半径，再由圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵悬挂绳分别切于点B、C， ∴ ∵ ∴垂直平分； （2）解：∵四边形为正方形时 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的面积 知识点六 三角形的内切圆 1. 尺规作图——作已知三角形的内切圆 作法：①分别作∠ABC，∠ACB的平分线BM，CN，BM与CN的交点为O； ②过点O作OD⊥BC，垂足为D； ③以点O为圆心，OD长为半径作⊙O，⊙O即为所求。 2. 三角形的内切圆定义：与三角形三边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做内心。这个三角形叫作圆的外切三角形。 3. 内心性质： ① 内心是三角形三条角平分线的交点； ② 内心到三角形三边的距离相等（距离等于内切圆半径 ）； ③ 内心一定在三角形内部（任意三角形均成立）。 4. 补充公式（常用计算）三角形面积：（、b、c 为三边长，r 为内切圆半径）。 5. 外心与内心对比 外心（外接圆圆心）：三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等； 内心（内切圆圆心）：三条角平分线交点，到三边距离相等。 即学即练 1．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知． (1)利用直尺和圆规作出的内切圆； (2)若的周长为，面积为，求它的内切圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—复杂作图、三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆，即可得的内切圆． （2）设的内切圆分别与相切于点，连接，由已知条件可得，由此可得的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，先分别作和的平分线，相交于点，再过点作于点，以点为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：设的内切圆分别与，相切于点，，连接，，， 的周长为， ． 的面积为，， ， ， 它的内切圆的半径为． 知识点七 圆与圆的位置关系 1. 设两个圆的半径分别为 、（），两圆圆心之间的距离（圆心距）为 。 ①外离：位置：两圆没有公共点，一个圆在另一个圆外部； 数量关系：； ②外切：位置：两圆有唯一公共点，除切点外一圆在另一圆外部； 数量关系：；性质：两圆相切，连心线过切点； ③相交：位置：两圆有两个公共点； 数量关系：；性质：相交两圆的连心线垂直平分公共弦； ④内切：位置：两圆有唯一公共点，小圆在大圆内部； 数量关系：；性质：两圆相切，连心线过切点； ⑤内含：位置：两圆无公共点，小圆完全在大圆内部（含同心圆）； 数量关系：；特殊：同心圆 ，属于内含的特例。 即学即练 1．（2026·上海金山·二模）已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】本题先根据半径比设参数，利用两圆内切的性质求出两圆半径，再比较圆心距与两圆半径和、差的大小，判断两圆位置关系，用到两圆位置关系与圆心距、半径的关系知识点． 【详解】解：由于两圆的半径长之比为， 设两圆半径分别为 厘米， 厘米，其中 ， 当两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差，且内切时圆心距为 9 厘米， ， 解得， 厘米、厘米， 厘米、厘米， 圆心距为厘米，满足， 此时两圆位置关系为相交． 2．（2025·上海嘉定·二模）如果与内含，圆心距，的半径长是，那么的半径长的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆与圆的位置关系，两个圆的半径差的绝对值小于圆心距离，那么这两个圆内含，据此分内含于和内含于两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：当内含于时，则， ∴， ∴； 当内含于时，则， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选：C． 题型01 点与圆位置关系判断及计算 / （1）算出点到圆心距离，对比半径：圆内，圆上，圆外； （2）易错：仅凭看图估位置，不列式计算；距离公式坐标代入出错。 典｜例｜精｜析 1．（2026·云南保山·一模）已知的半径为．若点P到圆心O的距离为，则（   ） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小，即可判断点的位置． 【详解】解：设的半径为，点到圆心的距离为， ∵由题意得 ，， ∴ ，即 ， 根据点与圆的位置关系判定规则：当时，点在圆外， ∴点在外． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）点与的位置关系如图所示，若，，则的半径可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系即可求解，解题的关键是正确理解当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：设的半径为， ∵点在圆外且， ∴， ∵点在圆内且， ∴， ∴的半径是， ∴选项符合题意， 故选：． 2．（2026·贵州·一模）如图，已知正方形，以点A为圆心，以为半径作，则点C在_______．（填“外”或“内”） 【答案】外 【分析】根据正方形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接，如图， ∵正方形的对角线， ∴点C在外． 题型02 直线与圆位置关系判断 / （1）求圆心到直线垂距，和比较：相离，相切，相交； （2）易错：误用圆心到直线上任意点线段长代替垂线段距离。 典｜例｜精｜析 1．（2026·广东汕头·一模）如果圆的半径是，圆心到直线的距离是，那么直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】先确定圆的半径和圆心到直线的距离，再比较与的大小，根据直线与圆位置关系的判定规则即可得出结论． 【详解】解：由题意得，圆的半径，圆心到直线的距离 根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离. 直线与圆的位置关系是相离． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 2．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，与相切的直线是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，切线的判定，掌握好切线的定义是关键． 圆的切线指的是与圆只有一个公共点的直线，根据定义判断选项即可． 【详解】解：根据直线与圆的公共点个数判断位置关系如下： 对于选项A：与没有公共点，则与相离，故A错误； 对于选项B：与有两个公共点，则与相交，故B错误； 对于选项C：与有两个公共点，则与相交，故C错误； 对于选项D：与只有一个公共点，则与相切，故D正确． 故选：D． 题型03 利用直线与圆位置关系求半径 / （1）先求圆心到直线垂距，按相切、相交、相离列式求解； （2）易错：不等号方向写反；相切时分值漏写等号。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，．以点C为圆心，r为半径作圆．若与斜边所在直线有且只有一个公共点，则r的值为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】首先由勾股定理求，再用面积法求出到的距离，然后根据切线的判定定理回答即可． 【详解】解：在中，，，． ， 过点作于点， ， ， 与斜边所在直线有且只有一个公共点， 与相切， ． 2．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）已知的半径为5，点到直线的距离为，若直线与相离，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知的半径为，圆心到直线的距离为，当时，直线和相离是解答此题的关键． 根据圆与直线相离的位置关系，圆心到直线的距离大于半径，即可求解． 【详解】解：∵直线与相离， ∴圆心到直线的距离大于的半径，即． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）已知与直线没有公共点，若的半径为5，则圆心到直线的距离可以是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】圆与直线的位置关系由圆心到直线的距离和圆半径的大小关系决定：当时，圆与直线相离，无公共点；当时，圆与直线相切，有一个公共点；当时，圆与直线相交，有两个公共点． 【详解】解：∵与直线没有公共点， ∴与直线相离， 已知的半径， ∴圆心到直线的距离， 观察选项，只有选项A中的6满足， 故选：A． 2．（2026·广西玉林·三模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，作于点，取上的球心，连接，设，在中利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图，取的中点，作于点， ∵是的中点，于点， ∴经过球心， ∴取上的球心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴在直角三角形中，，即， 解得：， ∴球的半径为． 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，中，以点为圆心作，与，有交点（不经过点，两点），，．若，则的半径的取值范围是________． 【答案】 【分析】分别求出与相切时，过点时两种情况半径的值，再结合图像分析即可． 【详解】 ，，， ， 如图，当与相切时，半径， 当过点时，半径， 由图像可得，当与，有交点（不经过点，两点）时， 的半径的取值范围是． 题型04 圆或直线平移到两者相切的计算 / （1）算出初始圆心距，平移距离=初始距离（外切）或距离（内切），分左右/上下两种相切情况。 （2）易错：只算一种相切位置，漏掉双解；平移长度加减混淆。 典｜例｜精｜析 1．（2025·河南濮阳·一模）如图，，圆心在边上的的半径为，．若在上向点移动，当与相切时，圆心移动的距离为________． 【答案】 【分析】此题重点考查平移的性质、切线的性质定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 当移动到与相切时，设圆心为，切点为，由，，，得，最后求解即可． 【详解】解：当移动到与相切时，设圆心为，切点为，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴圆心移动的距离为． 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东广州·二模）如图，的半径，直线，垂足为，且交于，两点，，若沿所在直线平移后与相切，则平移的距离是________． 【答案】或 【分析】连接，利用垂径定理可得，再由勾股定理可得，然后分两种情况解答即可． 【详解】解：连接， ∵直线，， ∴， 在中，， ∴， ∵直线l沿所在直线平移后与相切， ∴直线l应垂直于过点C的直径，垂足为直径的两个端点， ∴当直线向下平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 当直线向上平移时，直线l沿所在直线移动的距离为； 综上所述，平移的距离是或． 2．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）已知的半径为，点O到直线l的距离为，把直线l向上平移______，才能使l与相切？ 【答案】2或 【分析】本题考查圆的切线，掌握相关知识是解决问题的关键．直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此解答即可． 【详解】解：根据题意得，或， 把直线l向上平移或才能使l与相切； 故答案为：2或 3．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图，直线、相交于点，，的半径为，且，如果以的速度沿由向的方向移动，则___________秒时与直线相切． 【答案】2或6 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在 点左侧，与相切时，过作于，根据切线的性质得到，再利用得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在 点右侧，与相切，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在 点左侧，与相切时，过作于，如图， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）； 当点在 点右侧，与相切，如图， 同理，得的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒）． 故答案为：2或6． 题型05 切线判定证明题 / （1）有公共点：连圆心和交点，证垂直； （2）无公共点：作圆心垂线，证垂线段长=半径。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，中，，，点A在以为直径的上． (1)求度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理和切线的判定定理，正确掌握相关知识是解题的关键． （1）根据“直径所对的圆周角是直角”得，计算即可求解； （2）连接，根据角之间的关系，易求，根据切线的判定定理即可求证． 【详解】（1）解： 为的直径， ，即是直角三角形， ， ； （2）证明：如图，连接， ，， ， ， ， ，即， 又 是半径， 是的切线． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·吉林延边·期末）如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，使． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了圆的切线判定以及含角的直角三角形性质，熟练掌握切线判定定理和直角三角形边角关系是解题关键． （1）利用“直径所对圆周角为直角”得到角的互余关系，结合等腰三角形性质和已知角相等的条件，推导出半径与直线垂直，从而证明切线； （2）在直角三角形中，根据角所对直角边是斜边的一半，结合线段和差关系，建立关于半径的等式求解． 【详解】（1）证明：连接 是的直径， ， ， ， ， ， ，即， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， 即， ， 又， ， 的半径为． 2．（2026·山东济南·二模）如图，在中，，以为直径的交边于点，点在上，连接，，． (1)证明：是的切线； (2)若的直径为，，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，则，由等腰三角形的性质可得，结合可得，则，因此命题得证； （2）设，则，由勾股定理可得，在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 题型06 切线的性质与判定综合 / （1）切线⊥过切点半径；判定用连半径证垂直，性质得直角后结合勾股、相似求解； （2）易错：不会主动连接切点与圆心构造直角；性质、判定定理混用。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，圆内接四边形的边过圆心O，过点C的直线与边所在直线垂直于点M． (1)若是的切线，且．求的度数． (2)试猜想与满足什么关系时，直线与相切？并说明理由． 【答案】(1) (2)时，与相切．理由见解析 【分析】本题考查了切线的判定与性质，圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键． （1）连接，由切线的性质得到，再根据圆周角定理结合直角三角形的性质求出，根据，得到，利用圆内接四边形的性质，求出，即可解答； （2）当时，与相切，由，得到，根据等腰三角形的性质推出，易证，推出，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的切线， ． ， 为的直径， ． ， ． ∵四边形为圆内接四边形， ． 又， ， ． （2）解：当时，与相切． 理由：， ， 又， ， ， ． ， ． 又为的半径， 与相切． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·安徽安庆·一模）如图，在中，是直径，是弦，D为的中点，连接并延长交于点E，为的切线交的延长线于点F．记与的交点为H． (1)求证：． (2)若H为的中点，的半径为4，求的长． 【答案】(1)证明：如图，连接， 是 的中点，是的弦， ，， ，且， ， 是的切线， ， 为直径， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）利用垂径定理由为中点得及，从而；同时，故，再由为切线得，直径所对圆周角得，因此，进而得； （2）由（1）知且，结合为中点可证，得，再利用为中点、为中点得，设，则，代入解得． 【详解】（1）略 （2）如图，连接 由（1）得，，且H为的中点， 在和中， ， ， ， 是中点，D为的中点， ， ， 的半径为4，即， 设，则, ，解得， 的长为． 2．（2026·浙江·模拟预测）如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点． (1)求证：F为中点； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵矩形， ∴， ∵为半圆O的直径， 、CD为的切线， 又AE为切线， ， ， 在矩形ABCD中，， ， ， ， 、FC为切线， ， ， 为CD中点． (2) 【分析】（1）先证、CD为的切线，再根据切线长定理得出，从而得出，然后根据平行线的性质与对顶角性质证得，得出，最后由切线长定理得出，即可得出结论； （2）设，则，，再在中，由勾股定理得出，解得：，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：、AE为切线 ， 设 则， ∴， ∵矩形， ∴， 在中 ， 即， 又， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质，切线长定理，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的判定与性质以及切线长定理是解题的关键． 题型07切线长定理计算与证明 / （1）圆外一点引两条切线长相等；圆心和该点连线平分夹角、垂直平分切点连线； （2）易错：多条切线时漏写多组等长线段；误把圆心连线当成切线。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图，，分别与相切于，两点，连接，若，，则的周长为（    ） A．18 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，等边三角形的判定和性质等知识，先运用切线长得到，从而判定是等边三角形，从而得解． 【详解】解：∵，分别与相切于，两点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为：， 故选：A． 2．（2026·广东汕头·一模）已知：O是的对称中心，与相切于点E． (1)如图1，求证：直线是的切线． 小明建议：可以过点O作的垂线…… 小红建议：也可以连接并延长…… 选择其中一位同学的建议，完成证明： (2)如图2，当与相切时，是菱形吗？说明理由． 【答案】(1)选择小明同学的建议，证明见解析；选择小红同学的建议，证明见解析 (2)是菱形，理由见解析 【分析】（1）选择小明同学的建议：过点O作，连接，，证明，可得，即可解答；选择小红同学的建议： 连接，并延长交于点F，证明，可得，即可解答； （2）当与相切时，切点记为点，证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：选择小明同学的建议： 过点O作，连接，，如图： ∴， ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴直线是的切线； 选择小红同学的建议： 连接，并延长交于点F，如图： ∵是的对称中心， ∴三点共线，且，， ∴， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是切点， 即直线是的切线； （2）解：是菱形，理由如下： 当与相切时，切点记为点，如图所示： ∵与相切于点．与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是菱形． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·河南鹤壁·一模）已知中，为直径，、分别切于点、． (1)如图①．若，求的大小． (2)如图②，过点作于点，交于点，若，求的大小． 【答案】(1)45° (2)60° 【分析】（1）根据切线的性质，得到，进而求出的度数，切线长定理，得到，等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）连接、，证明四边形是菱形，证明是等边三角形，得到，根据菱形的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：切于点， ， ． ， ∴． 、分别切于点、， ， ， ． （2）解：如图，连接、， ，， ． 又， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形， ． 为直径，， ∴弧弧， ． ，， ， 是等边三角形， ． ∴在菱形中，． 2．（2025·广东中山·二模）如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线长定理，圆周角定理，垂直平分线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，如图，先根据切线长定理得到，再判断垂直平分，接着根据圆周角定理得到，然后根据平行线的判定方法得到结论． 【详解】证明：连接交于，连接，如图， 和为的切线， ， ， 垂直平分， 是的直径， ， ， ． 3．（2025·河南洛阳·三模）在中国古代，“方”象征稳定秩序，“圆”代表无限循环．设计中结合“外 方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐．这些设计彰显古人智慧、审美与哲学， 传递对和谐、秩序的尊重，如古铜钱、良渚玉琮、中式窗棂，从古代的方圆象征到数 学中的正方形与圆，我们探讨它们之间的一些数学问题． (1)如图1，在正方形中，O为对角线的交点，的半径为正方形边长的一半，求证：与相切； (2)如图2，在正方形中，分别与相切于点N，M， E，且，，求的半径； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了切线的判定和性质、切线长定理、正方形的性质等知识，熟练掌握切线的判定和性质是关键． （1）通过作垂线，证明圆心到直线的距离等于半径，从而证明直线与圆相切； （2）连接．证明三点在同一条直线， 得到，由及即可得到答案． 【详解】（1）设正方形边长为a，则半径为． 过O作于H， ∵O为正方形对角线交点， ∴ ∴O到的距离等于边长的一半，即，等于半径， ∴与相切． （2）连接． ∵在正方形中，， ∴． ∵分别与相切于点N，M，E， ∴． ∵ ∴， ∴是的垂直平分线， ∵， ∴点在的垂直平分线是上， ∴三点在同一条直线， ∴ ∵ ∴ ∴的半径为． 题型08三角形内切圆相关计算 / （1）内切圆半径（面积，周长）；直角三角形； （2）易错：直角三角形内切半径公式记错；周长、面积代数值出错。 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·云南昭通·期末）张老师计划在一个直角三角形花坛内建造一个圆形喷泉，要求喷泉与花坛的三条边都相切，如图所示，设切点分别为，已知米，米，则圆形喷泉的半径是（    ） A．2米 B．2.5米 C．3米 D．4米 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形内切圆半径的计算，可通过勾股定理先求出斜边长度，再利用面积法求解． 【详解】解：∵在中，，米，米， ∴（米）． 如图，连接，，，，，，设内切圆半径为，则， ∵的面积可以表示为，也可以表示为， ∴， 解得． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ∵的面积为， ， ， 解得， 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）在中，，是的内切圆，连接、，则C的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内切圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ， ∵是的内切圆， ， ， ， 故选： C． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，的内切圆分别与，，相切于点D，E，F，且，．若的周长为36，则的长为________． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形内切圆、切线长定理．由切线长定理可得，，，从而得出的值，再由三角形周长得出的值，设，列出关于x的方程求解x的值，即可得出的值． 【详解】解：∵的内切圆分别与，，相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵的周长为36， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：， 即的长为8， 故答案为：8． 题型09三角形内心的应用 / （1）内心是三条角平分线交点，到三边距离相等（内切圆半径），可求角度、边长； （2）易错：内心和外心混淆；误以为内心到三顶点距离相等。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）如图将沿着直线折叠，点恰好与的内心重合，若，则的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内心的性质、三角形内角和定理、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据三角形内心的性质得出，，再由折叠的性质可得，结合求解即可． 【详解】解：∵I是的内心， ∴，， ∵， ∴， 由折叠过程知， ∴， ， ， ， 又， ∴， ， ， ． 故选D． 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏南通·三模）如图，菱形中，对角线、相交于点，的内心与点的距离为，则菱形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于E， 作于F，连接，由四边形是菱形，是的内心，求得．．．可得．由，．则可得菱形的面积． 【详解】解：作于E， 作于F，连接， ． 四边形是菱形， ，，． 是的内心， ，． ． ． ． ． ． ，， ． ． ． ． ． 2．（25-26九年级上·江西上饶·期末）已知，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的边恰好为的直径，延长至点，使得，连接．求证：直线为的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，首先结合三角形的内心定义可得，，进而结合角的和差关系以及三角形的外角性质进行角的运算即可推出，得到； （2）连接，利用相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，得到，进而推出，即，得证． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接． 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴直线是的切线． 【点睛】本题主要考查三角形内心的定义，外角的性质，等腰三角形的性质和判定，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的弦相等，切线的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 题型10圆与圆的位置关系 / （1）算圆心距，两圆半径： 外离；外切；相交；内切；内含； （2）易错：相切不分内外切，丢掉一解；大小半径相减不加大绝对值。 典｜例｜精｜析 1．（2025·上海青浦·二模）已知与有交点，圆心距如果的半径，那么的半径为的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查圆与圆相交时，圆心距与半径的关系． 根据圆心距与半径之和，半径之差的关系即可得到答案． 【详解】由题意可知：， 解得：． 故选：D． 2．（25-26九年级上·青海果洛·期末）已知和的直径分别为3和4，且，则两圆的位置关系是______． 【答案】相交 【分析】本题考查判断两圆之间的位置关系，求出两个圆的半径之和，以及两个圆的半径之差，与两圆心之间的距离，比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵和的直径分别为3和4， ∴和的半径分别为1.5和2， ∴两个圆的半径之和为3.5，两个圆的半径之差为0.5， ∵， ∴两圆的位置关系是相交； 故答案为：相交． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·上海浦东新·二模）对于命题：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离；②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含．下列说法正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①和②都正确 D．①和②都错误 【答案】B 【分析】本题考查了命题的判断，圆与圆的位置关系，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键．根据圆与圆的位置关系判断即可． 【详解】解：①一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，①错误； ②一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，②正确． 故选：B． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，与是半径为的两个等圆，是的中点，过点的直线交于、两点，交于、两点． (1)求证：； (2)若圆心、间的距离为10，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)2 【分析】（1）分别过作垂足分别为，由已知条件证，所以，进而可证明． （2）根据，得出，根据垂径定理得出，则，设，则，根据题意，在和中，根据勾股定理得，列方程求解即可． 【详解】（1）证明：分别过作垂足分别为， 是的中点， ， 在和中 ， ， ， 根据题意可得， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， 则， 根据题意， 在中，， 在中，， ∴，即， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度不大，是中考常见题型． 题型11尺规作图——过圆外一点作圆的切线 / 连接圆心与外点，作线段中点，以中点为圆心、半长为半径画弧，与原圆交点即为切点，连线得切线。 典｜例｜精｜析 1．（2026·甘肃陇南·一模）如图，已知及上一点，请利用无刻度直尺及圆规作出直线，使得与相切． 下面是小宇设计的作法： ①作射线； ②在外取一点（点不在射线上），以为圆心，为半径作圆，与射线交于另一点； ③连接并延长交于点； ④作直线即为所求作直线． 所以直线即为所求作直线． 请在图中按小宇的作法作出直线（保留作图痕迹）． 【答案】 解：如图所示： 【分析】根据小宇的作法作图即可． 【详解】略 变｜式｜巩｜固 1．（2026·江苏徐州·二模）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图，保留作图痕迹．（可以写出必要作图过程） (1)如图①，点在内．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦被点平分； (2)如图②，在这个外再取一点．请过点作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与（1）中所作弦的长度相等． 【答案】(1)解：如图①，直线即为所求； (2)解：如图②，直线即为所求； 【分析】（1）连接，过点作的垂线，即为直线； （2）以为圆心，为半径画圆，连接，作的中垂线，再以为直径画圆，两圆交于点，连接，作直线即可，根据圆周角定理可得，即，又，根据弦心距相等，对应的弦也相等，即可得到直线即为所求. 【详解】（1）略 （2）略 2．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知：圆及圆外一点，求作：过点作圆的切线． 作法：①连接，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和，连接，交于点； ②以为圆心，长为半径作圆，交圆于点，两点； ③作直线，． 所以直线，为的切线． (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明推理的依据 证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（_______________）， ∵，为的半径， ∴直线，为的切线（_______________）． 【答案】(1)图见解析 (2)直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【分析】本题考查尺规作图画圆的切线，切线的判定定理，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据题干的步骤进行尺规作图即可； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理进行填空即可． 【详解】（1）解：补全图形如图所示： （2）证明：连接，， ∵为的直径，且点、在上， ∴，（①直径所对的圆周角为直角）， ∵、为的半径， ∴直线，为的切线（②经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线） 故答案为：直径所对的圆周角是直角； 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $