专题9 二次函数的图像与性质（练习）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以支架式教学为理念，通过挖空讲解与分层训练构建二次函数从概念到应用的完整进阶路径，强化几何直观与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1-7题|开口方向、单调性区间判断|从定义出发，结合图像特征理解系数对性质的影响| |性质应用|8-19题|参数范围、图像分析、最值求解|通过图像直观推导单调性、奇偶性，培养运算能力与推理意识| |实际应用|5、12、13、22题|利润、租金最大化问题|建立二次函数模型解决实际问题，发展应用意识| |真题链接|5题|2023-2025年山西真题|紧扣考情，强化知识迁移与应试能力|

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》练习 专题9 二次函数的图像与性质 【考点1 二次函数】 1．抛物线的开口（   ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 2．已知二次函数，，则这个函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．某农家旅游公司有客房300间，每间房日租金为20元，每天都客满.公司欲提高客房档次，并提高租金.如果每间房日租金每增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高（ ）元时，每天客房的租金总收入最高. A． B． C． D． 6．若二次函数的图象顶点在轴上，则的值为（   ） A．0 B．6 C．9 D． 7．已知是定义在上的偶函数，则（    ） A．1 B． C．3 D．2 8．若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 10．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A．B．C．D． 【考点1 二次函数】 12．某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（ ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 13．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润（单位:10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图）；则要使营运的年平均利润最大，每辆客车应营运（ ） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 14．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   15．已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 16．设二次函数的图象顶点为C，与x轴的交点分别为A，B，若的面积为64，则b的值为（   ） A．4 B． C． D．8 17．已知函数在区间上有最大值3和最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．已知二次函数，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 19．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 20．关于的不等式的解集是，则函数的单调减区间是（     ） A． B． C． D． 21．已知二次函数 . (1)求该函数图像的顶点坐标； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 22．某电商在抖音上对一款成本价为80元的小商品进行直播销售，如果按每件120元销售，每天可卖出40件.通过市场调查发现，该小商品售价每降低10元，日销售量增加 20件 . (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元? (2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少? 1.（2025·山西·真题T19）设函数，求. 2.（2024·山西·真题T17）函数定义域是______________ 3.（2024·山西·真题T03）下列函数在其定义域内是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 4.（2024·山西·真题T04）下列函数在其定义域内是单调增函数的是（ ） A. B. C. D. 5.（2023·山西·真题T13）已知函数，若，则__________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》练习 专题9 二次函数的图像与性质 【考点1 二次函数】 1．抛物线的开口（   ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】二次函数中， 所以抛物线开口向上. 故选：A. 2．已知二次函数，，则这个函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，二次函数，所以对称轴为， 又，所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 3．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析二次函数的开口方向和对称轴，确定函数的单调区间，结合条件列不等式即可求出的取值范围. 函数的对称轴是，开口方向向上， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：D 4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性求解. 函数的对称轴是，开口方向向上， 在区间上单调递减， 对称轴是在区间的右侧或对称轴为，. 故选：D 5．某农家旅游公司有客房300间，每间房日租金为20元，每天都客满.公司欲提高客房档次，并提高租金.如果每间房日租金每增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅游公司将客房每间日租金提高（ ）元时，每天客房的租金总收入最高. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设客房日租金每间提高元，则每天客房出租数为，设客房租金总收入元，则有：化简求二次函数的最值即可 解：设客房日租金每间提高元，则每天客房出租数为，设客房租金总收入元，则有： 当时，有最大值为8000． 所以当每间客房日租金提高元时，客房租金总收入最高，为每天8000元． 故选：B. 6．若二次函数的图象顶点在轴上，则的值为（   ） A．0 B．6 C．9 D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质求解. 【详解】因为函数图象顶点在轴上， 所以顶点的纵坐标为0，即，解得. 故选：C. 7．已知是定义在上的偶函数，则（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用偶函数定义域关于原点对称求出的值，再根据偶函数的定义求出的值. 【详解】已知函数是偶函数且定义域为， 所以，解得， 函数为偶函数， 则有，即， 所以， 即，对于定义域内的任意都成立， 所以，解得， 故， 故选：D. 8．若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数单调性得到对称轴范围即可求参数范围. 【详解】函数的图像开口向下， 对称轴为， 因为函数在区间上单调递减，所以，即. 则实数m的取值范围是. 故选：C. 9．已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】由图可知，函数图像开口向下，所以， 又对称轴在轴右侧，所以，则， 因为当时，， 又函数图像与轴交于正半轴，所以． 故选：B. 10．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数整理为二次函数形式，由开口向下，代入顶点公式求得最大值. 【详解】因为，二次项系数， 因此抛物线开口向下，函数在顶点位置取得最大值， 即当时，取得最大值， 最大值为. 故选：B 11．已知一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一次函数的图象可得：，，然后判断二次函数的图象即可. 由一次函数的图象可知，，，所以二次函数的图象开口向上， 且对称轴为，又时，，故C符合题意，ABD不符合题意. 故选：C. 【考点1 二次函数】 12．某文旅公司设计了一款文创纪念品，打算批量生产并在旅游景区进行售卖.前期设计费和宣传费需要固定投入5万元，每件纪念品的生产成本为40元，经市场调研预估，若以60元的单价出售，则能销售1万件，在销售单价60元的基础上，每降价1元，销量在1万件的基础上增加1千件，要使得该款纪念品的利润最大，则每件纪念品的定价应为（ ） A．50元 B．52元 C．53元 D．55元 【答案】D 【分析】设该款纪念品降价元，根据题意得到利润，根据二次函数的最值即可得到答案. 依题意，设该款纪念品降价元，则销售单价为元，销售量为万件， 利润为，当时，取得最大值，即定价为55元时，利润最大. 故选：D. 13．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润（单位:10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图）；则要使营运的年平均利润最大，每辆客车应营运（ ） A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 【答案】C 【分析】根据图象上的已知点，结合待定系数法求得函数解析式，表示出年平均利润，利用基本不等式即可求解. 由图可知，二次函数的图象的顶点为，过点，开口向下， 因此，设二次函数的解析式为， 所以，解得，即， 则营运的年平均利润， 当且仅当，即时，有最大值；即每辆车营运5年时，年平均利润最大. 故选：C. 14．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据一次函数和二次函数的图象与性质逐项分析即可得解. 【详解】当时，二次函数的图象开口向上，直线的斜率为负数， 图象经过第一、二、四象限，排除A选项，B选项正确； 当时，二次函数的图象开口向下， 直线的斜率为正数，图象经过第一、二、三象限，排除C，D选项； 故选：B. 15．已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性以及最值求解即可. 【详解】因为函数的对称轴方程为，且二次项系数， 则函数在区间上是减函数， 在区间上是增函数，且，，， 故函数的值域为. 故选：B. 16．设二次函数的图象顶点为C，与x轴的交点分别为A，B，若的面积为64，则b的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】B 【分析】先分别求出A，B，C三点的坐标，再利用的面积为64求解即可. 【详解】∵二次函数的图象与轴的交点为，顶点为， ∴的面积为， 即. 故选：B. 17．已知函数在区间上有最大值3和最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合二次函数的性质即可得解. 【详解】，对称轴， 当时，函数值最小为， 当时，， 根据二次函数的对称关系，可知，当时，， 因为函数在区间上有最大值3和最小值， 故， 故选：. 18．已知二次函数，若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据推导与的关系，再结合判断二次函数开口方向，即可确定的符号. 【详解】已知， 则对称轴为，即， 因为，且， 所以当时，函数单调递减，则该函数开口向上，， 故选：A. 19．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】函数，开口向上，对称轴为. 因此函数在区间单调递增， 所以，解得. 故选：C. 20．关于的不等式的解集是，则函数的单调减区间是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集可得且方程的两个根为3和5，再结合二次函数的性质求解单调区间即可. 【详解】∵不等式的解集是， ∴且方程的两个根为3和5， ∴函数的图像开口向下，且与x轴的交点为与， ∴该函数的对称轴为， ∴该函数的单调减区间是. 故选：B. 21．已知二次函数 . (1)求该函数图像的顶点坐标； (2)求该函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为0 【分析】（1）用配方法将二次函数化为顶点式，即可求解. （2）分析二次函数的单调性，进而求解. 【详解】（1） . 所以该函数图像的顶点坐标为 . （2）由(1)知，函数的对称轴为 ，且抛物线开口向上. 因为 ，所以最小值在顶点处取得，即 . 最大值在端点处取得， 比较和：， . 所以最大值为. 22．某电商在抖音上对一款成本价为80元的小商品进行直播销售，如果按每件120元销售，每天可卖出40件.通过市场调查发现，该小商品售价每降低10元，日销售量增加 20件 . (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元? (2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) 每件售价应定为100元. (2) 每件售价定为110元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元. 【分析】（1）根据题意，列出方程即可求解. （2）根据题意，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设每件售价定为元，则每件利润为，则销量为， 由题意得，原来的日利润为元. 因为日利润保持不变，所以， 即，解得， 因为要尽快销售完，所以定价越低销售越快，即每件售价应定为元. （2）设每天的销售利润为元， 则， 所以当每件定价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元. 1.（2025·山西·真题T19）设函数，求. 【答案】6 【解析】 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数式，由内到外代入计算即可求解. 【详解】 因为函数， 所以，则，即. 2.（2024·山西·真题T17）函数定义域是______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质列出不等式即可得解. 【详解】函数，则， 解得， 所以定义域为， 故答案为：. 3.（2024·山西·真题T03）下列函数在其定义域内是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义及诱导公式逐项判断即可得解. 【详解】函数，定义域为，， 不符合偶函数的定义，故错误； 函数，定义域为，， 符合偶函数的定义，故正确； 函数，定义域为，， 不符合偶函数的定义，故错误； 函数，定义域为，， 不符合偶函数的定义，故错误； 故选：. 4.（2024·山西·真题T04）下列函数在其定义域内是单调增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常用函数的单调性逐个分析即可. 【详解】对于A.为周期函数，在定义域内不是单调增函数， 对于B.为周期函数，在定义域内不是单调增函数， 对于C.在上为单调递减，在上为单调递增， 所以在定义域内不是单调增函数， 对于D.在其定义域内单调增函数， 故选：D. 5.（2023·山西·真题T13）已知函数，若，则__________. 【答案】-3 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，根据函数值的结果求出即可. 【详解】当时， 则有解得，其中与矛盾， 所以. 当时， 则有解得与矛盾， 所以舍去. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $