专题4 一元二次不等式（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 一元二次不等式 【复习目标】 1. 掌握一元二次不等式解法（B）； 2. 会解一些简单的不等式并正确表示其解集（C）。 【考点1 一元二次不等式】 1.定义 等号两边是整式，只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做 。使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的 。 2.一般形式：ax² + bx + c = 0 (a≠0)其中 ax² 为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项 3.求解方法 (1) ：通过配方将方程化为的形式，再用直接开平方法求解。适用类型：所有一元二次方程（尤其是二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程） (2) ：求根公式的推导：通过配方法，对一般形式推导得：当 时，根为.根的判别式①∆>0：方程有两个不相等的实数根；② ∆=0：方程有两个相等的实数根；③ ∆<0：方程无实数根. (3)因式分解法：①提公因式；②十字相乘法. 一元二次不等式 1、含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为 ．其一般形式为. 2、一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式方程之间的关系： 二次函数 的图像 一元二方程 的根 两个不相等的实数根 () 两个相等的实数根 无实根 的解集 的解集 一元二次不等式解集口诀：大于取两边，大于大数，小于小数；小于取中间. 【即时训练】 1．函数，当时x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．不等式的解集（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 7．已知一元二次不等式的解集为，则二次函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 8．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 9．已知不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．若不等式的解集是全体实数，则需满足（   ） A．， B．， C．， D．， 11．一元二次不等式的解集是R的条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 12．一元二次不等式的解集为R，则a与的取值情况为（　　） A．， B．， C．， D．， 【考点2 分式不等式】 1、 形如的不等式称为 。 2、 分式不等式的解法： （1） （除化乘：正数×正数＞0或负数×负数＞0） （2） （分式的分母≠0） 【即时训练】 13．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 14．已知集合， ，则（ ） A． B． C． D． 15．不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 16．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 18．不等式的解集为________. 19．不等式的解集为___________. 20．不等式的解集是______________． 21．解不等式． 22．解下列不等式 (1) (2) 1.（2022·山西·真题T02）设a为一个正数，若方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 空集 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 一元二次不等式 【复习目标】 1. 掌握一元二次不等式解法（B）； 2. 会解一些简单的不等式并正确表示其解集（C）。 【考点1 一元二次不等式】 一元二次方程 1.定义 等号两边是整式，只含一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解（根）。 2.一般形式：ax² + bx + c = 0 (a≠0)其中 ax² 为二次项，a为二次项系数；bx为一次项，b为一次项系数；c为常数项 3.求解方法 (1)配方法：通过配方将方程化为的形式，再用直接开平方法求解。适用类型：所有一元二次方程（尤其是二次项系数为1、一次项系数为偶数的方程） (2)公式法：求根公式的推导：通过配方法，对一般形式推导得：当 时，根为.根的判别式①∆>0：方程有两个不相等的实数根；② ∆=0：方程有两个相等的实数根；③ ∆<0：方程无实数根. (3)因式分解法：①提公因式；②十字相乘法. 一元二次不等式 1、含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为. 2、一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式方程之间的关系： 二次函数 的图像 一元二方程 的根 两个不相等的实数根 () 两个相等的实数根 无实根 的解集 的解集 一元二次不等式解集口诀：大于取两边，大于大数，小于小数；小于取中间. 【即时训练】 1．函数，当时x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题解一元二次不等式即可解得. 【详解】由题，， 可化为， 解得， 故， 故选：C. 2．已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法和含有绝对值的不等式的解法，结合充分、必要条件的定义分析求解即可. 【详解】， ，解得：， 所以且， 所以p是q的充要条件. 故选：C. 3．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的基本解法得到集合，再根据交集的概念即可求解. 【详解】， , 所以. 故选：B． 4．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为，所以， 即不等式的解集为. 故选：C. 5．不等式的解集（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式，解得或， 所以解集为， 故选：. 6．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简计算出集合和集合，再结合交集的定义及运算求解即可. 【详解】解不等式，解得：， 所以集合， 由得集合， 所以， 故选：A. 7．已知一元二次不等式的解集为，则二次函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设条件得到是方程的两个实根，再利用韦达定理得到，，进而检验各选项即可得解. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 故，则，， 所以可化为， 对于ABD，显然不存在满足对应解析式，故ABD错误； 对于C，当时，，故C正确. 故选：C. 8．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：A. 9．已知不等式的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解集为空集，可知判别式必须不大于，列出式子解得的取值范围. 【详解】因为不等式的解集是空集，因此 ，解得， 即的取值范围是， 故选：C. 10．若不等式的解集是全体实数，则需满足（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】若不等式的解集是全体实数， 则需，. 故选：D. 11．一元二次不等式的解集是R的条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】将一元二次方程的解的问题转化为二次函数的图像问题即可求解. 【详解】由题意可知一元二次不等式， 对应的二次函数为， 若二次不等式的解集是R， 则需二次函数图像开口向下，且与x轴无交点， 所以，. 故选：D. 12．一元二次不等式的解集为R，则a与的取值情况为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用一元二次不等式的性质可求. 【详解】当时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线， 判别式必须小于0，即，此时一元二次方程没有实数解， 即函数在轴下方，不等式的解集为R， 则，且， 故选：C． 【考点2 分式不等式】 1、 形如的不等式称为分式不等式。 2、 分式不等式的解法： （1） （除化乘：正数×正数＞0或负数×负数＞0） （2） （分式的分母≠0） 【即时训练】 13．不等式的解集是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】不等式可转化为， 即，化简可得， ∴，解得， ∴不等式的解集是. 故选：A. 14．已知集合， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解一元二次不等式和分式不等式，再由交集的定义求解即可. 【详解】，， 所以集合，， 所以. 故选：D. 15．不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的意义，一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由题意得，不等式 等价于，解得或. 即不等式 的解集为. 故选：B. 16．已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由一元二次不等式及分式不等式解出两个集合，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由可得：，即，故， 由可得：且，即， ， 则“”推不出“”， “”可以推出“”， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 17．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】把不等式同解变形即可求解. 【详解】不等式化为即等价于或， 解得或，所以不等式的解集是或. 故选：A 18．不等式的解集为________. 【答案】 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】由不等式可得， 由可得，， 由可得，， ∴不等式的解集为. 故答案为：. 19．不等式的解集为___________. 【答案】或 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，同时满足分母具有意义，即可求解. 【详解】不等式，可化为， 即， 解得， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 20．不等式的解集是______________． 【答案】 【分析】将分式不等式化为二次不等式即可求解． 【详解】不等式，即， 可得，解得， 故不等式的解集是. 故答案为：. 21．解不等式． 【答案】或 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】已知， 移项得， 左边通分并化简得，即， 可转化为， 解得或， 所以原不等式的解集为或． 22．解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据含绝对值的不等式进行求解即可； （2）根据分式不等式的解法进行求解. 【详解】（1）由 可得，， 解得或. 所以不等式解集为. （2）由变换为，通过“穿根引线”法 可得不等式的取值范围或. 所以不等式解集为. 1.（2022·山西·真题T02）设a为一个正数，若方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 空集 【答案】A 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式即可得解. 【详解】因为方程有两个不相等的实数根， 所以，解得且， 又a为一个正数， 所以a的取值范围是. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $