第15卷 二次函数的应用-考点训练卷 2027年内蒙古自治区（对口招生）《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，通过19道题构建从实际问题抽象到函数模型的知识逻辑，强化最值求解能力，培养模型意识与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际应用情境|19题|涵盖面积、利润、几何图形等最值问题，情境贴近生活|实际问题→等量关系建立→二次函数模型构建→顶点坐标求最值|

编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第15卷 二次函数的应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．用长为的材料，围成一个矩形场地，最大面积是（   ） A． B． C． D． 2．某农家旅游公司有客房300间，每间房日租金为20元，每天都客满.公司欲提高客房档次，并提高租金.如果每间房日租金每增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高（ ）元时，每天客房的租金总收入最高. A． B． C． D． 3．若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（ ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 4．某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（ ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 5．嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（ ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 6．某公司销售一种节能灯，其成本为每个10元，销售量（个）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数，不考虑其他因素，要获得最大利润，该公司应把节能灯的销售单价定为（   ） A．30元 B．35元 C．40元 D．45元 7．如图，古运河上有一座历史悠久的抛物线形石拱桥.当拱顶距离水面2米时，水面宽度为4米，则当水位上涨1米后，水面的宽度为（   ）    A．米 B．2米 C．米 D．4米 8．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于），则菜地的最大面积为（    ） A． B． C． D． 9．某工厂生产一种零件，每日固定成本为元，每生产一件零件增加成本元，总成本函数为：，其中为日产量（单位：件）．该零件的市场售价为：（元/件），且日产量不超过件，该厂生产的产品均可全部售出．问：日产量为多少时，日利润最大？（    ） A．50件 B．60件 C．70件 D．80件 10．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与与两面墙的距离分别为4和2．不考虑树的粗细，现在想用16长的栅栏，借助墙角围成一个矩形的花坛，并要求将这棵树围在花坛内或在花坛的边界上，则花坛的最小面积为（    ）.    A．24 B．28 C．32 D．36 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．某工厂生产的某种产品的销售额（元）与单价（元）的函数关系式为（），则该商品的最大销售额为____________元． 12．某种商品每件成本为15元，经市场调查，若定价为每件35元，可以卖出100件，在此基础上单价每提高1元，则销售量减少8件，当该商品定价为40元时，可获得利润为____________元． 13．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示．如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽（单位：）为________时，才能使所建造的居室面积最大，居室的最大面积是________（单位：）． 14．小婷经营一间花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量（束）与销售单价（元）的函数关系式为，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为________元. 15．市场调查所得产品月销售量（件）与销售价格（元）的数据如下表，经分析发现销售量是关于销售价格的一次函数，若此产品的成本价为24元/件，则当产品售价为__________元时可获得最大利润. 售价（元） 30 35 40 45 销售量（件） 400 300 200 100 三、解答题:本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图所示，一条边利用足够长的墙，用12米长的篱笆围出一块五边形的苗圃，已知，，，设（米），五边形的面积为S．    (1)写出苗圃面积S与x的函数关系式； (2)当x为何值时，苗圃的面积最大？并求出最大面积. 17．某工厂生产某种产品，每年需要固定投资100万元．此外每年生产1件该产品需要增加投资1万元，已知年产量为件，当时，年销售总收入为万元，当时，年销售总收入为260万元． (1)写出该工厂生产并销售这种产品所得年利润y万元与年产量x的函数关系式； (2)要使年利润最大，则该工厂年产量为多少？ (3)为保证年利润不低于75万元，求年产量取值范围． 18．在一个长，宽的矩形上，截取一个平行四边形，且，如图所示，求平行四边形的最大面积.    19．如图所示，现有一块边长为的等边三角形铁皮，为了制作铁桶，要从中截取一块矩形材料.试求截去这块矩形的材料后，剩余材料面积的最小值.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，在历年数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 2027年内蒙古自治区对口招生《数学考纲百套卷》 第15卷 二次函数的应用 考点训练卷 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40 分.在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其选出. 1．用长为的材料，围成一个矩形场地，最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件建立矩形面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求出面积的最大值. 【详解】设矩形的长为，宽为， 则，即，所以， 由且，得， 矩形的面积， 当时，， 所以当矩形的长、宽都为6时，面积最大，最大面积是. 故选：C. 2．某农家旅游公司有客房300间，每间房日租金为20元，每天都客满.公司欲提高客房档次，并提高租金.如果每间房日租金每增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高（ ）元时，每天客房的租金总收入最高. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设客房日租金每间提高元，则每天客房出租数为，设客房租金总收入元，则有：化简求二次函数的最值即可 解：设客房日租金每间提高元，则每天客房出租数为，设客房租金总收入元，则有： 当时，有最大值为8000． 所以当每间客房日租金提高元时，客房租金总收入最高，为每天8000元． 故选：B. 3．若商品进价每件8元，当售价为10元/件时，一个月能卖出100件，通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件.商店为使销售该商品月利润最高，则应将每件商品定价为（ ） A．14元 B．15元 C．16元 D．17元 【答案】A 【分析】设销售定价为元，根据题意求出销售量，月利润的表达式，利用二次函数即可求出. 设销售定价为元，那么就是提高了元，售件数减少， 一个月能卖出的件数是件，每件商品的利润的是元， 则一个月的利润 当时，取得最大值. 故选：A 4．某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（ ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【分析】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 5．嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（ ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【分析】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 6．某公司销售一种节能灯，其成本为每个10元，销售量（个）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数，不考虑其他因素，要获得最大利润，该公司应把节能灯的销售单价定为（   ） A．30元 B．35元 C．40元 D．45元 【答案】A 【分析】根据题意列出函数，结合一元二次函数的性质分析求解. 【详解】销售单价（元），成本为每个10元， 若该公司销售节能灯每月的利润为元， 则， 所以当销售单价为30时，有最大利润，为4000元， 故选：A. 7．如图，古运河上有一座历史悠久的抛物线形石拱桥.当拱顶距离水面2米时，水面宽度为4米，则当水位上涨1米后，水面的宽度为（   ）    A．米 B．2米 C．米 D．4米 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，得到的坐标，再求出抛物线解析式，再代入求解即可. 【详解】   如图，建立平面直角坐标系，以横轴轴通过，纵轴通过的中点以及点，如图所示， 因为，所以设抛物线为， 代入，得，解得，因此， 当水位上涨1米后，即，代入得，化简得，解得， 因此水面的宽度为米. 故选：C. 8．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地（墙的长大于），则菜地的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设矩形菜地的宽为，则长为，再由矩形面积公式列解析式，最后由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】设矩形菜地的宽为，则长为， 所以矩形面积， 所以当时，，即菜地的最大面积为， 故选：C. 9．某工厂生产一种零件，每日固定成本为元，每生产一件零件增加成本元，总成本函数为：，其中为日产量（单位：件）．该零件的市场售价为：（元/件），且日产量不超过件，该厂生产的产品均可全部售出．问：日产量为多少时，日利润最大？（    ） A．50件 B．60件 C．70件 D．80件 【答案】B 【分析】先根据已知条件得出利润函数，再通过二次函数的性质求解. 【详解】日收入为， 则日利润为， 即， 其图像开口向下，对称轴为， 所以时，最大，即日产量为60件时，日利润最大． 故选：B． 10．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与与两面墙的距离分别为4和2．不考虑树的粗细，现在想用16长的栅栏，借助墙角围成一个矩形的花坛，并要求将这棵树围在花坛内或在花坛的边界上，则花坛的最小面积为（    ）.    A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】B 【分析】根据树与墙的距离以及栅栏长度建立矩形花坛面积的表达式，再利用二次函数的性质求出面积的最小值. 【详解】设，, 因为树在花坛内或边上，所以，， 栅栏长为，则，可得， 由，得，又，所以， 矩形花坛的面积， 其图象开口向下，对称轴为， 函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，， 故选：B. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．某工厂生产的某种产品的销售额（元）与单价（元）的函数关系式为（），则该商品的最大销售额为____________元． 【答案】145 【分析】根据题意结合二次函数的性质即可得解. 【详解】销售额（元）与单价（元）的函数关系式为， 函数图像为开口向下的抛物线，对称轴为， 所以当时，函数值最大为元， 所以该商品的最大销售额为元， 故答案为：. 12．某种商品每件成本为15元，经市场调查，若定价为每件35元，可以卖出100件，在此基础上单价每提高1元，则销售量减少8件，当该商品定价为40元时，可获得利润为____________元． 【答案】1500 【分析】先根据定价的变化求出销售量，再结合成本和定价计算出利润即可. 【详解】已知定价为元时可卖出件，单价每提高元，销售量减少件， 定价从元提高到元，提高了元， 那么销售量减少的数量为件， 所以定价为元时的销售量为件， 已知每件商品的成本为元，定价为元， 可得每件商品的利润为元， 可得总利润为元， 综上，当该商品定价为元时，可获得利润为元. 故答案为：1500. 13．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示．如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽（单位：）为________时，才能使所建造的居室面积最大，居室的最大面积是________（单位：）． 【答案】 5 75 【分析】如图可得总面积与宽的关系，进而可得最值. 由题意，即， 设总面积为， 所以，所以， 所以当时，面积最大为， 故答案为：，. 14．小婷经营一间花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量（束）与销售单价（元）的函数关系式为，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为________元. 【答案】13 【分析】根据题意，结合等量关系“利润=销量×（售价－进价）－固定成本”，即可求得利润关于销售单价的函数关系式，结合二次函数求最值，利用配方法，即可求解. 【详解】由题意，设每天获利元，则， 又，解得， 所以当，即每束花定价13元时，每天获利最大，最大利润为元. 故答案为：13. 15．市场调查所得产品月销售量（件）与销售价格（元）的数据如下表，经分析发现销售量是关于销售价格的一次函数，若此产品的成本价为24元/件，则当产品售价为__________元时可获得最大利润. 售价（元） 30 35 40 45 销售量（件） 400 300 200 100 【答案】37 【分析】先根据给定数据求出销售量关于销售价格的一次函数表达式，再建立利润关于售价的函数，最后根据二次函数性质求出最大利润时的售价. 【详解】由题意，可设（）， 将和代入中， 可得方程组，解得，， 所以. 设利润为元，已知成本价为元/件， 则， 函数图象开口向下，对称轴为， 所以当产品售价为元时可获得最大利润. 故答案为：37. 三、解答题:本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．如图所示，一条边利用足够长的墙，用12米长的篱笆围出一块五边形的苗圃，已知，，，设（米），五边形的面积为S．    (1)写出苗圃面积S与x的函数关系式； (2)当x为何值时，苗圃的面积最大？并求出最大面积. 【答案】(1) (2)当米时，苗圃的面积最大为平方米 【分析】（1）根据题意结合五边形的性质求出各边的长，结合面积公式即可求解. （2）根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）连接，过作于， 因为，， 所以， 则，设（米）， 所以，，， 故苗圃面积S与的函数关系式为：. （2）由（1）知，当时，． 所以当米时，苗圃的面积最大为平方米．    17．某工厂生产某种产品，每年需要固定投资100万元．此外每年生产1件该产品需要增加投资1万元，已知年产量为件，当时，年销售总收入为万元，当时，年销售总收入为260万元． (1)写出该工厂生产并销售这种产品所得年利润y万元与年产量x的函数关系式； (2)要使年利润最大，则该工厂年产量为多少？ (3)为保证年利润不低于75万元，求年产量取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据年利润年销售总收入固定投资增加投资即可求解. （2）根据二次函数，一次函数的性质即可求解. （3）根据一元一次不等式，一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】（1）由题意得，当时，， 当时，，即. （2）当时，函数， 函数开口向下，对称轴为，所以年产量为时，最大利润为， 当时，的减函数，故年利润， 所以要使年利润最大，则年产量为. （3）当时，要保证年利润不低于75万元，则， 解得，所以年产量为； 当时，要保证年利润不低于75万元，则， 解得，所以年产量为； 综上，为保证年利润不低于75万元，求年产量取值范围为. 18．在一个长，宽的矩形上，截取一个平行四边形，且，如图所示，求平行四边形的最大面积.    【答案】 【分析】先根据题意表示出平行四边形的面积，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】设， 则， 设平行四边形的面积为， 则. 因为，则当时，， 所以平行四边形的面积的最大值是． 19．如图所示，现有一块边长为的等边三角形铁皮，为了制作铁桶，要从中截取一块矩形材料.试求截去这块矩形的材料后，剩余材料面积的最小值.    【答案】 【分析】根据“剩余材料的总面积等边三角形的面积矩形的面积”求解即可. 【详解】是等边三角形，四边形是矩形， 设，则， 所以， 所以， 所以矩形的面积，. 当时，取得最大值为，此时，剩余材料的总面积达到最小值. 因为等边的面积为， 所以剩余材料的总面积的最小值是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $