专题10 对数的概念及其运算（讲义）-2027年江西省（三校生对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年江西省三校生对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江西省三校生对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 对数的概念及其运算 【复习目标】 1. 理解对数的定义，明确底数和真数的取值范围，掌握常用对数、自然对数的定义； 2. 掌握指数式与对数式的相互转化，熟悉对数运算的性质； 3. 掌握积、商、幂的对数运算法则，会用换底公式求值. . 考点1 对数的概念 对数的概念：若，则称b是以a为底N的对数，记作：_________________， 其中a为__________，N为____________，即：. 对数的性质： (1). ，即1的对数等于0； (2). ，即底的对数等于1； (3). ，即0和负数__________对数； (4). ，. （指对套娃同为底，消去底数就是值.） 常用对数的概念：把以10为底的对数，即称为常用对数，简记为. 自然对数的概念：把以无理数为底的对数，即称为自然对数，简记为. 【即时训练】 1．因为，所以. ·········································································（A B） 2．. ··································································································（A B） 3．已知则（     ） A．16 B．8 C．4 D．2 4．若点关于原点的对称点为，则与的值分别是（    ） A． B．3，2 C． D． 5．若，则________. 6．如果不等式的解集为，则_______. 7．已知函数，则，则_________. 考点2 对数的运算： 对数的运算法则：当，，且，为任意实数时，有： (1). ；真数相乘，对数__________. (2). ；真数相除，对数_________. (3). . 真数的幂可以提到对数前面作为系数. 可以变形的两种形式：__________相乘除、____________相加减. 换底公式： 换底公式推论： (1). 提幂公式：，该公式可将底数与真数化简； (2). 底数和真数互换位置的对数互为倒数关系： . 【即时训练】 8．. ···························································································（A B） 9．已知，则用m表示. ·························································（A B） 10．若，则. ··········································································（A B） 11．若，则. ·························································（A B） 12．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 13．计算：（    ） A． B． C．9 D．3 14．已知函数，则＝（     ） A． B．4 C． D．8 15．若，则实数（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 16．若，则（    ） A．2 B． C． D． 17．已知，，则（    ） A． B． C． D． 18．________. 19．________. 20．计算：________. 1. (2025年高考真题T14) 已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2. (2023年高考真题T01) . ························································（A B） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江西省三校生对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江西省三校生对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 对数的概念及其运算 【复习目标】 1. 理解对数的定义，明确底数和真数的取值范围，掌握常用对数、自然对数的定义； 2. 掌握指数式与对数式的相互转化，熟悉对数运算的性质； 3. 掌握积、商、幂的对数运算法则，会用换底公式求值. . 考点1 对数的概念 对数的概念：若，则称b是以a为底N的对数，记作：，其中a为底数，N为真数，即：. 对数的性质： (1). ，即1的对数等于0； (2). ，即底的对数等于1； (3). ，即0和负数没有对数； (4). ，. （指对套娃同为底，消去底数就是值.） 常用对数的概念：把以10为底的对数，即称为常用对数，简记为. 自然对数的概念：把以无理数为底的对数，即称为自然对数，简记为. 【即时训练】 1．因为，所以. ·········································································（A B） 【答案】B 【分析】根据对数的定义判断. 【详解】为负数，不能作为对数的底数，故选B . 2．. ··································································································（A B） 【答案】A 【分析】由对数的运算性质计算进行判断即可. 【详解】，故选A . 3．已知则（     ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义域，结合对数运算，即可求解. 【详解】因为，所以，故选C . 4．若点关于原点的对称点为，则与的值分别是（    ） A． B．3，2 C． D． 【答案】B 【分析】根据对称点的特征求出点的坐标，结合对数指数运算即可求解. 【详解】因为点关于原点的对称点为，所以点为，即， 解得，故选B . 5．若，则________. 【答案】 【分析】根据对数与指数的互换进行求解. 【详解】∵，∴，故答案为：. 6．如果不等式的解集为，则_______. 【答案】2 【分析】根据含绝对值的不等式的解法，结合题意，即可求得a和b的值，代入即可求解. 【详解】因为不等式的解集为，所以，故， 所以，所以，解得，所以，故答案为：2. 7．已知函数，则，则_________. 【答案】或 【分析】分和两种情况代入解方程即可. 【详解】因为，当时，，解得，当时，，解得. 综合得或，故答案为：或. 考点2 对数的运算： 对数的运算法则：当，，且，为任意实数时，有： (1). ；真数相乘，对数相加. (2). ；真数相除，对数相减. (3). . 真数的幂可以提到对数前面作为系数. 可以变形的两种形式：真数相乘除、对数相加减. 换底公式： 换底公式推论： (1). 提幂公式：，该公式可将底数与真数化简； (2). 底数和真数互换位置的对数互为倒数关系： . 【即时训练】 8．. ···························································································（A B） 【答案】A 【分析】根据题意，结合对数恒等式，及对数的运算，即可求解. 【详解】，故选A . 9．已知，则用m表示. ·························································（A B） 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则及换底公式求解. 【详解】因为，所以，故选A . 10．若，则. ··········································································（A B） 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质计算可得. 【详解】解：因为，所以，故选B . 11．若，则. ·························································（A B） 【答案】A 【分析】根据分段函数的表达式求解即可. 【详解】因为，因为，所以，即，故选A . 12．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数和实数指数幂的运算即可求解. 【详解】对A：因为，故A项错误； 对B：因为，故B项错误； 对C：，故C项错误；对D：因为，故D项正确，故选D. 13．计算：（    ） A． B． C．9 D．3 【答案】B 【分析】根据对数的运算即可求解． 【详解】． 故选：B． 14．已知函数，则＝（     ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算和对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意得，故选C. 15．若，则实数（     ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】利用换底公式及对数式与指数式的关系求解. 【详解】 已知，即，即，解得，故选D. 16．若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】解指数方程得到参数，，再根据对数的运算可得. 【详解】因为，所以且，，故选B. 17．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算公式将原式转化后，将，代入即可求解. 【详解】由对数的运算公式可得：， 因为，，所以，故选B. 18．________. 【答案】1 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】，故答案为：1. 19．________. 【答案】 【分析】根据指数幂和对数的运算即可解得. 【详解】，故答案为：. 20．计算：________. 【答案】 【分析】根据指数幂运算和对数运算的法则求解即可. 【详解】，故答案为：. 1. (2025年高考真题T14) 已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题求考查分段函数的函数值及对数的概念. 【详解】因为，所以，故选C . 2. (2023年高考真题T01) . ························································（A B） 【答案】B 【分析】本题考查对数的运算. 【详解】，所以结论错误，故选B . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $