专题1 集合与充要条件（讲义）-2027年山西省（对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合与充要条件 【复习目标】 1. 理解集合的意义,理解元素与集合、集合与集合间的关系（B）； 2. 会用有关的术语和符号正确表示一些集合（A）； 3. 掌握交集、并集、补集的概念及运算（C）； 4. 理解充要条件的意义（D）. 【考点1 集合】 1.集合的定义： 一般地，由某些确定的对象组成的总体称为集合，简称为集．组成这个集合的对象称为这个集合的元素．集合常用大写英文字母表示．如A，B，C，…．；集合中的元素常用小写英文字母表示．如a，b，c，…． 2.集合的特性：确定性、互异性、无序性 3.集合的分类：含有有限个元素的集合称为有限集.含有无限个元素的集合称为无限集. 4.点集与数集 由数组成的集合称为数集，如.由点组成的集合称为点集，如. 5.常见数集的记法与关系图 实数集（R）、整数集（Z）、有理数集（Q）、自然数集（N）、正整数集（或） 6.集合的表示法：列举法、描述法、图示法； 7.元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a ∈A, 读作“a属于A”.如果a不是集合A的元素,就说a不属于A，记作a ∉A,读作“a不属于A”。 8.集合与集合的基本关系 表示 关系 自然语言 符号语言 图示 基 本基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 （或 ） 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 （或 ） 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ， 常用结论： 若有限集中有个元素，则的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个； 9.集合间的运算 （1）并集 一般地,对于给定的集合A与集合B,由集合A与集合B的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的并集,记作A∪B.读作“A并B”.即A∪B={x|x∈A或x∈B}. （2）交集 一般地,对于给定的集合A与集合B,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作A∩B.读作“A交B”.即A∩B={x|x∈A且x∈B}. （3）补集 研究某些集合时,如果这些集合是一个给定集合的子集,那么这个给定的集合称为全集,通常用字母U表示.在研究数集时，通常把实数集R作为全集． 一般地，如果集合A是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作CUA．即 CUA={x|x∈U且x∉A}. 【即时训练】 1．已知集合，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集、补集的运算法则，即可求解. 【详解】集合，，， ， . 故选：B. 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，根据集合交集运算可得结果. 【详解】因为， 因为，解得，所以集合， 所以． 故选：. 3．设集合，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求出集合结合集合与元素之间的关系判断即可. 【详解】集合，表示大于的实数构成的集合， 对于A和C：，M是集合与集合的关系， 所以应该是，故A错，故C对； 对于B：空集是任何集合的子集，所以，故B错； 对于D：元素与集合的关系应该为属于或不属于，所以，故D错． 故选：C. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交集运算易得答案. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 5．集合的非空真子集的个数（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先求出集合中元素的个数，再代入公式计算即可. 【详解】集合， 所以其非空真子集的个数为个． 故选：B． 6．下列集合中，不同于另外三个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析集合中的元素，即可选出正确答案. 【详解】分析选项可知，A、B、D选项集合中的元素都是1，而C选项表示含有一个方程的集合. 故选：C 7．已知集合 中的三个元素 ，， 分别是 的三边长，则 一定不是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合的互异性易得答案. 【详解】因为集合 中的三个元素 ，， 分别是 的三边长， 因为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形三边可能都不一样，可能可以构成三角形， 等腰三角形有两边相等，根据集合的互异性知道一定不能构成三角形. 故选：D. 8．满足关系的集合的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据集合包含关系及子集定义将满足条件的集合一一列举出来即可. 【详解】满足条件的集合可以是，，，，，，，共个. 故选：C. 9．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的基本解法得到集合，再根据交集的概念即可求解. 【详解】， , 所以. 故选：B． 10．已知集合，则集合（　　） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先求出集合A和B，结合交集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合， ， 所以. 故选：B. 11．已知集合，或，则（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】由并集的概念计算即可. 【详解】因为集合，或， 所以或. 故选：A. 12．若全集，集合，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合的运算解答即可. 【详解】因为全集，集合， 所以，那么， 故选：. 13．下列符号表示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由元素与集合，集合与集合之间的关系即可判断出选项. 【详解】对于选项A，元素与集合之间不能用“”表示，故A选项错误； 对于选项B，是集合的一个元素，即正确，故B选项正确； 对于选项C，两个集合之间的关系不能用“”，故C选项错误； 对于选项D，一个元素与一个集合不能用等号表示，故D选项错误. 故选：B. 14．设，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系易得出答案. 【详解】A、B、C数学符号错误，故选项也是错误，D选项空集是任何集合的子集，故正确. 故选:D. 15．已知全集，集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出集合A，再根据集合的补集以及交集求解即可. 【详解】由得，所以集合，则. 又，所以． 故选：C. 16．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次方程求出集合中的元素，结合交集的定义即可得解. 【详解】，解得或， 所以，因为， 则， 故选：. 17．设全集， 集合，，则集合可能是（   ）运算的结果． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合A，再利用集合的混合运算，对每个选项进行分析，即可求解. 【详解】对于AC：因为，， 所以，故A错误； ，故C错误； 对于BD：因为集合，全集， 所以，又因为集合， 所以，故B正确； ，即，故D错误. 故选：B. 【考点2 充要条件】 1、命题 命题是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句。一般用小写字母…表示命题。 2、逻辑联结词 “或”“且”“非”。含有逻辑联结词的命题形式可以概括为：或，，非。 没有逻辑联结词的命题称为简单命题；含有逻辑联结词的命题称为复合命题。 3、四种命题的概念 命题的一般形式：若，则。这里的称为命题的条件，称为命题的结论。 （1）一般地，在两个命题中，如果一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题是互逆命题。如果把其中一个当作原命题，那么另一个是原命题的逆命题。 （2）一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题是互否命题，把其中一个命题当作原命题，另一个是原命题的否命题。 （3）一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题互为逆否命题，把其中一个当作原命题，另一个是原命题的逆否命题。 4、四种命题的形式 如果用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定。四种命题的形式如下： 原命题：若，则； 逆命题：若，则； 否命题：若，则； 逆否命题：若，则. 一般地，两种命题的真假性之间有如下关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。 5、充分条件与必要条件 一般地，如果已知，我们称的充分条件，的必要条件；如果既有，又有，此时既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件，记作。 若且，则称是的充分不必要条件； 若且，则称是的必要不充分条件； 若且，则称是的既不充分也不必要条件. 【即时训练】 18．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，结合充分性和必要性的概念，即可判断求解. 【详解】若成立，则一定成立，即充分性成立； 若，则不一定成立， 如时，有，但，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 19．已知，都是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】指数函数在其定义域内为增函数， ∵， ， ∵不能推出， 也不能推出， ∴是的既不必要也不充分条件. 故选：D. 20．“”是“”成立的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】解一元二次不等式，再根据充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得：，解得或， 所以“”能推出“”， “”推不出“”， 故“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 21．下列结论错误的是（    ） A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．“”是“”的充分条件 C．命题“若，则方程有实数根”的逆命题为真命题 D．命题“，则且”的否命题“，则或” 【答案】C 【分析】由逆否命题、否命题的定义可知，A、D正确；因为“若，则”是真命题，故B正确；若方程有实数根，则，解得，故C错误； 【详解】由逆否命题的定义可知，A正确； 因为“若，则”是真命题，故B正确； 若方程有实数根，则，解得. 所以“若，则方程有实数根”的逆命题为假命题. 故C错误； 由否命题的定义可知，D正确. 故选：C 22．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件即可求解. 【详解】因为则，又，则或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 23．已知，实数，则是 的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】当时，可得，所以“”“ ”， 当时，可得或，所以“”“ ”， 综上，是的充分不必要条件， 故选：A. 1.（2025·山西·真题T01）集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的概念求解. 【详解】∵，， ∴. 故选：A. 2．（2024·山西·真题T01）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用列举法表示集合，结合交集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合， 所以. 故选：C. 3.（2023·山西·真题T01）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的概念求解即可. 【详解】因为集合， 所以集合. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山西省对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山西省对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合与充要条件 【复习目标】 1. 理解集合的意义,理解元素与集合、集合与集合间的关系（B）； 2. 会用有关的术语和符号正确表示一些集合（A）； 3. 掌握交集、并集、补集的概念及运算（C）； 4. 理解充要条件的意义（D）. 【考点1 集合】 1.集合的定义： 一般地，由某些确定的对象组成的总体称为 ，简称为集．组成这个集合的对象称为这个集合的 ．集合常用大写英文字母表示．如A，B，C，…．；集合中的元素常用小写英文字母表示．如a，b，c，…． 2.集合的特性： 、互异性、无序性 3.集合的分类：含有有限个元素的集合称为 .含有无限个元素的集合称为 . 4.点集与数集 由数组成的集合称为数集，如.由点组成的集合称为点集，如. 5.常见数集的记法与关系图 实数集（R）、整数集（ ）、有理数集（ ）、自然数集（ ）、正整数集（或） 6.集合的表示法： 、 、 ； 7.元素与集合的关系 如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作 , 读作“a属于A”.如果a不是集合A的元素,就说a不属于A，记作 ,读作“a不属于A”。 8.集合与集合的基本关系 表示 关系 自然语言 符号语言 图示 基 本基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素 （或 ） 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 （或 ） 相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ， 常用结论： 若有限集中有个元素，则的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个； 9.集合间的运算 （1）并集 一般地,对于给定的集合A与集合B,由集合A与集合B的 组成的集合称为集合A与集合B的并集,记作 .读作“A并B”.即 ={x|x∈A或x∈B}. （2）交集 一般地,对于给定的集合A与集合B,由既属于 又属于 的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B的交集,记作 .读作“A交B”.即 ={x|x∈A或x∈B}. （3）补集 研究某些集合时,如果这些集合是一个给定集合的子集,那么这个给定的集合称为 ,通常用字母 表示.在研究数集时，通常把实数集R作为全集． 一般地，如果集合A是全集 的一个子集，则由集合 中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A在全集 中的补集，记作 ．即 CUA={x|x∈U且x∉A}. 【即时训练】 1．已知集合，，，则（   ）． A． B． C． D． 2．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3．设集合，则下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．集合的非空真子集的个数（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 6．下列集合中，不同于另外三个集合的是（    ） A． B． C． D． 7．已知集合 中的三个元素 ，， 分别是 的三边长，则 一定不是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 8．满足关系的集合的个数是（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 9．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知集合，则集合（　　） A．0 B． C． D． 11．已知集合，或，则（    ） A．或 B． C． D．或 12．若全集，集合，则 （    ） A． B． C． D． 13．下列符号表示中，正确的是（    ） A． B． C． D． 14．设，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．已知全集，集合，，则（    ）． A． B． C． D． 16．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 17．设全集， 集合，，则集合可能是（   ）运算的结果． A． B． C． D． 【考点2 充要条件】 1、命题 命题是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的 。一般用小写字母…表示命题。 2、逻辑联结词 “或”“且”“非”。含有逻辑联结词的命题形式可以概括为：或，，非。 没有逻辑联结词的命题称为简单命题；含有逻辑联结词的命题称为复合命题。 3、四种命题的概念 命题的一般形式：若，则。这里的称为命题的 ，称为命题的 。 （1）一般地，在两个命题中，如果一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题是互 。如果把其中一个当作原命题，那么另一个是原命题的逆命题。 （2）一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题是互 ，把其中一个命题当作原命题，另一个是原命题的否命题。 （3）一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题互为 ，把其中一个当作原命题，另一个是原命题的逆否命题。 4、四种命题的形式 如果用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定。四种命题的形式如下： 原命题：若，则； 逆命题：若，则； 否命题：若，则； 逆否命题：若，则. 一般地，两种命题的真假性之间有如下关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。 5、充分条件与必要条件 一般地，如果已知，我们称的充分条件，的必要条件；如果既有，又有，此时既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的 ，简称充要条件，记作。 若且，则称是的 ； 若且，则称是的 ； 若且，则称是的 . 【即时训练】 18．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．已知，都是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．“”是“”成立的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 21．下列结论错误的是（    ） A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则” B．“”是“”的充分条件 C．命题“若，则方程有实数根”的逆命题为真命题 D．命题“，则且”的否命题“，则或” 22．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．已知，实数，则是 的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1.（2025·山西·真题T01）集合，，则（ ） A. B. C. D. 2．（2024·山西·真题T01）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3.（2023·山西·真题T01）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $