专题3 不等式的性质（讲义）-2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 不等式的性质 【复习目标】 1. 熟记不等式三条基本性质，会用作差法比较两个代数式大小，分清各类区间写法。 2. 熟练解一元一次不等式、不等式组，规范书写解集。 3. 掌握一元二次不等式解法，能结合判别式、图像快速写解集。 4. 吃透绝对值不等式 “大于取两边、小于取中间” 解法。 5. 能解决基础综合小题，规避变号、端点开闭等常见易错点。 6. 7. 写一些不等式章节的易错点 8. 推荐一些不等式章节的典型例题 9. 如何快速掌握不等式章节的知识？ 10. 考点1 不等式的基本性质 1.不等式性质 性质1：. 性质2：（或）. 性质3：（或）. 2.加法法则 推论1：. 推论2：. 3.乘法法则 推论3：. 4.倒数性质 如果，且，则 ；如果，且，则 . 5.乘方性质 如果，则 （且）. 注意： ； . 6.开方性质 如果，则 （且）. 注意： . 1　 同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2　 正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除． 【即时训练】 1．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质可判断. 【详解】A选项，若，则，A选项错误； B选项，若，则，则，即，B选项错误； C选项，若，则且，则，C选项正确； D选项，若，则，，则，D选项错误； 故选：C. 2．已知，则下列式子中正确的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为， 则，故选项正确；，故选项错误； ，故选项错误；，故选项错误. 故选：. 3．若为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A.当时，，故A错误. 选项B.当则，故B错误. 选项C.根据不等式的性质，可知，故C正确. 选项D.当，则，故D错误. 故选：C. 4．下列四个命题中,正确的是（    ） A．若,则. B．某商品先涨价,在降价,其价格不变. C．是直线与曲线的一个交点. D．过空间三点有且只有一个平面 【答案】C 【分析】由不等式的性质,列方程,交点坐标及平面的性质即可得解. 【详解】选项,当时,,故错误. 选项,设商品为元,则,故错误. 选项,将代入直线方程中成立,代入曲线方程中成立,所以为直线与曲线的交点,故正确. 选项,过不在同一条直线的三点有且只有一个平面,故错误. 故选:. 5．若，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质及取特殊值法可判断结果. 【详解】对于A，若，则，所以，故A成立； 对于B，若，则，所以，即，故B成立； 对于C，取，满足，此时，故C不一定成立； 对于D，若，则，所以，即，故D成立. 故选：C 6．当时，成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义以及不等式的性质求解即可. 【详解】， 因为，所以，由，则，进而， 选项A：若和均为正数且，则，不满足条件， 选项B：若和均为负数且，（如，），则，不满足条件， 选项C：符合上述分析，是充要条件， 选项D：若，则无法推出，排除. 故选：. 7．若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质和举反例判断即可. 【详解】对于A项，当时，，所以A项错误； 对于B项，当时，，所以B项错误； 对于C项，当时，，所以C项错误， 对于D项，已知，根据不等式的基本性质可得：，所以D项正确. 故选：D. 8．下列命题中正确的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】D 【分析】利用不等式性质和不等式的运算法则求解. 【详解】对A，如果，那么时，，但当时，，故A错误； 对B，如果，则或，故B错误； 对C，如果同号，当时，，如果异号，当时，，故C错误； 对D，如果，，则，，故D正确. 故选：D. 考点2 作差比较法 1.数轴 数轴有3个要素，即正方向、单位长度、原点. 2 不等式的定义 含有不等号（<,>,≤,≥,≠）的式子称为不等式. 3.实数大小的比较方法——作差比较法 3.对于两个实数a和b，有下面的关系成立： a>b⇔a−b 0. a<b⇔a−b 0. a=b⇔a−b 0. 要比较两个实数的大小，需作差之后与0比较. 【重要公式】 · ； · ； · ； · . (1) 数轴上右边的点表示的实数大于左边的点表示的实数。（简记为：右＞左） (2) 两个实数比较大小，由(a-b>0)，(a-b=0)，(a-b<0)分别得出(a>b)，(a=b)，(a<b)。 (3) 数轴、不等式、区间：实心有等（于）用中括号，空心无等（于）用小括号，正、负无穷用小括号。 【即时训练】 9．设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作差法比较实数大小即可. 【详解】因为， 又，所以， 所以，即， 又，故， 综上，. 故选：B. 10．如果，那么________ 【答案】> 【分析】根据不等式的性质即可判断. 【详解】因为. 所以. 所以. 故答案为：>. 11．若，则下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】对A，因为，所以，故A选项正确； 对B，因为，所以，故B选项错误； 对C，因为，所以，故C选项错误； 对D，因为，所以，故D选项错误. 故选：A. 12．若实数a，b，c，满足，，则______（用不等号填空）. 【答案】 【分析】由作差法判断大小即可. 【详解】， 因为，， 所以，， 所以，即. 故答案为：. 13．设，则与的大小关系为______； 【答案】 【分析】根据题意求出的值并判断正负即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 14．比较下列两个式子的大小： 【答案】 【分析】利用做差法比较两个代数式的大小即可. 【详解】因为， 所以. 15．已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 16．设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 17．（1）若，试比较与的大小； （2）已知，.求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用作差法比较代数式大小； （2）利用不等式的性质化简求解. 【详解】(1)由题意做两式子的差， ， 所以. (2)由已知可得， 又因 所以. 考点3 区间 设是实数，且， (1) 满足的实数的全体，称为闭区间，记作 ； (2) 满足的实数的全体，称为开区间，记作 ； (3) 满足或的实数的全体，都称为半开半闭区间，分别记作 或 ； 有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 {x|a＜x＜b} 开区间 {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (4) “全体实数”也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”； (5) 满足的实数的全体，记作 ； (6) 满足的实数的全体，记作 ； (7) 满足的实数的全体，记作 ； (8) 满足的实数的全体，记作 . 有下表： 符号 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 【误区防范】 一是区间端点的取舍；二是区间开闭的混淆；三是对无穷区间的理解. 区间也是一个集合，它是实数集的一个子集，但不是所有的数集都能用区间表示 【即时训练】 18．设全集，集合 ，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数不等式和二次不等式求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以由，可解得， 由，可得，解得， 所以，， 则. 故选：B. 19．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的概念运算，再由区间表示出来即可. 【详解】已知集合， 则，区间表示为， 故选：D. 20．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出集合，再根据集合的运算求解即可. 【详解】不等式，解得，故集合. 不等式，解得，故集合. 因此，进而. 故选：B. 21．已知函数，，则其值域是_______. 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质和函数值域概念，即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以函数的值域为. 故答案为： 22．不等式用区间表示为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用区间表示法表示即可. 【详解】不等式用区间表示为. 故选：A. 23．已知，集合，那么（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的补运算的区间表示即可求解. 【详解】因为，集合，则. 故选：B. 24．已知全集，集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合交集、并集、补集的概念和运算，及区间的表示和运算，即可判断求解. 【详解】因为全集，集合，，， 所以，故选项A错误； 所以，故选项B错误； 所以，故选项C正确； 所以，故选项D错误； 故选：C. 25．已知集合，则用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义即可得解. 【详解】集合，则用区间表示为， 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年内蒙古自治区对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题3 不等式的性质 【复习目标】 1. 熟记不等式三条基本性质，会用作差法比较两个代数式大小，分清各类区间写法。 2. 熟练解一元一次不等式、不等式组，规范书写解集。 3. 掌握一元二次不等式解法，能结合判别式、图像快速写解集。 4. 吃透绝对值不等式 “大于取两边、小于取中间” 解法。 5. 能解决基础综合小题，规避变号、端点开闭等常见易错点。 6. 7. 写一些不等式章节的易错点 8. 推荐一些不等式章节的典型例题 9. 如何快速掌握不等式章节的知识？ 10. 考点1 不等式的基本性质 1.不等式性质 性质1：. 性质2：（或）. 性质3：（或）. 2.加法法则 推论1：. 推论2：. 3.乘法法则 推论3：. 4.倒数性质 如果，且，则；如果，且，则. 5.乘方性质 如果，则（且）. 注意：；. 6.开方性质 如果，则（且）. 注意：. 1　 同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减； 2　 正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除． 【即时训练】 1．若a，b，c为实数，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质可判断. 【详解】A选项，若，则，A选项错误； B选项，若，则，则，即，B选项错误； C选项，若，则且，则，C选项正确； D选项，若，则，，则，D选项错误； 故选：C. 2．已知，则下列式子中正确的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为， 则，故选项正确；，故选项错误； ，故选项错误；，故选项错误. 故选：. 3．若为实数，且，则下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A.当时，，故A错误. 选项B.当则，故B错误. 选项C.根据不等式的性质，可知，故C正确. 选项D.当，则，故D错误. 故选：C. 4．下列四个命题中,正确的是（    ） A．若,则. B．某商品先涨价,在降价,其价格不变. C．是直线与曲线的一个交点. D．过空间三点有且只有一个平面 【答案】C 【分析】由不等式的性质,列方程,交点坐标及平面的性质即可得解. 【详解】选项,当时,,故错误. 选项,设商品为元,则,故错误. 选项,将代入直线方程中成立,代入曲线方程中成立,所以为直线与曲线的交点,故正确. 选项,过不在同一条直线的三点有且只有一个平面,故错误. 故选:. 5．若，则下列不等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质及取特殊值法可判断结果. 【详解】对于A，若，则，所以，故A成立； 对于B，若，则，所以，即，故B成立； 对于C，取，满足，此时，故C不一定成立； 对于D，若，则，所以，即，故D成立. 故选：C 6．当时，成立的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义以及不等式的性质求解即可. 【详解】， 因为，所以，由，则，进而， 选项A：若和均为正数且，则，不满足条件， 选项B：若和均为负数且，（如，），则，不满足条件， 选项C：符合上述分析，是充要条件， 选项D：若，则无法推出，排除. 故选：. 7．若，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质和举反例判断即可. 【详解】对于A项，当时，，所以A项错误； 对于B项，当时，，所以B项错误； 对于C项，当时，，所以C项错误， 对于D项，已知，根据不等式的基本性质可得：，所以D项正确. 故选：D. 8．下列命题中正确的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】D 【分析】利用不等式性质和不等式的运算法则求解. 【详解】对A，如果，那么时，，但当时，，故A错误； 对B，如果，则或，故B错误； 对C，如果同号，当时，，如果异号，当时，，故C错误； 对D，如果，，则，，故D正确. 故选：D. 考点2 作差比较法 1.数轴 数轴有3个要素，即正方向、单位长度、原点. 2 不等式的定义 含有不等号（<,>,≤,≥,≠）的式子称为不等式. 3.实数大小的比较方法——作差比较法 3.对于两个实数a和b，有下面的关系成立： a>b⇔a−b>0. a<b⇔a−b<0. a=b⇔a−b=0. 要比较两个实数的大小，需作差之后与0比较. 【重要公式】 · ； · ； · ； · . (1) 数轴上右边的点表示的实数大于左边的点表示的实数。（简记为：右＞左） (2) 两个实数比较大小，由(a-b>0)，(a-b=0)，(a-b<0)分别得出(a>b)，(a=b)，(a<b)。 (3) 数轴、不等式、区间：实心有等（于）用中括号，空心无等（于）用小括号，正、负无穷用小括号。 【即时训练】 9．设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作差法比较实数大小即可. 【详解】因为， 又，所以， 所以，即， 又，故， 综上，. 故选：B. 10．如果，那么________ 【答案】> 【分析】根据不等式的性质即可判断. 【详解】因为. 所以. 所以. 故答案为：>. 11．若，则下列不等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】对A，因为，所以，故A选项正确； 对B，因为，所以，故B选项错误； 对C，因为，所以，故C选项错误； 对D，因为，所以，故D选项错误. 故选：A. 12．若实数a，b，c，满足，，则______（用不等号填空）. 【答案】 【分析】由作差法判断大小即可. 【详解】， 因为，， 所以，， 所以，即. 故答案为：. 13．设，则与的大小关系为______； 【答案】 【分析】根据题意求出的值并判断正负即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 14．比较下列两个式子的大小： 【答案】 【分析】利用做差法比较两个代数式的大小即可. 【详解】因为， 所以. 15．已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 16．设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 17．（1）若，试比较与的大小； （2）已知，.求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用作差法比较代数式大小； （2）利用不等式的性质化简求解. 【详解】(1)由题意做两式子的差， ， 所以. (2)由已知可得， 又因 所以. 考点3 区间 设是实数，且， (1) 满足的实数的全体，称为闭区间，记作； (2) 满足的实数的全体，称为开区间，记作； (3) 满足或的实数的全体，都称为半开半闭区间，分别记作或； 有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (4) “全体实数”也可用区间表示为，符号“”读作“正无穷大”，“”读作“负无穷大”； (5) 满足的实数的全体，记作； (6) 满足的实数的全体，记作； (7) 满足的实数的全体，记作； (8) 满足的实数的全体，记作. 有下表： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 【误区防范】 一是区间端点的取舍；二是区间开闭的混淆；三是对无穷区间的理解. 区间也是一个集合，它是实数集的一个子集，但不是所有的数集都能用区间表示 【即时训练】 18．设全集，集合 ，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数不等式和二次不等式求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 所以由，可解得， 由，可得，解得， 所以，， 则. 故选：B. 19．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的概念运算，再由区间表示出来即可. 【详解】已知集合， 则，区间表示为， 故选：D. 20．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出集合，再根据集合的运算求解即可. 【详解】不等式，解得，故集合. 不等式，解得，故集合. 因此，进而. 故选：B. 21．已知函数，，则其值域是_______. 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质和函数值域概念，即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以函数的值域为. 故答案为： 22．不等式用区间表示为（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用区间表示法表示即可. 【详解】不等式用区间表示为. 故选：A. 23．已知，集合，那么（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的补运算的区间表示即可求解. 【详解】因为，集合，则. 故选：B. 24．已知全集，集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合交集、并集、补集的概念和运算，及区间的表示和运算，即可判断求解. 【详解】因为全集，集合，，， 所以，故选项A错误； 所以，故选项B错误； 所以，故选项C正确； 所以，故选项D错误； 故选：C. 25．已知集合，则用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间的定义即可得解. 【详解】集合，则用区间表示为， 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $