1.2.3 充分条件、必要条件【考点突破+强化训练】讲义-2026年新高一暑假预习数学人教B版必修第一册

1.2.3 充分条件、必要条件 知识点一 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充分条件与必要条件的判断 3．充分条件、必要条件与集合的关系 A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A⊆B p是q的充分条件 q是p的必要条件 A ⊈ B p是q的不充分条件 q是p的不必要条件 B⊆A q是p的充分条件 p是q的必要条件 B⊈A q是p的不充分条件 p是q的不必要条件 知识点二　充要条件 1．一般地，如果p⇒q且q⇏ p，则称p是q的充分不必要条件． 2．一般地，如果p⇏ q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 3．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 考点一　判断命题的充分不必要条件 考点二　根据充分不必要条件求参数 考点三　判断命题的必要不充分条件 考点四　根据必要不充分条件求参数 考点五　根据充要条件求参数 考点六　充要条件的证明 考点一　判断命题的充分不必要条件 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，故充分性成立； 若，则或，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，求出时，，结合充分条件与必要条件判断即可． 【详解】时，，符合， 时，，又， 或，解得或， 综上，时，， 则“”是“”的充分不必要条件． 3．（2026·山东滨州·二模）已知实数a，b，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由且，根据不等式性质可得， 反之，取满足，此时和不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件. 4．（2026高三·全国·专题练习）设，则“且”是“”的________条件． 【答案】充分不必要 【详解】且， ， 且是“”的充分条件； 而不一定得出且， 即“且”不是“”的必要条件， “且”是“”的充分不必要条件． 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据判断充分性，取判断必要性即可得答案. 【详解】当时，且成立，即成立，则一定成立，充分性成立； 反之，取，满足且成立，但不满足，即成立时，不一定成立，必要性不成立， 所以命题是命题成立的充分不必要条件. 6．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知集合则x∈B是x∈U的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】本题考查知识点为集合的运算（补集）及充分、必要条件的判断，属于基础题.先求出全集与补集的元素，再根据充分、必要条件的定义进行判断. 【详解】先求全集解方程，，或，所以. 再求，由，根据补集的定义知，，则有. 充分性：若，则，显然，因此由能推出，即充分性成立； 必要性：若不能推出，必要性不成立，故A选项正确. 考点二　根据充分不必要条件求参数 7．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． （2）令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 8．（26-27高一·全国·暑假作业）设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将充分条件转化为子集关系，再结合集合的子集关系，进行分类讨论即可求解. 【详解】因为是成立的充分条件，所以； 当时，，解得，此时满足题意； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 9．（26-27高一·全国·暑假作业）已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数的取值范围为. 10．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）已知，或，若， 则A的所有元素都不在B中，可得不等式组： ， 解得，即m的取值范围为； （2）若p是q的充分条件，则，即A的所有元素都属于B， 因此有两种情况： ① ，此时，解得； ② ，此时，解得， 综上，m的取值范围是或. 考点三　判断命题的必要不充分条件 11．（2026·广东茂名·二模）已知实数，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】借助特殊值法否定充分性，结合基本不等式推导必要性，进而判定两个条件间的逻辑关系. 【详解】若，取，，满足，，此时，而， 因此，由无法推出，充分性不成立. 若，由，，得， 因此，，即，必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 12．（2026·重庆渝中·模拟预测）对于实数、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当，时，满足，但，所以”推不出“，充分性不成立， 因为，所以，又因为，所以，即 “能推出“”，必要性成立， 综上“”是“”的必要不充分条件. 13．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）若x是实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】解不等式 ，得 或 ， 由于 或 不能推出 ，例如 满足 ，但不满足 ， 因此“”是“”的不充分条件， 由 ，则一定满足 ，即 可以推出 ， 因此“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 14．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】由命题的真假判断A、B，根据充分条件、必要条件的定义判断C、D. 【详解】对于A，当时，，故A正确； 对于B，因为时，， 又因为当时，恒成立，故命题“”是假命题，故B错误； 对于C，由，即，解得或； 所以由推不出，即充分性不成立， 由推得出，即必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当且时，，即充分性成立， 当时，如，此时不满足且，即必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故D正确． 故选：ACD 考点四　根据必要不充分条件求参数 15．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 16．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】先将“q是p的必要不充分条件”转化为集合是集合的真子集，再根据集合真包含关系列不等式组，求解实数的取值范围. 【详解】∵q是p的必要不充分条件，∴⫋， 则或，解得， 故实数的取值范围为. 17．（2026高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出集合A，再应用补集及交集定义计算求解； （2）根据必要不充分条件得出集合间关系列式计算求解； （3）应用特称命题为真分和列式计算求解参数. 【详解】（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件， 是的真子集， ，解得， 即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 18．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先求出，根据交集的概念得到答案； （2）分和两种情况，得到不等式，求出答案； （3）先得到为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】（1）时，，故或， ， 故或； （2）， ，当时，，解得， 当时，需满足或，解得， 综上，实数m的取值范围为； （3）命题p是命题q的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解得， 若，需满足或， 解得， 综上，实数m的取值范围为. 19．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知集合，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合，可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围； （2）分析可知，是的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为集合，集合，且， 当时，，即，此时，符合题意； 当时，，即， 则有或，解得或，此时. 综上所述，实数的取值范围是或. （2）因为是的必要不充分条件，则是的真子集， 当时，，即，此时是的真子集，符合题意； 当时，则，解得， 当时，为的真子集，符合题意， 当时，为的真子集，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 20．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知全集，：，：，其中. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意解不等式化简集合，结合集合的交集和补集运算求解； （2）分析可知集合是集合的真子集，分类讨论a的符号，结合包含关系运算求解. 【详解】（1）由题意可知：， 若，则，可得， 所以. （2）若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 若，则，符合题意； 若，则，不合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 考点五　根据充要条件求参数 21．（26-27高一·全国·暑假作业）设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 【答案】2 【详解】由条件，因为 是的充要条件，所以， 即，解得， 所以实数的值是. 22．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 【答案】(1). (2)不存在 【分析】（1）把必要条件转化为子集关系，从而确定参数满足的不等式组，即可求解； （2）把充要条件转化为两集合相等，从而确定参数满足的方程组，即可作出判断. 【详解】（1）∵是的必要条件，故， ∴，解得， 即所求实数m的取值范围是. （2）∵若是的充要条件，则， ∴，由于该方程组无解， 即不存在实数m，使是的充要条件. 23．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 【答案】 【分析】利用计算即可. 【详解】“方程至多有一个实数解”的充要条件为，解得． 故答案为： 24．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 25．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 26．（25-26高一上·山东·期中）（多选）下列说法中错误的有（   ） A．命题：，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABC 【分析】需要根据命题的否定、充分必要条件的判断以及方程根的情况，逐个分析每个选项，根据相关的数学概念和定理来判断其正误. 【详解】对于A选项，对于命题，其否定应该是.所以A选项错误.   对于B选项，当时，，，满足，但是. 反之，当时，例如，此时，，. 所以是“”的既不充分也不必要条件，B选项错误.   对于C选项，当时，，但是，不满足. 所以命题是假命题，C选项错误.   对于D选项，对于方程，若方程有一正一负根，则根据,即.且满足韦达定理，两根之积，即. 取交集得到. 反之，当时，方程的判别式，方程有两个不同的根，且两根之积，所以方程有一正一负根. 所以是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，D选项正确.   故选：ABC. 考点六　充要条件的证明 27．（25-26高一上·青海·阶段检测）（1）已知命题p：，，当命题p为假命题时，求实数k的取值范围； （2）已知命题p：或，命题q：或，若p是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围． （3）已知，是实数，求证：成立的充要条件是． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）由题设为真命题，讨论、求参数范围； （2）利用是的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数的不等式组，解不等式即可； （3）根据充分、必要性定义，应用因式分解判断条件间的推出关系，即可证. 【详解】（1）由题设，命题的否定为真命题，命题的否定为， 当时，成立， 当时，可得，解得， 综上所述，； （2）因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或或,解得， 即实数的取值范围是； （3）先证充分性： 若，则成立，充分性成立； 再证必要性： 若，则，即， 所以，即，又， 所以，即成立，必要性成立； 综上：成立的充要条件是． 28．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】通过因式分解得到，即可求证. 【详解】证明： ， ， 因为，是正实数， 所以， 得证. 29．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【答案】（1）或；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据必要不充分条件转化为真包含关系即可得解； （2）结合一元二次方程根的概念，分别证明充分性与必要性即可得证. 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明： 充分性：∵，∴， 代入方程，可得， 即． 故关于x的方程有一个根为1． 是方程的一个根 必要性：是方程的一个根， 将代入方程得． 综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件是． 30．（25-26高三·全国·三轮复习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可. 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 2．（25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由“”是“”的必要不充分条件， 得集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 3．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）设是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】由“”不能得出“”， 如当时，满足，不满足； 因为 所以由“”能得出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件. 4．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则 ，是充分条件， 若，则推不出， 比如： 也可以， 所以“”是“”的充分不必要条件. 5．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】D 【详解】对于A，若，满足，而， 则“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，若，满足，而， 则“”不是“”的必要条件，故B错误； 对于C，由，当时，， 则“”不是“”的充分条件，故C错误； 对于D，由，则且，即， 所以“”是“”的必要条件，故D正确. 6．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：若， 则， 当且仅当时等号成立， 必要性：若，令，显然 所以是充分不必要条件 7．（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，由题意可得⫋，列出不等式，即可得答案. 【详解】由或，得， 由是的充分不必要条件，得⫋，可得，解得. 故选：C. 8．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分条件、必要条件的概念结合集合间的基本关系计算即可. 【详解】因为是的必要不充分条件，所以A是B的真子集， 即，解得. 故选：D 9．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用判别式求得的取值范围，然后结合充要条件的知识求得的值. 【详解】方程有实根，故， 解得或. 方程有实根，故， 解得. 综上所述，，只有D选项符合. 若方程与有一个公共实数根，设公共实根为， 则，两式相减得， 由于，所以， 所以. 当时，两个方程分别为、， 方程的两个根为； 方程的两个根为； 即方程与有一个公共实数根. 综上所述，方程与有一个公共实数根的充要条件是. 故选：D 10．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（    ） A．已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题，成立的充要条件是 D．“”是“”的充分必要条件 【答案】BD 【分析】对A，先化简集合，然后根据条件来解即可； 对B， 根据充分必要条件的定义来判断即可； 对C， 问题转化为求在区间有解即可； 对D， 由化简即可判断. 【详解】对A， ，若，则， 当时，，当时，由或，或，故实数的集合为，故A不正确； 对B， “”不一定有“”，而“”一定有“”，“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对C，，成立，则化为：在区间有解，而在区间上的最小值为， ，故C不正确； 对D， ，且，“”是“”的充分必要条件，故D正确. 故选：BD 11．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】BCD 【分析】令依题意可得真包含于，即可求出参数的取值范围. 【详解】令 ∵“”是“”的必要不充分条件，∴真包含于， ∴，即 故选：BCD. 12．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B．“”是“”的既不充分又不必要条件 C．命题“，”的否定是“，” D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据命题的真假，充分必要条件，命题的否定的定义判断各选项． 【详解】是无理数，是有理数，A错； 时，，但； 反之，时，，但； 则“”是“”的既不充分又不必要条件，B正确； 命题的否定是：，C正确； “”的必要不充分条件是“”，则， 两个等号不同时取得．解得．D正确． 故选：BCD. 13．（25-26高一上·全国·期末）（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】ACD 【分析】先根据题意得到，再分类讨论是空集、不是空集，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【详解】因为是的充分条件，所以， 若是空集，显然满足题意，此时，解得， 若不是空集，由得，解得， 综上，或， 对比选项可知，ACD符合题意． 故选：ACD． 14．（25-26高一下·贵州·期中）（多选）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用一元二次不等式的成立问题结合必要不充分条件的定义判断各个选项. 【详解】存在，使得为真时， 当时，显然成立； 当时，有，解得， 当时，存在，使得； 所以存在，使得为真时，， 命题“存在，使得”为假命题时， 时，不一定成立，不合题意； 时，不一定成立，不合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 时，必成立，反之时，推不出，符合题意； 命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是； 故选：CD. 15．（2026高一上·江苏·专题练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】依题意，⫋，则，此时， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 16．（25-26高一上·上海·期中）已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】将问题转化为两个集合之间的包含关系，然后再利用集合的包含关系列出不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】设集合，集合， 由题意可知集合是集合的真子集， 所以，解得，得， 当时，，不满足题意，故， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 17．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【分析】解方程，把集合具体化，然后利用集合间的关系可得答案. 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 18．（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据方程的根可得命题：，分析可知集合是集合的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】对于命题：“方程至少有一个解”， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 综上所述：. 若的一个必要不充分条件为“”， 可知集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数______． 【答案】5 【分析】根据充要条件列出等式求解即可. 【详解】因为，又，是的充要条件， 所以，解得实数． 故答案为：5 20．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】将必要不充分条件转化为集合的子集关系，再结合集合的子集关系，分类讨论，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，要使集合是集合的真子集，需使，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 21．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先根据必要不充分条件得到Ü，然后根据集合间的关系求解的取值范围 【详解】或，. 又是的必要不充分条件，. ①当时，则，得， ②当时，则或，解得， 综上，实数的取值范围是． 22．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用并集和补集运算即可； （2）利用充分条件转化为子集关系，再结合分类讨论即可求解. 【详解】（1）当时，代入集合得, 由，因此， 求补集得. （2）因为“”是“”的充分条件，所以，分两种情况讨论： 当为空集，空集是任意集合的子集，此时满足，解得，符合要求； 当不为空集，需同时满足，解不等式组可得， 综上可得，的取值范围是. 23．（25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，. (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）根据补集的定义和并集的定义进行求解即可； （2）根据充分不必要的定义进行求解即可. 【详解】（1），， 所以或，； （2）因为是的充分不必要条件，所以且， 所以，其中等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 24．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知全集，集合，. (1)若，求，； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)；； (2). 【分析】（1）当时，可得，然后求并集交集即可； （2）由充分不必要条件与集合的包含关系可得：若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集，然后考虑和两种情况分别求解即可． 【详解】（1）当时，， 因为，所以；； （2）若“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集， 当时，，此时，满足是的真子集， 当时，则，解得：，且和不能同时成立， 综上所述：实数a的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.3 充分条件、必要条件 知识点一 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 2．充分条件与必要条件的判断 3．充分条件、必要条件与集合的关系 A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q} A⊆B p是q的充分条件 q是p的必要条件 A ⊈ B p是q的不充分条件 q是p的不必要条件 B⊆A q是p的充分条件 p是q的必要条件 B⊈A q是p的不充分条件 p是q的不必要条件 知识点二　充要条件 1．一般地，如果p⇒q且q⇏ p，则称p是q的充分不必要条件． 2．一般地，如果p⇏ q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 3．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 考点一　判断命题的充分不必要条件 考点二　根据充分不必要条件求参数 考点三　判断命题的必要不充分条件 考点四　根据必要不充分条件求参数 考点五　根据充要条件求参数 考点六　充要条件的证明 考点一　判断命题的充分不必要条件 1．（25-26高二下·浙江·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·山东滨州·二模）已知实数a，b，则“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026高三·全国·专题练习）设，则“且”是“”的________条件． 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）命题是命题成立的（    ） 条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 6．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知集合则x∈B是x∈U的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二　根据充分不必要条件求参数 7．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 8．（26-27高一·全国·暑假作业）设全集，集合，，若是成立的充分条件，求实数的取值范围. 9．（26-27高一·全国·暑假作业）已知全集，集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 10．（25-26高一下·河北保定·期中）已知集合，集合或． (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 考点三　判断命题的必要不充分条件 11．（2026·广东茂名·二模）已知实数，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2026·重庆渝中·模拟预测）对于实数、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）若x是实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 14．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．命题“若，则”是真命题 B．命题“”是真命题 C．“”是“”的必要不充分条件 D．“且”是“”的充分不必要条件 考点四　根据必要不充分条件求参数 15．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 16．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合和集合，已知，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17．（2026高一上·福建厦门·专题练习）设全集，集合，，其中． (1)若，求 (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (3)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 18．（25-26高一上·江西上饶·阶段检测）已知集合，集合. (1)若，全集，求； (2)若，求实数m的取值范围； (3)设命题p：；命题q：，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 19．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知集合，集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 20．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知全集，：，：，其中. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 考点五　根据充要条件求参数 21．（26-27高一·全国·暑假作业）设集合，命题，命题，若是的充要条件，求正实数的值； 22．（25-26高一上·湖南岳阳·期中）已知集合，非空集合. (1)若是的必要条件，求实数m的取值范围; (2)是否存在实数m，使是的充要条件. 23．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）“方程至多有一个实数解”的充要条件是______________． 24．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 25．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 26．（25-26高一上·山东·期中）（多选）下列说法中错误的有（   ） A．命题：，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件 考点六　充要条件的证明 27．（25-26高一上·青海·阶段检测）（1）已知命题p：，，当命题p为假命题时，求实数k的取值范围； （2）已知命题p：或，命题q：或，若p是q的充分非必要条件，求实数a的取值范围． （3）已知，是实数，求证：成立的充要条件是． 28．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，是正实数，求证：成立的充要条件是. 29．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 30．（25-26高三·全国·三轮复习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·天津·期中）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）设是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 6．（25-26高一下·江西景德镇·阶段检测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一上·甘肃·期中）已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·四川眉山·期中）已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）方程与有一个公共实数根的充要条件是（    ）． A． B． C． D． 10．（25-26高一上·江苏盐城·阶段检测）（多选）下列说法正确的有（    ） A．已知集合，全集，若，则实数的集合为 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题，成立的充要条件是 D．“”是“”的充分必要条件 11．（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 12．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 B．“”是“”的既不充分又不必要条件 C．命题“，”的否定是“，” D．若“”的一个必要不充分条件是“”，则实数的取值范围是 13．（25-26高一上·全国·期末）（多选）已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（   ） A． B． C．0 D． 14．（25-26高一下·贵州·期中）（多选）命题“存在，使得”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 15．（2026高一上·江苏·专题练习）已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是______． 16．（25-26高一上·上海·期中）已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 17．（25-26高一上·江西抚州·期末）已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 18．（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，，若是的充要条件，则实数______． 20．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 21．（26-27高一·全国·暑假作业）已知集合或，，已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 22．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知全集，集合，集合，其中． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围． 23．（25-26高一上·湖南娄底·期末）设全集，集合，. (1)若，求集合； (2)命题，命题，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 24．（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知全集，集合，. (1)若，求，； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $