专题9 二次函数的图像与性质（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 二次函数的图像与性质 【复习目标】 1.掌握二次函数的概念及图像和性质（D）。 【考点1 二次函数】 1.二次函数的定义 一般地，如果二次函数（a、b、c为常数，a≠0）那么y叫做x的 .图像是抛物线，顶点坐标为，对称轴方程为．当b=0时为偶函数． 2．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 定义域 R 值域 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中,是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 4．二次函数与x轴有两个交点，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 5．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 6．下列函数是一元二次函数的是（　　） A． B． C． D． 7．函数在上的最大值与最小值分别是（    ） A．2，1 B．2， C．2， D．， 8．函数（   ）. A．在内是减函数 B．在内是增函数 C．在内是增函数 D．在内是增函数 9．函数在区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 10．偶函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 11．二次函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 12．已知二次函数的图像的对称轴为直线，则当时，的值为（    ） A． B．1 C．17 D．25 13．二次函数的图像的顶点在轴上，则的值是（     ） A． B．9 C．3 D． 14．函数在上是减函数，在上是增函数，则的值是（     ） A． B． C． D． 15．下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（   ）． A． B． C． D． 16．函数在区间上的最大值为（    ） A．3 B．0 C． D． 17．如果一个二次函数图像与的图像关于y轴对称，则这个二次函数的解析式是（   ）. A． B． C． D． 18．若对于任意实数都有，则有 （    ） A． B． C． D． 19．若函数的值恒为负数，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 20．的对称轴是，则________. 21．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_________． 1.（2025·山西·真题T19）设函数，求. 2.（2024·山西·真题T17）函数定义域是______________ 3.（2024·山西·真题T03）下列函数在其定义域内是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 4.（2024·山西·真题T04）下列函数在其定义域内是单调增函数的是（ ） A. B. C. D. 5.（2023·山西·真题T13）已知函数，若，则__________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 二次函数的图像与性质 【复习目标】 1.掌握二次函数的概念及图像和性质（D）。 【考点1 二次函数】 1.二次函数的定义 一般地，如果二次函数（a、b、c为常数，a≠0）那么y叫做x的二次函数.图像是抛物线，顶点坐标为，对称轴方程为．当b=0时为偶函数． 2．二次函数的图象及其性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 定义域 R 值域 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【即时训练】 1．下列函数中为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义即可判断. 【详解】对A，函数定义域为R， ， 所以函数不是偶函数.故A错误. 对B，函数定义域为R， . 所以函数不是偶函数.故B错误. 对C，函数定义域为R， . 所以函数是偶函数.故C正确. 对D，函数定义域为， . 所以函数不是偶函数.故D错误. 故选：C. 2．下列函数中,是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义可得结果. 【详解】二次函数的一般式为，（是常数），其中自变量的最高次数是， A、是二次函数，故正确； B、不是二次函数，自变量的最高次数是，故错误； C、不是二次函数，自变量的最高次数是，故错误； D、是一次函数，自变量的最高次数是，故错误. 故选：A. 3．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质判断即可. 【详解】函数，定义域为，开口向下，对称轴为， 则其单调递减区间是； 故选：B. 4．二次函数与x轴有两个交点，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过函数图像特征得到对应的一元二次方程解的情况，再列式求出a的取值范围即可. 【详解】二次函数与x轴有两个交点， 即方程有两个不相同的解， 即且， 解得且，用区间表示为：. 故选：. 5．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式即可求解. 【详解】二次函数的顶点式为， 顶点坐标是. 故选：B. 6．下列函数是一元二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次函数的定义可判断. 【详解】一元二次函数为， A选项中有，故不是一元二次函数， B选项的函数是一元二次函数， C选项中有，故不是一元二次函数， D选项中无，故不是一元二次函数， 故选：B． 7．函数在上的最大值与最小值分别是（    ） A．2，1 B．2， C．2， D．， 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，函数的图像开口向下，对称轴为， 则在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数取最大值. 当时，函数取最小值，. 所以函数在上的 最大值与最小值分别为. 故选：B. 8．函数（   ）. A．在内是减函数 B．在内是增函数 C．在内是增函数 D．在内是增函数 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性，即可求解. 【详解】， 是对称轴为开口向上的一元二次函数， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 对于A、B：在上单调递减，上单调递增，故A、B错误； 对于C：在对称轴左侧，因此在上单调递减，故C错误； 对于D：在对称轴右侧，因此在上单调递增，故D正确. 故选：D. 9．函数在区间上的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次函数的性质求解即可. 【详解】由可知， 函数图像开口向上，对称轴为 ， 所以当时，函数取得最小值， 又因为当时，， 当时，， 所以函数的最大值为， 故选：C. 10．偶函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以函数解析式为：， 函数开口向下，对称轴为轴， 所以函数单调递增区间为， 故选：A. 11．二次函数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】，通过配方得：， 当，二次函数有最大值为. 故选：D. 12．已知二次函数的图像的对称轴为直线，则当时，的值为（    ） A． B．1 C．17 D．25 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称轴列式求出m的值，再将代入函数解析式中即可求解. 【详解】因为二次函数的图像的对称轴为直线， 即，解得， 所以二次函数的解析式为， 则当时，. 故选：D. 13．二次函数的图像的顶点在轴上，则的值是（     ） A． B．9 C．3 D． 【答案】A 【分析】先将已知二次函数的解析式配方成顶点式，则可得其顶点坐标； 再根据顶点在x轴上可得关于k的方程，解方程求出k的值即可. 【详解】∵配方得， 顶点为， ∵二次函数的顶点在x轴上， ∴，解得. 故选：A. 14．函数在上是减函数，在上是增函数，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出为函数的对称轴，求出即可. 【详解】由函数在是减函数，在是增函数， 所以函数图象的对称轴为， 则对称轴， 解得. 故选：A. 15．下列函数中既是奇函数，又是增函数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性的定义及一次函数、二次函数、反比例函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】选项，函数定义域为，，所以为奇函数， 因为斜率，所以为增函数，故符合题意； 选项，函数定义域为，，所以为奇函数， 因为斜率，所以为减函数，故不符合题意； 选项，函数定义域为，，不为奇函数，故不符合题意； 选项，函数定义域为，， 且在上为增函数，在上为增函数，但在整个定义域内不是增函数，故不符合题意， 故选：. 16．函数在区间上的最大值为（    ） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得解. 【详解】函数，图像为开口向上的抛物线， 对称轴为， ，，， 所以在区间上的最大值为， 故选：. 17．如果一个二次函数图像与的图像关于y轴对称，则这个二次函数的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解函数的对称轴和顶点坐标，再根据函数图像关于y轴对称，求解即可. 【详解】函数的对称轴为， 图像开口向上，且过原点， 当时，，即顶点坐标为， 又因为所求函数图像与关于y轴对称， 所以所求函数的对称轴为，顶点坐标为， 又图像开口向上，且过原点， 所以所求函数为，将原点代入， 解得，所以函数为. 故选：D. 18．若对于任意实数都有，则有 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用代换把选项形式统一，利用二次函数的对称性和单调性直接比较大小即可. 【详解】由知，二次函数图像关于直线对称， 所以，而，即有.又二次函数图像开口向上， 函数在上单调递增，所以，即. 再由二次函数图像开口向上，关于对称可得：时，函数取得最小值，所以. 故选：B. 19．若函数的值恒为负数，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分类讨论和的情况即可得解. 【详解】函数的值恒为负数， 当时，函数，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，m的取值范围是， 故选：. 20．的对称轴是，则________. 【答案】 【分析】利用二次函数的对称轴公式求参数即可. 【详解】的对称轴为，解得； 故答案为：. 21．若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由二次函数与轴交点个数和判别式的关系列出一元二次不等式求解即可. 【详解】若二次函数的图象与x轴有两个交点， 可得，解得或，即. 故答案为：. 1.（2025·山西·真题T19）设函数，求. 【答案】6 【解析】 【分析】根据自变量的范围，选择相应的函数式，由内到外代入计算即可求解. 【详解】 因为函数， 所以，则，即. 2.（2024·山西·真题T17）函数定义域是______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质列出不等式即可得解. 【详解】函数，则， 解得， 所以定义域为， 故答案为：. 3.（2024·山西·真题T03）下列函数在其定义域内是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义及诱导公式逐项判断即可得解. 【详解】函数，定义域为，， 不符合偶函数的定义，故错误； 函数，定义域为，， 符合偶函数的定义，故正确； 函数，定义域为，， 不符合偶函数的定义，故错误； 函数，定义域为，， 不符合偶函数的定义，故错误； 故选：. 4.（2024·山西·真题T04）下列函数在其定义域内是单调增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常用函数的单调性逐个分析即可. 【详解】对于A.为周期函数，在定义域内不是单调增函数， 对于B.为周期函数，在定义域内不是单调增函数， 对于C.在上为单调递减，在上为单调递增， 所以在定义域内不是单调增函数， 对于D.在其定义域内单调增函数， 故选：D. 5.（2023·山西·真题T13）已知函数，若，则__________. 【答案】-3 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，根据函数值的结果求出即可. 【详解】当时， 则有解得，其中与矛盾， 所以. 当时， 则有解得与矛盾， 所以舍去. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $