1.1.2 成比例线段 教案 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该教案聚焦线段的比、成比例线段及黄金分割核心知识点，以巴台农神庙矩形问题情境导入，通过回顾比例性质搭建学习支架，引导学生从实际情境抽象出线段比概念，衔接旧知与新知。 特色在于情境化与探究式教学结合，用古希腊建筑实例培养数学眼光，通过等腰直角三角形线段比计算、比例尺应用等例题训练数学思维，黄金分割实际问题（书本宽长比）提升数学语言表达能力，助力学生发展抽象能力与应用意识，为教师提供清晰教学流程与实用素材。

1.1.2　成比例线段 1.理解线段的比与成比例的线段的关系.（重点，难点） 2.了解并掌握黄金分割问题.（重点，难点） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 古希腊时期的巴台农神庙的正面轮廓为矩形（如图所示），以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现＝. 你能求出的值吗？ 二、合作探究 探究点一：线段的比与成比例线段 【类型一】线段的比 在等腰直角三角形中，直角边与斜边的比是　　　　　，斜边与直角边的比是　　　　，斜边上的高与斜边的比是　　　　Ｗ. 解析：作一等腰三角形如图所示，设边长为x，由勾股定理可得，斜边长为x，斜边上的高为x，即直角边与斜边的比为1∶，斜边与直角边的比是∶1，斜边上的高与斜边的比为1∶2.故填1∶，∶1，1∶2. 　　方法总结：在解答此题时要明确等腰直角三角形各边的比例关系，并且注意题目要求，避免错解. 【类型二】与比例尺相关的线段的比 在比例尺为1∶200的地图上，测得A、B两地之间的图上距离为4.5cm，则A、B两地间的实际距离是多少？ 解析：根据比例尺＝图上距离∶实际距离，列出比例式，求解即可. 解：设A、B两地间的实际距离为xcm，则1∶200＝4.5∶x，∴x＝900（cm）＝9（m），故A、B两地间的实际距离为9m. 　　方法总结：熟练利用成比例线段的概念是解决本题的关键，要注意长度单位的换算. 【类型三】成比例线段 下列线段的长度成比例的是（　　） A.2cm，3cm，4cm，5cm B.1.5cm，2.5cm，4cm，5cm C.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cm D.1cm，2cm，3cm，6cm 解析：A项中≠，B项中≠，C项中≠，D项中＝＝2，故选D. 　　方法总结：判断四条线段是不是成比例的步骤是：（1）化成相同的单位；（2）按照大小排列；（3）分组求比值；（4）看是否相等，相等即成比例，不等则不成比例. 探究点二：黄金分割 【类型一】黄金分割的基本概念 如果点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且＝，那么下列说法中错误的是（　　） A.线段AB被点C黄金分割 B.点C叫做线段AB的黄金分割点 C.AB与AC的比叫黄金分割比 D.AC与AB的比叫黄金分割比 解析：黄金分割比是分得的两条线段中的较长的一条与整条线段的比，即AC与AB的比，不是AB与AC的比，故选C. 　　方法总结：准确掌握黄金分割的概念是解决问题的关键. 【类型二】黄金分割的相关计算 如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB，当PA2＝PB·AB，即PA≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现在已知线段AB＝10，点P是线段AB的黄金分割点（PA>PB），那么线段PB的长约为（　　） A.6.18 B.0.382 C.0.618 D.3.82 解析：PA≈0.618AB＝0.618×10＝6.18，PB≈10－6.18＝3.82，故选D. 　　易错提醒：本题易错选A，产生错解的原因是误认为PB就是黄金分割所得较长线段，事实上，较长线段是PA，所以PA≈10×0.618＝6.18，PB≈10－6.18＝3.82. 【类型三】黄金分割的实际应用 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（　　） A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 解析：书的宽与长之比为黄金分割比，即约为0.618.∴书的宽度约为20×0.618＝12.36（cm）.故选A. 　　方法总结：解决此类问题要先将实际问题转化为数学模型，然后利用黄金分割的定义求解. 三、板书设计 教学过程中，注重引导学生就生活实例展开联想，直观感受数学的魅力所在.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识.并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力. 1.1.2 成比例线段 （一）教学知识点 1、了解相似形、线段的比概念； 2、会求两条线段的比, 应用线段的比解决实际问题。 （二）能力训练要求 通过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系。 （三）情感与价值观要求 1、 有关比例的计算，让学生懂得数学在现实生活中的作用，从而增强学生学好数学的信心； 2、 通过解答实际问题，激发学生学数学的兴趣，增长社会见识； 3、 在与他人的共同探索、讨论问题的过程中，增强合作交流的意识。 教学重点：理解线段比的概念及其求解。 教学难点：求线段的比，注意线段长度单位要统一。 教学方法：探索、发现法 教学准备：多媒体课件 本节课设计了六个教学环节：第一环节：设置情境，引入新课；第二环节：新课讲解；第三环节：随堂练习；第四环节：想一想；第五环节：回顾与思考；第六环节：布置作业。 第一环节 设置情境，引入新课 活动内容：通过用幻灯片展示生活的的图片，引入本章的学习内容—相似图形。 活动目的：引发学生思考相似图形的特征，激发学生的学习兴趣。 实际效果：学生们都很兴奋，对学习充满了好奇心。 第二环节：新课讲解 活动内容： 1. 请在下面图形中找出形状相同的图形？你发现这些形状相同的图形有什么不同？ 2. 引入线段的比:如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m，n,那么就说这两条线段的比（ratio）AB:CD=m:n,或写成其中,AB,CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么,或AB=k·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比。 五边形 ABCDE与五边形A’B’C’D’E’形状相同，AB=5cm，A’B’=3cm。AB: A’B’=5 : 3，就是线段AB与线段A‘B’的比。 这个比值刻画了这两个五边形的大小关系。 3.想一想：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？ 通过上面的活动学生应该对这个问题有了一定的认识:两条线段长度的比与所采用的长度单位无关.但要采用同一个长度单位. 4. 做一做： 如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，CD，EH，EF的长度分别是多少？分别计算 值。 你发现了什么？ 四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段. 上图中AB,EH,AD,EF是成比例线段，AB,AD,EH,EF也是成比例线段。 5. 议一议：如果a,b,c,d四个数成比例，即a/b=c/d，那么ad=bc吗？反过来如果ad=bc，那么a,b,c,d四个数成比例吗？ 比例的基本性质 如果 = ,那么ad=bc。 如果ad=bc(a,b,c,d都不等于零)，那么 = 。 6.例题1： 如图，一块矩形绸布的长AB=am,AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的长与宽的比与原绸布的长与宽的比相同，即 ,那么a的值应当是多少？ 活动目的：通过发现这些形状相同的图形的不同点，引出线段的比的概念，中学生实际操作后并进行了讨论得出：两条线段长度的比与所采用的长度单位没有关系。并引入成比例线段的概念。再通过教科书上的例题，让学生利用所学的知识来解决实际生活中的问题。 活动效果:学生在动手操作实践中掌握了知识，并有效地攻克了本节课的重点、难点。 第三环节：随堂练习 活动内容： 1、一条线段的长度是另一条线段长度的5倍，则这两条线段之比是______ 2、一条线段的长度是另一条线段长度的，则这两条线段之比是______ 3、已知a、b、c、d是成比线段,a=4cm,b=6cm,d=9cm,则c=____ 4、如果，那么=____ 5、把写成比例式，写错的是（ ） 6、已知a:b:c=2:3:4,且a+b+c=15，则a=___,b=___,c=___. 活动目的：让学生巩固课堂上所学的知识。 活动效果：学生基本都能运用所学的知识解决比例问题，收到了较好的教学效果。 第四环节：想一想 活动内容：生活中还有哪些利用线段比的事例?你能举例吗？ 房屋装修平面图，手机模型，汽车模型，深圳世界之窗，建筑物的效果图等等。 活动目的：进一步让学生体会线段的比在生活中的应用。 活动效果：活动中学生们很活跃，例举了很多例子，比如：地图、指示图、等等。 第五环节：回顾与思考 活动内容：这节课我们学习了哪些知识?你有什么收获?你有什么发现、探索? 活动目的：让学生回顾本节课的学习内容，学会归纳，善于总结，做一个有心人。 活动效果：虽然学生的程度不同，但不同程度的学生都能够有所收获。学生回答不完整的，再由老师补充小结： 1）、线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k； 2）、两条线段的比是有序的;与采用的单位无关，但要选用同一长度单位； 3）、两条线段的比在实际生活中的应用。 第六环节：布置作业 作业:略。 四、教学反思 1、教师可以根据学生的实际情况进行适当调整，设置出适合个人教学的情境。书上的情境设置应该是适用于广大地区的，老师也可以根据自己身边的熟悉的事物来设置情境，或是就用教科书上的情境。具有地方特色的教学资源，不仅丰富了学生对家乡风景的认识和了解，也上学生感受到数学知识在生活中的应用。 2、教学中穿插了让同桌之间用不同的单位测量课本的长与宽(精确到0.1cm),并求出这两条线段的长度之比。添加这个环节目的是对学生得出“两条线段长度的比与所采用的长度单位无关”的结论埋下伏笔。学生已经有了全等图形和比例的知识作为铺垫，生活中也存在大量相似图形的例子，所以学生学习起来不会很难，可以大胆的放手让学生自己去动手操作、动脑思考，老师可以在适当的时候给予帮助和补充。 3、教材上的例题可以交给学生自学，然后通过随堂联系加以巩固。如果不能达到预期效果，时间允许的话可以补充相关的练习。 学科网（北京）股份有限公司 $