精品解析：上海市静安区大宁国际学校2025-2026学年八年级下学期5月阶段学情自测数学试卷

静安区大宁国际学校2025-2026学年八年级下学期5月月考数学试卷 一、单选题 1. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 2. 一次函数的图像经过第一、三、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在下列叙述中，错误的是（ ） A. 任何多边形的内角中最多有三个锐角 B. 任何多边形的内角中最多有四个直角 C. 对角线总条数等于其边数的多边形是五边形 D. 从n边形一个顶点出发可以作条对角线 4. 顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 5. 在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 若点的横坐标不变，纵坐标乘以后得点，则在平面直角坐标系中，点与点关于______轴对称． 8. 若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 9. 在平面直角坐标系中，点与点，则长度为___________． 10. 已知点和点是一次函数图象上的点，则_______．（用“”，“”或“”连接） 11. 若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是______. 12. 如图，在六边形中，若与的角平分线交于点，则等于________°． 13. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____． 14. 将直线y＝3x先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的直线解析式是__． 15. 如图，在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，点A对应点为点F，当直线恰好经过的中点M时，的长为_____． 16. 如图，四边形为菱形，点E是的中点，点F，H是对角线上两点，且，点G在边上．若四边形是矩形，则菱形的周长为_________． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且MN＝8，则BM的值为_____． 三、解答题 18. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． （1）求点的坐标； （2）求一次函数的表达式． 19. 一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了小时，然后以比原来速度慢千米/小时的速度沿原路返回甲地，设慢车离开甲地的时间为（小时），（千米）、（千米）分别表示慢车、快车离甲地的距离．图中线段与折线分别表示与之间的函数关系．根据图像进行以下探究： （1）甲、乙两地之间的距离是 千米； （2）慢车的速度是 千米/小时； （3）求快车从甲地到乙地的速度；（写出解答过程） （4）慢车出发 小时，两车相距千米？ 20. 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． （1）观察发现：直线的函数表达式为________． （2）探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； （3）拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 21. 综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点，直线分别与轴于点，B． （1）求的面积． （2）点是轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交直线于点，．当时，求的值． （3）过点作轴的垂线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 已知在四边形中，，，平分，交边于点． （1）如图，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； （2）如果，， ①如图，时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静安区大宁国际学校2025-2026学年八年级下学期5月月考数学试卷 一、单选题 1. 在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的平移规律：横坐标左移减右移加，纵坐标下移减上移加，按平移步骤计算即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点向左平移个单位长度后，横坐标为，得到点， 再将点向下平移个单位长度，纵坐标为， ∴点的坐标为 ． 2. 一次函数的图像经过第一、三、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次项系数的符号确定直线经过的象限，再结合已知经过的象限判断直线与y轴的交点位置，即可得到b的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的一次项系数为， ∴该一次函数图像一定经过第一、三象限， ∵该函数图像还经过第四象限， ∴函数图像与y轴相交于y轴负半轴， 当时，，交点坐标为， ∴． 3. 在下列叙述中，错误的是（ ） A. 任何多边形的内角中最多有三个锐角 B. 任何多边形的内角中最多有四个直角 C. 对角线总条数等于其边数的多边形是五边形 D. 从n边形一个顶点出发可以作条对角线 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的外角和为360度，且多边形的一个外角与其相邻的内角互补，据此可判断A、B；从n边形一个顶点出发可以作条对角线，则边形对角线总条数公式为，据此可判断C、D． 【详解】解：A、∵任意多边形的外角和为360度， ∴任意多边形的外角中，最多有三个钝角， ∴任意多边形的内角中，最多有三个锐角，原说法正确，不符合题意； B、当多边形的一个内角是直角时，与其相邻的外角也是直角，而任意多边形的外角和为360度，故任意多边形的外角中，最多有4个直角，即任何多边形的内角中最多有四个直角，原说法正确，不符合题意； C、边形对角线总条数公式为，当时，解得或（舍去），故对角线总条数等于其边数的多边形是五边形，原说法正确，不符合题意； D、从n边形一个顶点出发可以作条对角线，原说法错误，符合题意； 4. 顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】连接菱形的两条对角线，利用三角形中位线定理先证明所得四边形是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，证明平行四边形有一个内角为直角，根据矩形的判定定理得到结果． 【详解】解：设菱形中，，，，分别是，，，的中点，连接，． ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理可得：，，，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 5. 在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况分别确定两条直线的位置即可得出答案． 【详解】解：当时，直线经过第一，三象限，且经过原点，直线经过第一，三，四象限，无符合题意的选项； 当时，直线经过第二，四象限，且经过原点，直线经过第一，二，三象限，B符合题意． 6. 如图，正方形中，E为边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，连接，若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点F作，交的延长线于点G，先由，得出，结合正方形的性质，则，然后证明通过证明，所以，再结合等边对等角，即可作答． 【详解】解：过点F作，交的延长线于点G， 由旋转得，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 二、填空题 7. 若点的横坐标不变，纵坐标乘以后得点，则在平面直角坐标系中，点与点关于______轴对称． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标变换得到点与点的坐标特征，结合对称点的坐标特征判断对称轴即可． 【详解】解：设点的坐标为 由题意得，变换后点的坐标为 根据平面直角坐标系中对称点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数的两点关于轴对称． 可得点与点关于轴对称． 8. 若函数是关于的一次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先将给定函数整理为一次函数的一般形式，再根据一次函数的定义，要求一次项系数不为，列不等式求出的取值范围即可． 【详解】解： ， ∵函数是关于的一次函数， ∴， ∴． 9. 在平面直角坐标系中，点与点，则长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】平面直角坐标系中点和点的距离为，据此求解即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点， ∴． 10. 已知点和点是一次函数图象上的点，则_______．（用“”，“”或“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数值的大小，根据题意，将点和点代入一次函数表达式求出，比较大小即可得到答案．熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：点和点是一次函数图象上的点， ，， 则， 故答案为：． 11. 若一次函数的图像不经过第二象限，则k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象不经过第二象限列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数的图形不经过第二象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，在六边形中，若与的角平分线交于点，则等于________°． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，角平分线的定义，三角形内角和，解题的关键是根据六边形的内角和为，，求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：六边形的内角和是：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°，BC=AD=3， ∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG， ∴EF=BC=3，AE=AB， ∵DE=EF， ∴AD=DE=3， ∴AE==3， ∴AB=3， 故答案为3． 【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键． 14. 将直线y＝3x先向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的直线解析式是__． 【答案】y＝3x−11 【解析】 【分析】根据图象平移规律：左加右减，上加下减，即可解决问题． 【详解】解：∵直线y＝3x先向右平移3个单位， ∴y＝3（x−3）， 再向下平移2个单位得到y＝3（x−3）−2，即y＝3x−11． 故答案为y＝3x−11． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟记平移规律是解决问题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，点E在边上，连接，将沿翻折，点A对应点为点F，当直线恰好经过的中点M时，的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，先利用勾股定理求出，设，则，在和中，利用勾股定理可得出，解方程即可． 【详解】解：连接， 在矩形中，，， ∴，，， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴，，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 即的长为， 故答案为：． 16. 如图，四边形为菱形，点E是的中点，点F，H是对角线上两点，且，点G在边上．若四边形是矩形，则菱形的周长为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】连接，先根据矩形和菱形的性质，推出，得到，进而得到，证明四边形是平行四边形，得到，即可求出菱形的周长． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形，， ，，， ， ，， ， 四边形是菱形， ， 在和中， ， ， ， 是中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形的周长为， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题关键． 17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4，M是对角线BD所在直线上的一个动点，点N是平面内一点．若四边形MCND为平行四边形，且MN＝8，则BM的值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】分两种情况：①如图1，M在对角线BD上时，设四边形MCND对角线MN和DC交于O，过O作OG⊥BD于G；②如图2，M在BD的延长线上时，过O作OG⊥BD于G；设BM＝x，表示MG的长，先根据直角三角形30度角的性质可得OG和DG的长，在直角三角形OGM中列方程可得结论． 【详解】解：①如图1，M在对角线BD上时，设四边形MCND对角线MN和DC交于O，过O作OG⊥BD于G， ∵四边形MCND为平行四边形， ∴OD＝DC＝AB＝2，OM＝MN＝4， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∵AB＝4，AD＝4， ∴BD＝＝8， ∴AB＝BD， ∴∠ADB＝30°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝60°， Rt△ODG中，∠DOG＝30°， ∴DG＝1，OG＝， 设BM＝x，则MG＝8﹣x﹣1＝7﹣x， △OMG中，MG2+OG2＝OM2， ∴＝42， 解得：x＝7+（舍）或7﹣； ②如图2，M在BD的延长线上时，过O作OG⊥BD于G， 同理得：DG＝1，OG＝，OM＝4， 设BM＝x，则MG＝x﹣8+1＝x﹣7， △OMG中，MG2+OG2＝OM2， ∴， 解得：x＝7+或7﹣（舍）； 综上，BM的长为7； 故答案为：7． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，设未知数列方程是解决问题的关键． 三、解答题 18. 如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点、，与一次函数的图象交于点，点的横坐标为3，轴，为垂足，． （1）求点的坐标； （2）求一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点P的横坐标为3代入表达式，可得答案； （2）结合点P的坐标可得，再结合已知条件可得点C的坐标，然后根据待定系数法求出表达式即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过点P，且点P的横坐标为3， ∴， ∴点； 【小问2详解】 解：∵点轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 19. 一列快车和一列慢车同时从甲地出发，分别匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留了小时，然后以比原来速度慢千米/小时的速度沿原路返回甲地，设慢车离开甲地的时间为（小时），（千米）、（千米）分别表示慢车、快车离甲地的距离．图中线段与折线分别表示与之间的函数关系．根据图像进行以下探究： （1）甲、乙两地之间的距离是 千米； （2）慢车的速度是 千米/小时； （3）求快车从甲地到乙地的速度；（写出解答过程） （4）慢车出发 小时，两车相距千米？ 【答案】（1）千米 （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据图象回答即可； （2）根据速度路程时间计算即可； （3）根据快车返回时速度相同列方程求解即可； （4）分类讨论：快车去乙地时、快车停留时、快车返回时； 【小问1详解】 从图象中、、点的纵坐标可以看出，两地相距千米； 【小问2详解】 由图可知：慢车小时行驶了千米， 慢车的速度是：千米/小时； 【小问3详解】 设快车从甲地到乙地的速度为千米/小时，从图象可知， 快车到达乙地的时间为小时， ∴点的横坐标为， 快车在乙地停留小时， 点的横坐标为， 返回时速度比原来速度慢千米/小时， 返回时速度为千米/小时， 由图可知：点的纵坐标为，此时快车在返途中，也行驶了千米， 快车由乙地返回到千米时的所用时间为：小时， 根据返回速度列方程：， 整理得：， ， 或（舍去）， 当时，返回速度为千米/小时，点横坐标为，返回时间为小时，千米，符合题意； 快车从甲地到乙地的速度为千米/小时； 【小问4详解】 由（3）可得，快车从甲地到达乙地时，小时， 当时， 快车路程，慢车路程， ， 解得：； 当快车停留时，即时， 快车路程，慢车路程， ， 解得：； 当快车返回时，由题可得，返回总时间为小时， 当时，设直线解析式为， 点，在函数图象上， ， 解得：，， ， ， ， 或， 或， （舍去）， ； 满足条件的的值为或或． 20. 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． （1）观察发现：直线的函数表达式为________． （2）探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； （3）拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 【答案】（1） （2）四边形是矩形，证明见解析 （3）秒或3秒 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，设直线的函数表达式为，将点、点，代入即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，根据、的运动情况，分类讨论，可求出与的长，分别代入直线和解析式，进而求出点，坐标，可得出，即可得出结论； （3）根据、的运动情况，分类讨论，求出，利用建立方程即可求出时间． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， 将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设运动时间为， ，，， ，， 点在直线上，点在直线上，且轴，轴， ，， ， 又轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． 【小问3详解】 解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 21. 综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点，直线分别与轴于点，B． （1）求的面积． （2）点是轴上一动点，过点作轴的垂线，分别交直线于点，．当时，求的值． （3）过点作轴的垂线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在，或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数，方程组，三角形的面积以及平行四边形的性质： （1）分别令直线的解析式中，求出的值，从而得出点、的坐标，联立直线的解析式成方程组，解方程组即可求出交点的坐标，利用三角形的面积公式即可求出的面积． （2）分别用含有的代数式表示出根据列出方程，求出的值即可； （3）分别求出点的坐标，分为对角线，为对角线，为对角线，分别讨论求解即可， 【小问1详解】 解：对于，令，解得，故； 对于，令，解得，故； 联立与的方程，解得，，故． ，的高为点纵坐标， 面积； 【小问2详解】 解：∵点，过作轴垂线交于，交于， ∴，． 由，得，化简得||． 当时，解得； 当，解得． 故或； 【小问3详解】 解：∵，且轴，点在上， ∴， ∴， 同理可得：， 又， 设 ①当为对角线，的交点重合，即对角线的交点， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； ②当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； ③当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； 综上所述，存在这样的点坐标为或或. 22. 已知在四边形中，，，平分，交边于点． （1）如图，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形； （2）如果，， ①如图，时，求的度数； ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②或 【解析】 【分析】（）先证明四边形是矩形，进而根据即可求证； （）①过点作于点，可得四边形是矩形，得，再利用勾股定理得 ，即得是等腰直角三角形，得到，再根据角平分线的定义即可求解；②分和两种情况，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 ①解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵平分， ∴； ②当时，如图所示，过点作的延长线于点， ∵ ， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， 解得， ∴； 当时，如图所示，过点作于点， 设，则 ，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴是 的角平分线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上，当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $