专题7 函数的性质（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的性质 【复习目标】 1.理解函数的单调性和奇偶性含义,掌握其图像的特点及其简单应用（B）； 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是 。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是 ． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的 ． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减；在上单调递增 当时，在上单调递增；在上单调递减 5、函数的最值 （1）最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有 ； ②存在x0∈I，使得 ．那么，我们称M是函数y＝f(x)的 ． （2）最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有 ； ②存在x0∈I，使得 ．那么我们称N是函数y＝f(x)的 ． 【即时训练】 1．已知函数，则的最大值、最小值分别为（    ） A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．以上都不对 2．函数在上是增函数，则（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，在内为增函数的为（    ） A． B． C． D． 4．若定义在上的函数对任意两个不等的实数和，都成立，则必有（    ） A．先增加后减少 B．先减少后增加 C．在上是增函数 D．在上是减函数 5．下列函数中，满足“在其定义域上任取，都有”的是（   ） A． B． C． D． 6．函数，的图像如图所示，则的增区间是（   ） A． B． C． D． 7．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上单调递增，则a的最大值为（ ）． A． B．2 C．4 D． 9．已知函数，则下列表述正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．无最小值 【考点2 函数的奇偶性】 1.函数的奇偶性（前提：定义域必须关于原点对称.） （1） 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有−x∈D，且 ，则称y=f(x)是 ．偶函数的图像 ． （2） 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有−x∈D，且 ，则称y=f(x)是 ．奇函数的图像 ． 2.判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于 ． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x) ． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3.函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 4.奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ . 【即时训练】 10．若奇函数在区间是增函数，且最小值为4，则函数在区间上是（    ）． A．减函数，且最大值为－4 B．增函数，且最大值为－4 C．减函数，且最小值为－4 D．增函数，且最小值为－4 11．已知奇函数为定义域是的增函数，且，则（    ） A． B．2 C．或2 D．或6 12．设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 13．下列函数中既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 14．下列函数，在其定义域内，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 15．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 16．若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 17．已知是上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 18．已知函数是奇函数，当时，，则在上函数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 19．已知是偶函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 20．已知函数在上是奇函数，若，则（    ） A．0 B．7 C． D．无法判断 21．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A．－2 B．2 C．3 D．－3 22．已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．偶函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 24．已知为奇函数，则（    ）. A． B． C． D． 1.（2025·山西·真题T04）下列函数在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 2.（2024·山西·真题T03）下列函数在其定义域内是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3.（2024·山西·真题T04）下列函数在其定义域内是单调增函数的是（ ） A. B. C. D. 4.（2023·山西·真题T02）下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题7 函数的性质 【复习目标】 1.理解函数的单调性和奇偶性含义,掌握其图像的特点及其简单应用（B）； 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减；在上单调递增 当时，在上单调递增；在上单调递减 5、函数的最值 （1）最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． （2）最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 【即时训练】 1．已知函数，则的最大值、最小值分别为（    ） A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．以上都不对 【答案】A 【分析】由分段函数的解析式先判断各段函数的单调性，进而求出最值即可. 【详解】由题意知，时，是增函数，值域为， 时，是增函数，值域为， 所以最大值为，最小值为. 故选：A. 2．函数在上是增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在上是增函数即可求解． 【详解】∵函数在上是增函数， ∴， ∴． 故选：D． 3．下列函数中，在内为增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式进行分析即可. 【详解】为一次函数，，在上单调递减，故A错误； 为一次函数，，在上单调递减，故B错误； 为反比例函数，在上单调递增，故C正确； 为图像开口向下的二次函数，在上单调递减，故D错误． 故选：C． 4．若定义在上的函数对任意两个不等的实数和，都成立，则必有（    ） A．先增加后减少 B．先减少后增加 C．在上是增函数 D．在上是减函数 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义即可得到答案． 【详解】由题意，函数对任意两个不等的实数和，： 当时，； 当时，． ∴函数在上单调递减． 故选：D． 5．下列函数中，满足“在其定义域上任取，都有”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性的定义及一次函数 、二次函数、指数函数、对数函数的单调性即可得解. 【详解】函数在其定义域上任取，都有，所以函数在定义域内单调递增， 选项A，，定义域为，在定义域内为减函数，故不符合题意； 选项B，，定义域为，对称轴为，图像为开口向上的抛物线， 则函数在定义域内先单调递减，再单调递增，故不符合题意； 选项C，，定义域为，在定义域内单调递减，故不符合题意； 选项D，，定义域为，在定义域内单调递增，符合题意. 故选：D. 6．函数，的图像如图所示，则的增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合单调增函数的定义，即可判断求解. 【详解】由图像可知，函数的增区间为. 故选：C. 7．若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的对称轴，结合二次函数的单调性得到不等式，即可求解． 【详解】因为函数开口向上，且对称轴为， 所以函数的增区间为. 由题可知 故. 故选：A 8．已知函数在上单调递增，则a的最大值为（ ）． A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】先分析二次函数的对称轴和开口方向，再根据二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】函数开口向上，对称轴为. 因为函数在上单调递增，所以，解得. 故a的最大值为. 故选：D. 9．已知函数，则下列表述正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．无最小值 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象和性质判断即可. 【详解】因为为一次函数，又，所以函数在上单调递减， 又，所以函数有最大值，当时，为最大值， 因为，所以没有最小值，故A，B，C选项错误，D选项正确. 故选：D. 【考点2 函数的奇偶性】 1.函数的奇偶性（前提：定义域必须关于原点对称.） （1） 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=f(x)，则称y=f(x)是偶函数．偶函数的图像关于y轴对称． （2） 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=−f(x)，则称y=f(x)是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称． 2.判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3.函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 4.奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 【即时训练】 10．若奇函数在区间是增函数，且最小值为4，则函数在区间上是（    ）． A．减函数，且最大值为－4 B．增函数，且最大值为－4 C．减函数，且最小值为－4 D．增函数，且最小值为－4 【答案】B 【分析】根据奇函数在两个关于原点对称的区间上单调性是一致的，可知在区间的单调性，再结合奇函数的性质可知其最值. 【详解】∵在区间是增函数， 又奇函数在两个关于原点对称的区间上单调性是一致的， ∴在区间是增函数， ∵奇函数在区间上最小值为4，即， ∴， ∴在区间是增函数，且最大值为－4. 故选：B. 11．已知奇函数为定义域是的增函数，且，则（    ） A． B．2 C．或2 D．或6 【答案】B 【分析】根据奇函数的图象对称性列方程，结合函数单调性的概念取值即可. 【详解】已知奇函数的定义域是， 则，即， 解得或， 因为为定义域是的增函数， 由，可得，则， 经检验，满足题意，所以. 故选：B. 12．设偶函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合偶函数的定义，及函数的单调性，即可求解. 【详解】函数为偶函数，， 函数在区间上单调递增，且， ，即． 故选：B. 13．下列函数中既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性单调性逐个分析即可. 【详解】为增函数，故A错误. 为偶函数，故B错误. 为奇函数，在为减函数或在为减函数， 但在定义域上不是单调函数，故C错误. 为奇函数，且在定义域内为减函数，故D正确. 故选：D. 14．下列函数，在其定义域内，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据各类型的函数判断它们的奇偶性和单调性易得答案. 【详解】A:由题意得该函数是非奇非偶函数，故错误， B:由题意得该函数是非奇非偶函数，故错误， C:由题意得该函数是奇函数又是增函数，故正确， D:由题意得该函数是奇函数又是减函数，故错误. 故选:C. 15．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义和单调性的定义即可得解. 【详解】选项，令函数，定义域为，，，不是奇函数，不符合题意； 选项，令函数，定义域为，为偶函数，不符合题意； 选项，令函数，定义域为，，为奇函数，，为增函数，符合题意； 选项，令，定义域为，，，为奇函数，在上为减函数，上为减函数，不符合题意； 故选：. 16．若奇函数和偶函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，求得的解析式，进而求得的值. 【详解】由，用代替，可得， 因为是奇函数，是偶函数，所以， 联立，解得，， 所以，，则． 故选：D． 17．已知是上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性求函数解析式. 【详解】由题意得，当时，，则. 又∵是上的奇函数， ∴. 故选：C. 18．已知函数是奇函数，当时，，则在上函数有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】D 【分析】先由函数是奇函数求出，当时的解析式，再由二次函数的性质判断即可. 【详解】当时，， 当时，，可得， 因为函数是奇函数，所以， 所以当时，，此时是一个二次函数，图象开口向上， 对称轴为，在对称轴处取得最小值. 故在上函数有最小值. 故选：D. 19．已知是偶函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质来求解在特定区间的表达式. 【详解】因为当时，， 令，则，， 因为为偶函数，所以， 故时，． 故选：C. 20．已知函数在上是奇函数，若，则（    ） A．0 B．7 C． D．无法判断 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义判断，求值. 【详解】函数在上是奇函数,. 故选：C. 21．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（   ） A．－2 B．2 C．3 D．－3 【答案】B 【分析】利用奇函数的性质，计算得到答案. 【详解】是定义在R上的奇函数，当时，， 则． 故选：B． 22．已知函数是奇函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质得到的定义域，进而由奇函数的性质得到，从而求得的值，再检验一下的奇偶性并代入即可得解. 【详解】对于，其定义域为， 又是奇函数，所以，则，解得， 所以， 则， 所以是奇函数，即满足题意， 所以. 故选：D. 23．偶函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像和性质即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以函数解析式为：， 函数开口向下，对称轴为轴， 所以函数单调递增区间为， 故选：A. 24．已知为奇函数，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数，将其代入解析式求的值，再将代入求值即可 【详解】已知为奇函数， 因为，所以的定义域为， 所以，解得， 所以，则，‘ 故选：C. 1.（2025·山西·真题T04）下列函数在上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式以及单调性的定义判断函数的单调性即可. 【详解】A选项，一次函数中，在上为减函数，故错误； B选项，反比例函数在上为减函数，故错误； C选项，函数的定义域为，任取， ∴， ∵，则有，， ∴，即， ∴在上为减函数； D选项，指数函数在上为增函数，故正确. 故选：D. 2.（2024·山西·真题T03）下列函数在其定义域内是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数的定义及诱导公式逐项判断即可得解. 【详解】函数，定义域为，， 不符合偶函数的定义，故错误； 函数，定义域为，， 符合偶函数的定义，故正确； 函数，定义域为，， 不符合偶函数的定义，故错误； 函数，定义域为，， 不符合偶函数的定义，故错误； 故选：. 3.（2024·山西·真题T04）下列函数在其定义域内是单调增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常用函数的单调性逐个分析即可. 【详解】对于A.为周期函数，在定义域内不是单调增函数， 对于B.为周期函数，在定义域内不是单调增函数， 对于C.在上为单调递减，在上为单调递增， 所以在定义域内不是单调增函数， 对于D.在其定义域内单调增函数， 故选：D. 4.（2023·山西·真题T02）下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义，分析选项即可. 【详解】A：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数为偶函数， B：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数不是偶函数， C：的定义域为，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数不是偶函数， D：的定义域为R，定义域关于原点对称， 将代入，所以函数不是偶函数. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $