【内蒙古专用】期末模拟卷（2）（人教版）-2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》（原卷版+解析版）

**基本信息** 2025-2026学年高二下学期数学期末模拟卷，贴合职教高考真题题型，覆盖人教版基础与拓展模块核心考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，助力学生期末高效复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|复数、不等式、直线垂直等|基础巩固，如第2题复数纯虚数充要条件，考查推理能力| |填空题|6/30|三角函数、概率等|结合现实情境，如第16题疫情隔离分组概率，体现数学眼光| |解答题|6/60|数列、函数应用、立体几何等|综合应用，如第23题商店利润函数，考查数学语言表达现实问题|

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》以《数学》（人教版）教材章节内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末模拟卷（2） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学》人教版基础模块和拓展模块一全部章节。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．若，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（　　） A．R B．∅ C． D． 4．若直线与垂直，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的最大值和最小正周期分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 7．在边长为的正三角形中，向量（   ） A． B． C． D． 8．设 是椭圆 的两个焦点. 过点 的直线与椭圆交于 两点， 则 的周长是 （ ） A． B． C． D． 9．下列命题正确的是（    ） ①如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一平面垂直. ④如果个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①④ 10．已知双曲线与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线是（    ） A． B． C． D． 11．已知是偶函数，当时，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．已知，且是第二象限的角，则_____． 14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 15．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________ 16．对于新型冠状病毒肺炎，目前没有特异治疗方法，只能严格落实常态化防控要求，落实隔离防控措施，全力做好疫情防控工作．已知甲通过核酸检测确诊为呈“阳性”，经过追踪发现甲有乙、丙、丁、戊4位密切接触者，现把这4个人平均分成2组，分别送到2个医院进行隔离观察，则乙、丙2人被分到同一个医院的概率为____________ 17．的展开式中，含的项的系数为_____________． 18．抛物线的焦点为，点为上一点，若，则_____． 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三内角A，C，B成等差数列，.若向量，共线.求a，b的值. 20．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 21．已知A，B，C为的三个内角，它们的对边分别为a，b，c且． (1)求A； (2)若，求的面积． 22．如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成的角的大小. 23．某商店出售一种笔记本，每本进价为5元，售价为元（），每天可卖出本，设每天的利润为元. (1)求与之间的函数关系式（利润 = 售价 - 进价）； (2)当售价为8元时，每天的利润是多少元？ 24．已知点，，动点满足. (1)若动点轨迹为曲线，求此曲线方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，求当最短时直线的方程； (3)点在直线：上，直线过点且与曲线只有一个交点，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》以《数学》（人教版）教材章节内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末模拟卷（2） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学》人教版基础模块和拓展模块一全部章节。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.从下列每小题给出的四个选项中选出个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净） 1．若，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合元素与集合的关系即可得解. 【详解】因为， 当时，此时集合，不符合题意； 当时，此时集合，符合题意； 当时，解得或（舍）， 当时，集合， 综上所述，的取值集合为， 故选：. 2．复数为纯虚数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】复数为纯虚数的充要条件：实部为0，虚部不为0，据此列式可求解． 【详解】复数为纯虚数 ，即. 故选：B 3．不等式的解集是（　　） A．R B．∅ C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次函数的性质及一元二次不等式的解集公式进行求解. 【详解】可变形为. 因为方程中, 所以方程有两个实数解, 求得该方程的解分别是：,, 所以不等式的解集为, 即原不等式解集为. 故选：D. 4．若直线与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直斜率互为倒数列出等量关系即可解得. 【详解】由题可化为， 可化为， 又知两直线垂直，则， 解得. 故选：C. 5．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】利用等比数列与等差数列的性质求得，，进而利用诱导公式与特殊角的三角函数值即可求解. 【解答】因为数列是等比数列，数列是等差数列，， ， ， 故选：A. 6．函数的最大值和最小正周期分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由辅助角公式进行化简，即可得到函数的最大值及最小正周期. 【详解】函数. 整理得. 所以最大值为，最小正周期. 故选：. 7．在边长为的正三角形中，向量（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量内积的定义即可求解. 【详解】，其中， ，所以. 故选：C. 8．设 是椭圆 的两个焦点. 过点 的直线与椭圆交于 两点， 则 的周长是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义可求解. 【详解】    在椭圆 中，可得，则， 如图，根据椭圆的定义可得： ，， 所以 的周长. 故选：B 9．下列命题正确的是（    ） ①如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直. ③如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意一条直线都和另一平面垂直. ④如果个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. A．①②③ B．③④ C．②③④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据线面平行，面面平行，线面垂直的判定，面面垂直的性质即可求解. 【详解】对①，由线面平行的判定可得，平面外的一条直线与平面内的一条直线平行， 那么这条直线与这个平面平行，故①正确. 对②，由线面垂直的判定可得，平面外一条直线与平面内的两条相交直线垂直, 那么这条直线与这个平面垂直，故②错误. 对③，两平面垂直，一平面内垂直于两平面交线的直线垂直于另一个平面，故③错误. 对④，由面面平行的判定可得，平面内的两条相交直线都与另一个平面平行， 那么这两个平面平行，故④正确. 综上，①④正确. 故选：D. 10．已知双曲线与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程求得焦点，结合双曲线的离心率公式，渐近线方程即可求解. 【详解】由题意得，因为抛物线的焦点为，所以双曲线的半焦距，且焦点在轴， 因为双曲线的离心率为2，所以双曲线的实半轴长， 所以，所以双曲线的渐近线是. 故选：C. 11．已知是偶函数，当时，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质作出函数图象，由此求解不等式的取值范围即可 【详解】∵是偶函数，当时，， ∴函数图象如图所示：    则的取值范围是. 故选：A. 12．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】B 【分析】根据一次函数和二次函数的图象与性质逐项分析即可得解. 【详解】当时，二次函数的图象开口向上，直线的斜率为负数， 图象经过第一、二、四象限，排除A选项，B选项正确； 当时，二次函数的图象开口向下， 直线的斜率为正数，图象经过第一、二、三象限，排除C，D选项； 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案写在答题卡指定位置上） 13．已知，且是第二象限的角，则_____． 【答案】 【分析】根据二倍角公式以及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】，且是第二象限的角，所以， 进而. 则. 故答案为： 14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_____． 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 依题意，函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 15．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】根据题意结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为， 因为函数在上是减函数， 则，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 16．对于新型冠状病毒肺炎，目前没有特异治疗方法，只能严格落实常态化防控要求，落实隔离防控措施，全力做好疫情防控工作．已知甲通过核酸检测确诊为呈“阳性”，经过追踪发现甲有乙、丙、丁、戊4位密切接触者，现把这4个人平均分成2组，分别送到2个医院进行隔离观察，则乙、丙2人被分到同一个医院的概率为____________ 【答案】 【分析】四人分两组并分别送到两个医院，利用列举法能求出乙、丙两人被分到同一个医院的概率． 【详解】四人分两组并分别送到两个医院，可能的情形有： （乙丙，丁戊），（乙丁，丙戊），（乙戊，丙丁），（丙丁，乙戊），（丙戊，乙丁），（丁戊，丙乙）共6中不同的分配方法， 每种结果都是等可能的，乙、丙两人被分到同一个医院的情况有： （乙丙，丁戊）和（丁戊，丙乙）2种， 所以乙、丙两人被分到同一个医院的概率． 17．的展开式中，含的项的系数为_____________． 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得， 即含的项的系数为. 故答案为：. 18．抛物线的焦点为，点为上一点，若，则_____． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义求出点的横坐标，再代入抛物线方程求出. 【详解】在抛物线中，，则，所以准线方程为. 已知点为抛物线上一点，且， 根据抛物线定义，可得，解得， 将代入抛物线方程可得，则. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.将文字说明､证明过程或演算步骤写在答题卡指定位置上） 19．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三内角A，C，B成等差数列，.若向量，共线.求a，b的值. 【答案】 【分析】利用三个内角成等差数列，可求得角,再利用两向量共线，可求得角,然后利用正弦定理求解. 【详解】在中，三内角成等差数列，所以有, 又因三角形内角和,所以; 因为共线，所以, 又因, 即,，所以,; 由正弦定理可得， . 20．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等比中项的性质求解公差，再由等差数列的通项公式代入即可求解. （2）由（1）求出通项公式，再代入，由裂项即可求解. 【详解】（1）因为，，成等比数列， 所以， 又因为为等差数列， 所以， 又因为， 所以有， 整理得， 解得或， 当时，，，，， 无法形成等比数列， 故舍， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以， 所以 . 21．已知A，B，C为的三个内角，它们的对边分别为a，b，c且． (1)求A； (2)若，求的面积． 【答案】(1)120° (2) 【分析】（1）根据两角和的余弦化简，再求角度数. （2）根据余弦定理以及三角形面积公式求解. 【详解】（1）由题意得： （2）利用余弦定理 解得： 22．如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）将所求转换为直线与直线所成的角的大小，结合等边三角形的内角即可求解. （1）因为点，分别为棱，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）设正方体棱长为，由勾股定理可得， 所以三角形是边长为的等边三角形， 所以直线与直线所成的角的大小为， 因为， 所以直线与直线所成的角的大小为. 23．某商店出售一种笔记本，每本进价为5元，售价为元（），每天可卖出本，设每天的利润为元. (1)求与之间的函数关系式（利润 = 售价 - 进价）； (2)当售价为8元时，每天的利润是多少元？ 【答案】(1) （） (2)252元 【分析】（1）根据题意列式化简即可； （2）将代入即可求解. 【详解】（1）每本利润为元，每天卖出本； 则每天利润为： ； 即 （）. （2）当时， ， 每天的利润是252元. 24．已知点，，动点满足. (1)若动点轨迹为曲线，求此曲线方程； (2)过点的直线与曲线交于，两点，求当最短时直线的方程； (3)点在直线：上，直线过点且与曲线只有一个交点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）设出点坐标，根据两点间距离公式表示与，结合已知条件求解即可； （2）根据当最短时有，由此求解直线方程即可； （3）先判断出直线与圆相切，再根据最小，求解的最小值即可. 【详解】（1）设点的坐标是， 则， ∵动点满足， ∴， 即， ，即 （2）由（1）得圆心，半径， 在圆内，则最短时， 此时直线斜率为0，即的直线方程是：；    （3）∵与圆只有一个交点， ∴与圆相切，且点为切点， 则有且， 又∵是和：上的点， 在中，， 当最小时，最小， 即到直线：的距离， 所以最小.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $