专题2 不等式的性质（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 不等式的性质 【复习目标】 1. 掌握实数大小的基本性质和不等式的性质（A）； 【考点1 不等式的性质】 1、一般地，对于任意实数a，b，如果a—b＞0，那么称a大于b（或b小于a）． 2、关于实数a，b的大小关系，可以通过以下运算来表示：a＞b即a—b＞0；a＜b即a—b＜0；a=b即a—b=0. 3、要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差的大小．这种比较大小的方法称为 ． 4、不等式的性质： （1）性质1 ：若 （2）性质2 . （3）性质3 （4）性质4 （5）性质5 （6）性质6 （7）性质7 （8）性质8 （9）性质9 5、比较，的大小，只要判断它们的差与0的大小关系即可. (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 6、区间 区间的表示： 一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} [a，b] {x|a＜x＜b} (a，b) {x|a≤x＜b} [a，b) {x|a＜x≤b} (a，b] 2.特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 注：这里的实数与都叫作相应区间的端点； 符号“”读作“无穷大”，它不是一个具体的数，仅表示某个量在变化时，绝对值无限增大的趋势。“”读作“正无穷大”，表示某个量正沿正方向无限增大；“”读作“负无穷大”，表示某个量沿负方向无限变化。 【即时训练】 1．设，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 2．下列各项中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 3．的一个充分条件为（       ） A．或 B．或 C．且 D．且 4．若，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．若、、，，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若 ，则（　　） A． B． C． D． 8．已知，，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 10．若，，则A，B的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 11．若，则（　　） A． B． C． D． 12．若为锐角，则（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 13．下列命题中正确的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 14．若，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 15．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 16．已知，则下列式子中错误的是（   ） A． B． C． D． 17．若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 18．已知集合，，，则（   ）． A． B． C． D． 19．不等式用区间表示为（    ） A． B． C． D． 20．集合，则（　　） A． B． C． D． 21．关于不等式的区间表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 22．设，则（    ） A． B． C． D． 23．如图，数轴上的区域用区间可以表示为（   ）    A． B． C． D． 24．满足不等式的集合可用区间表示为（   ） A． B． C． D． 25．满足不等式的集合可用区间表示为（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2 不等式的性质 【复习目标】 1. 掌握实数大小的基本性质和不等式的性质（A）； 【考点1 不等式的性质】 1、一般地，对于任意实数a，b，如果a—b＞0，那么称a大于b（或b小于a）． 2、关于实数a，b的大小关系，可以通过以下运算来表示：a＞b即a—b＞0；a＜b即a—b＜0；a=b即a—b=0. 3、要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法． 4、不等式的性质： （1）性质1 传递性：若 （2）性质2 加法不变性 . （3）性质3 同向可加性 （4）性质4 正数乘除不变向 （5）性质5 负数乘除反向 （6）性质6 同号取倒数反向 （7）性质7 正数乘正整数幂不变向 （8）性质8 正数乘负整数幂反向 （9）性质9 正数开方不变向 5、比较，的大小，只要判断它们的差与0的大小关系即可. (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 6、区间 区间的表示： 一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 左开右闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 注：这里的实数与都叫作相应区间的端点； 符号“”读作“无穷大”，它不是一个具体的数，仅表示某个量在变化时，绝对值无限增大的趋势。“”读作“正无穷大”，表示某个量正沿正方向无限增大；“”读作“负无穷大”，表示某个量沿负方向无限变化。 【即时训练】 1．设，则和的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】利用作差比较法即可求解. 【详解】因为， 且， 所以， 即. 故选：B. 2．下列各项中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若则 D．若，则 【答案】A 【分析】由不等式的基本性质逐项分析即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则（当时才成立），故B错误； 对于C，若，则（当时才成立），故C错误； 对于D，若，则的大小关系不确定，故D错误. 故选：A. 3．的一个充分条件为（       ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合对各选项赋值即可求解. 【详解】对A，B，令或，则得不到，故AB错误； 对C，令，则得不到，故C错误. 对D，且，由同向不等式相加的性质知，，故D正确． 故选：D. 4．若，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据条件求出与的取值范围，然后求出的范围，最后利用不等式的基本性质进行求解. 【详解】因为：， 所以，，， 而， 根据同向不等式的可加性，得到， 又∵，∴. 综上，. 故选：C. 5．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质判断易得答案. 【详解】不等式乘法性质得A正确,D错误，当，B、C错误. 故选:A. 6．若、、，，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据、、的取值来判断各项. 【详解】当时，，当时，故A选项不正确； ，当时，，当时，故B、C选项均不正确； ，都有，故D选项正确. 故选:D. 7．若 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，利用作差法即可判断求解. 【详解】因为，则， 所以， 所以，故选项A错误； 因为，则， 所以， 所以，故选项B错误； 因为，则， 所以， 所以，故选项C正确； 因为，则， 所以， 所以， 所以，故选项D错误； 故选：C. 8．已知，，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法，即可求解. 【详解】由题意知，， 所以， 所以. 故选：D. 9．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】将基本不等式化简再求最值即可解得 【详解】由题， 则， 又， 当且仅当时取等号， 故选；A 10．若，，则A，B的大小关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可得解. 【详解】∵ ， ∴. 故选：A. 11．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】对A，D，由不等式的性质可得，不等式左右两边同乘以一负数，不等号方向改变. 即若，则，又不等式左右同加上一个数不等号方向不变. 所以，故D错误，A正确. 对B,当时，，故B错误. 对C，当时，，故C错误. 故选：A． 12．若为锐角，则（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据象限角的定义以及为锐角的条件，分析的终边所在的象限. 【详解】因为为锐角，所以， 所以，即在第三象限. 故选：C. 13．下列命题中正确的是（　　） A．如果，则 B．如果，则 C．如果，则 D．如果，则 【答案】C 【分析】假设的值判断A，B选项，再结合不等式的性质判断C，D即可求解. 【详解】对A， B，令， 则. 所以A，B错误. 因为，所以， 由不等式的乘法性质可得， ，则. 所以C正确. 对D，因为，则. 所以D错误. 故选：C. 14．若，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对移项，因式分解，再求解的范围即可. 【详解】，可得，即， 或. 故选：A. 15．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例排除ABC，再利用作差法判断D，从而得解. 【详解】对A，令，则，故A错误， 对B，令，则，故B错误， 对C，，则，故C错误， 对D，因为，则， 所以，则，故D正确. 故选：D. 16．已知，则下列式子中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，利用赋值法和作差比较法，即可判断求解. 【详解】因为， 当时，有，故选项A错误，符合题意； 因为，不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，则，故选项B正确，不符合题意； 所以，所以，故选项C正确，不符合题意； 因为，所以，故选项D正确，不符合题意； 故选：A. 17．若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】判断的大小,解一元二次不等式得出答案. 【详解】因为,所以,所以,解不等式得. 故选:D. 18．已知集合，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集、补集的运算法则，即可求解. 【详解】集合，，， ， . 故选：B. 19．不等式用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据区间的定义及表示可求解. 【详解】根据区间的定义及表示，可知 不等式可用区间表示为. 故选：B 20．集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合用列举法表示，再利用集合的并集运算即可. 【详解】因为集合. 集合. 所以. 故选：D. 21．关于不等式的区间表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用闭区间的方法表示即可. 【详解】对于不等式 ， 符合闭区间的表示形式， 即. 故选：A. 22．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集的定义结合区间的表示求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 23．如图，数轴上的区域用区间可以表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用区间表示法表示即可. 【详解】由图可知， 数轴上的区域用区间可以表示为， 故选：D. 24．满足不等式的集合可用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据区间定义与表示求解. 【详解】满足不等式的集合可用区间表示为. 故选：C. 25．满足不等式的集合可用区间表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与区间之间的关系即可求解. 【详解】不等式的集合可用区间表示为. 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $