专题10 幂函数与指数幂（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 幂函数与指数幂 【复习目标】 1. 了解n次根式的概念,理解分数指数幂的概念,会用有理指数幂的运算法则进行有关计算（B）； 2. 了解幂函数（A） 【考点1 幂函数】 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 【即时训练】 1．设函数，则函数（    ） A．是偶函数 B．是减函数 C．图像关于原点对称 D．图像关于点对称 【答案】C 【分析】先求出的表达式，再根据函数的性质判断其各选项. 【详解】已知，可得， 对于函数，设，其定义域为，关于原点对称， 因为，， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故A错误； 在定义域上单调递增，故B错误； 根据奇函数的性质，函数的图像关于原点对称，故C正确，D错误， 故选：C. 2．下列函数中既是奇函数又在上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和常见函数的单调性逐项分析即可. 【详解】A.的定义域为关于原点对称， 令，则， 所以不是奇函数，故本选项错误， B.的定义域为关于原点对称， 令，则， 所以是奇函数，且在上是增函数，故本选项正确， C.的定义域为关于原点对称， 令，则， 所以不是奇函数，故本选项错误， D.的定义域为关于原点对称， 令，则， 所以是奇函数，但在上是减函数，故本选项错误. 故选：B. 3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0 ，列不等式求解即可. 【详解】已知函数， 要使函数有意义，必须有， 解得， 所以函数的定义域是， 故选：C. 4．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义即可求解. 【详解】幂函数的一般形式为，其中x是自变量，a是常数，且x前面的系数必须为1， 综上所述，只有A选项符合幂函数的定义， 故选：A 5．设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】已知， 因为在上为增函数， 且，所以， 即， 故选：A. 6．已知幂函数，则“”是“此幂函数图象过点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据幂函数性质和充要条件的判定即可得到答案. 【详解】由题知，幂函数， 根据幂函数图象性质特点知，幂函数图象恒过点， 所以当时，则幂函数图象过点，说明有充分性； 幂函数图象过点时，，也可以，说明无必要性； 所以是此幂函数图像过点的充分不必要条件. 故选：A. 7．下列函数中，定义域是R的幂函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义，结合题意即可求得各函数的定义域，继而求解． 【详解】对于A，因为幂函数的定义域是，故选项A不符合题意； 对于B，因为幂函数的定义域是，故选项B不符合题意； 对于C，因为幂函数的定义域是，故选项C不符合题意； 对于D，因为幂函数的定义域是R，故选项D符合题意； 故选：D． 8．下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（ ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，④，④ 【答案】A 【分析】根据几个常见函数的图像和性质可判断. 【详解】幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递增，对应图像①； 幂函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递增，对应图像②； 幂函数的定义域为，为非奇非偶函数，在上单调递增，对应图像③； 幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递减，对应图像④. 故选：A. 9．函数在上是（ ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 【答案】A 【分析】利用幂函数的性质与奇偶性的定义可解. 【详解】因为，令， 因为关于原点对称， 所以， 所以是奇函数，又因为， 所以在是增函数 故选：A. 10．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义可求解k的值，再将点代入函数解析式即可求解的值，由此求解即可. 【详解】∵函数为幂函数，则，即， 又∵的图象经过点，则，得， . 故选：A. 11．有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将指数幂转化为根式的性质，结合根式的性质即可得解. 【详解】，所以，解得， 故选：. 【考点2 指数幂】 1.根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 【即时训练】 12．= （    ） A．4 B．-4 C．31 D．-31 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质直接计算即可得出结果. 【详解】. 故选：A 13．算式的结果是（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算即可求解. 【详解】 . 故选：A. 14．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数的运算性质即可解得. 【详解】由题，， 故选：B 15．的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算即可得解. 【详解】. 故选：B. 16．（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算性质即可得出结果. 【详解】因为，所以. 故选：C 17．（   ） A．a B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算即可求解. 【详解】由题意得，. 故选：C. 18．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把根式化为分数指数幂，然后利用指数幂的运算法则计算. 【详解】由题意可知， 原式. 故选：A. 19．下列各式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实数指数幂的运算法则判断即可. 【详解】因为，选项A错误； ，选项B正确； ，选项C错误； ，选项D错误. 故选：B. 20．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由实数指数幂的运算法则即可得解. 【详解】选项，，故正确. 选项，，，所以，故错误. 选项，当时，成立，故错误. 选项，，故错误. 故选：. 21．计算：． 【答案】 【分析】根据指数的运算即可求解． 【详解】． 22．计算下列各式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据指数幂的运算法则依次进行化简即可. 【详解】（1）， （2）， （3）， （4）. 1.（2023·山西·真题T11） __________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据实数指数幂进行计算即可. 【详解】. 故答案为：. 2.（2022·山西·真题T06） 设a为常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数的运算定律求解. 【详解】同底数幂相乘，底数不变，指数相加. . 故选：A. 3.（2021·山西·真题T11） ______. 【答案】/ 【解析】 【分析】根据指数幂的运算性质即可解得. 详解】由题， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 幂函数与指数幂 【复习目标】 1. 了解n次根式的概念,理解分数指数幂的概念,会用有理指数幂的运算法则进行有关计算（B）； 2. 了解幂函数（A） 【考点1 幂函数】 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 非奇非偶函数 单调性 在R上单 调递增 在(－∞，0) 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在R上 单调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 和(0，＋∞) 上单调递减 【即时训练】 1．设函数，则函数（    ） A．是偶函数 B．是减函数 C．图像关于原点对称 D．图像关于点对称 2．下列函数中既是奇函数又在上是增函数的是（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 5．设，则（　　） A． B． C． D． 6．已知幂函数，则“”是“此幂函数图象过点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．下列函数中，定义域是R的幂函数是（    ） A． B． C． D． 8．下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（ ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，④，④ 9．函数在上是（ ） A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数 C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数 10．已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 11．有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点2 指数幂】 1.根式 (1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*. ①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号 表示． ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n次方根用符号－表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±． ③负数没有偶次方根． ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ． (2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|＝. 2．幂的有关概念及运算 (1)零指数幂：a0＝1 .这里a≠0. (2)负整数指数幂：a－n＝ (a≠0，n∈N*)． (3)正分数指数幂： (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (4)负分数指数幂：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)． (5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． (6)有理指数幂的运算性质 ①； ②； ③． 【即时训练】 12．= （    ） A．4 B．-4 C．31 D．-31 13．算式的结果是（    ） A． B．4 C． D．8 14．的值等于（     ） A． B． C． D． 15．的值等于（   ） A． B． C． D． 16．（    ） A． B．0 C．1 D．3 17．（   ） A．a B． C． D． 18．计算（    ） A． B． C． D． 19．下列各式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 20．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 21．计算：． 22．计算下列各式 (1) (2) (3) (4) 1.（2023·山西·真题T11） __________. 2.（2022·山西·真题T06） 设a为常数，则（ ） A. B. C. D. 3.（2021·山西·真题T11） ______. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $