2026天津市初中学业水平考试数学学科考前最后一卷

**基本信息** 立足天津中考趋势，以梦天实验舱、小篆文化等真实情境为载体，覆盖数与代数、图形与几何、统计与概率，注重抽象能力、几何直观与模型意识的考查，梯度分明，适配考前模拟。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|有理数运算、三视图、无理数估算、轴对称与中心对称|结合梦天实验舱（主视图）、小篆文字（对称图形）等情境，基础与能力题结合| |填空题|6题|整式运算、概率、一次函数象限、正方形中点连线|融入网格作图等创新题型，考查空间观念| |解答题|7题|不等式组、统计图表、圆的切线、二次函数综合|以脱贫攻坚房屋测量、喷泉水珠运动等实际问题为背景，突出推理能力与模型意识，如25题二次函数与几何综合，体现创新应用|

2026天津市初中学业水平考试数学学科考前最后一卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．的值为（    ）． A． B． C． D．19 2．梦天实验舱顺利完成转位，标志着中国空间站“T”字基本构型在轨组装完成．小明用5个相同的小正方体搭成中国空间站的形象，如图所示，这个图形的主视图为（    ） A． B． C． D． 3．估计的值在（   ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 4．小篆的诞生标志着汉字的统一，是我国汉字发展史上重要的里程碑，对汉字的规范和对隶、楷、行、草诸书的变革起了重要推动的作用．下列小篆文字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   5．1天24小时共有86400秒，用科学记数法可表示为（保留两个有效数字）（    ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 6．在中，若，则（   ） A． B． C． D． 7．关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．图象经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．两个分支关于原点成轴对称 8．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百三十里，驽马日行一百三十里．驽马先行一十一日，问良马几何追及之？意思是：跑得快的马每天走230里，跑得慢的马每天走130里．慢马先走11天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 9．一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则可列分式方程为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在等腰中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点D，作射线交于点E，F为边上一点，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B． C．2 D． 11．如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，与交于点，连接，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．如图，某喷泉从喷头喷出的水珠，在空中走过一段曲线，落入水面，在这段曲线的各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足．有下列结论：①水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为；②水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为；③水珠在空中两次到达到竖直高度．其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．计算的结果等于______. 14．计算的结果等于_________． 15．有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是__________． 16．一次函数的图像不经过第__________象限. 17．如图，在边长为3的正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点分别是的中点，连接，则的长度为___________． 18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点B，C均落在格线上，点A在格点上． （Ⅰ）当C为小正方形一边的中点时，线段的长为______； （Ⅱ）以为直径作半圆，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题 19．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得___________； (2)解不等式②，得___________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为___________． 20．为了解某校男生在体能测试的引体向上项目的情况，随机调查了a名男生引体向上项目的测试成绩（单位：次），根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：a的值为______，图①中m的值为______； (2)求统计的这组测试成绩数据的平均数、众数和中位数； (3)该校共1200名男生，请估计引体向上项目的测试成绩大于16次的学生人数． 21．已知，与相切于点A，B．连接并延长，交的延长线于点C．连接，交于点D． (1)如图①，若，求的大小； (2)如图②，连接，若，，求的长． 22．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高． 23．已知学生宿舍、文具店、自习室依次在同一条直线上，文具店离宿舍，自习室离宿舍，小明从宿舍出发，先匀速步行到文具店，在文具店购买文具停留了，之后匀速骑行到达自习室，在自习室停留后，匀速骑行了返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离，图象反映了这个过程中小明离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 小明离开宿舍的时间 5 10 40 75 小明离宿舍的距离 0.8 ②填空：小明从自习室到宿舍的骑行速度为______； ③当时，请直接写出小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当小明离开宿舍时，同宿舍的小杰从文具店出发匀速步行直接前往自习室，如果小杰比小明晚到达自习室，那么他在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 24．在平面直角坐标系中，为原点，三角形纸片，顶点，．在边上取一点，在边上取一点，连接，将沿翻折到同一平面内，得，点的对应点为点． (1)填空：的度数为 ，的度数为 ； (2)若，设，翻折后与三角形重叠部分的面积为． ①如图①，当时，点的坐标为 ，重合部分的面积为 ； ②如图②，当折叠后重合部分为四边形时，与交点为．试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ③填空：当 时，重合部分面积最大． (3)当，的面积等于面积时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 25．已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 试卷第2页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 《2026天津市初中学业水平考试数学学科考前最后一卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B B A B C D A B 题号 11 12 答案 B C 1．C 【分析】该题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则． 根据有理数的加减混合计算解答即可； 【详解】解：， 故选：C． 2．D 【分析】根据主视图的定义判断即可． 【详解】∵从正面观察时，同一列的小正方体只会看到1个正方形，左、中、右三列都各有正方形， ∴最终得到横向并排的3个正方形，对应选项D． 3．B 【分析】本题考查了无理数的估算，先由得出，再结合，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则 ∴， 故选：B 4．B 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．A 【分析】根据科学记数法把86400写成8.64×104，保留两个有效数字后为8.6×104． 【详解】解：86400≈8.6×104（秒）． 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法与有效数字：把一个数表示成a×10n（1≤a＜10）叫科学记数法；从一个数的左边第一个不为零的数字数起，到最后一个数字止，所有数字都是这个数的有效数字． 6．B 【分析】先根据已知三角函数值求出和的度数，再利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 7．C 【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】A．当x=1时，反比例函数=2≠1，故图像不经过点（1，1）故A选项错误； B．根据k=2＞0，可知它的图象在第一、三象限，故B选项错误； C．当x＜0时，y随x的增大而减小，故C选项正确； D．图象的两个分支关于y=﹣x对称，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数（k≠0）的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大． 8．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设快马天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可． 【详解】解：设快马天可以追上慢马， 据题题意：， 故选：D． 9．A 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据顺流速度等于船速加水速，逆流速度等于船速减水速，结合以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选A． 10．B 【分析】先根据作图痕迹得到平分，根据等腰三角形的三线合一性质得到，，再利用勾股定理求得，再根据直角三角形斜边中线性质求解即可． 【详解】解：根据作图痕迹得到平分， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查基本作图作角平分线、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质，熟练掌握相关知识的联系与运用，得到平分且垂直平分是解答的关键． 11．B 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质逐项判断即可，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】、由旋转性质可知：， ∴， 题中没有说明，故此项不一定成立，不符合题意； 、由旋转性质可知：， ∴， ∵， ∴，故此项一定成立，符合题意； 、由旋转性质可知：， ∴， ∴，即， 故此项不成立，不符合题意； 、由旋转性质可知：， ∴， ∵， ∴， 题中与不一定相等，不符合题意； 故选：． 12．C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把代入解析式求出的值可判定①；求出抛物线的顶点坐标可判定②；求出喷头的坐标可判定③，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得，， ∴水珠从喷头喷出到落入水面的水平位移为，故①正确； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水珠在其距离喷头的水平距离为时，达到最大高度，最大高度为，故②正确； 当时，， ∴喷头的坐标为， ∴水珠在空中只有一次到达到竖直高度，故③错误； 综上，正确结论的个数是个， 故选：． 13．x. 【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进而得出答案． 【详解】=x . 故答案为x. 【点睛】此题考查积的乘方，解题关键在于掌握运算法则. 14．-3 【分析】直接运用平方差公式进行计算即可得到答案． 【详解】解： = =13-16 =-3 故答案为：-3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，灵活运用平方差公式是解答此题的关键． 15． 【详解】分析：共有八只型号相同的杯子，每只杯子被抽到的机会是相同的，故可用概率公式解答． 解答：解：在8只型号相同的杯子中， 一等品有5只， 则从中随机抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是P=． 故答案为． 16．二 【分析】根据k、b的正负即可确定一次函数经过或不经过的象限． 【详解】解： 一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限. 故答案为：二 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数的系数是判断其图像经过象限的关键，，图像经过第一、二、三象限；，图像经过第一、三、四象限；，图像经过第一、二、四象限；，图像经过第二、三、四象限． 17．/ 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， ∵点H是的中点， ∴， ， ， ， ， ∴在中，， 点，分别是，的中点， ． 18． 如图：点即为所作： 【分析】（1）由勾股定理即可求解； （2）取格点，连接交于点，连接交于点，连接，与交点即为圆心，因为由正方形的轴对称性可知为中点，故，则，取与格线交点为点，则为中点，因为，连接并延长交于点，连接交于点，则，那么，则，由于为中位线，则，则，即平分，连接并延长与延长线交于点，则，那么，连接并延长与交点即为点，由于点为等腰三角形中线上一点，由轴对称性可得． 【详解】解：（1）如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，正方形的性质等知识点，难度大． 19．(1) (2) (3) 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4) 【分析】本题考查解不等式组并在数轴上表示解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若解集是“或”，则在数轴上用空心点表示． （1）根据不等式的性质即可求解； （2）根据不等式的性质即可求解； （3）根据不等式在数轴上的表示方法即可求解； （4）根据数轴上的公共解集即可求解． 【详解】（1）解：解不等式①，得； 故答案为： （2）解：解不等式②，得； 故答案为： （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）解：原不等式组的解集为． 故答案为： 20．(1)40，25 (2)平均数15.8，众数15，中位数16 (3)360人 【分析】（1）用条形统计图中14次的人数除以扇形统计图中14次的百分比可得a的值；用条形统计图中16次的人数除以a的值再乘以可得，即可得m的值； （2）根据平均数、中位数、众数的定义可得答案； （3）用总人数乘以测试成绩大于16次的学生人数所占百分比即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ． 故答案为：40；25． （2）解：平均数， 数据15出现的次数最多， ∴众数是15． 将数据从小到大排序，位于中间的两个数是16和16， ∴中位数． （3）解：测试成绩大于16次的百分比是和， ∴全校测试成绩大于16次的人数大约是（人） 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握平均数、中位数、众数的定义是解答本题的关键． 21．(1) (2) 【分析】（1）先根据切线的性质得，再结合外角性质，列式计算，即可作答． （2）连接，先利用，说明是等边三角形，运用正切的性质列式计算吗，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵，与相切于点A，B． ∴，， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵是的切线， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质，等边对等角，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．(1)屋顶到横梁的距离为 (2)房屋的高为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）根据题意得出，，解即可得出答案； （2）过点作于点，设，得出，，得出，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形， ，， ， 答：屋顶到横梁的距离为． （2）解：过点作于点， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，， 解得：， ， 答：房屋的高为． 23．(1)①0.4；2；1．②0.2．③． (2) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握并灵活运用速度、时间、路程三者之间的关系和用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）①根据图象以及路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； ②根据路程、速度、时间三者之间的数量关系作答即可； ③利用待定系数法求解即可，然后写成分段函数的形式； （2）根据题意，利用待定系数法求出小杰离宿舍的距离y与时间x之间的关系式，根据二人离宿舍的距离相等列方程，求解再进行计算即可． 【详解】（1）解：①小明从宿舍到文具店过程中的速度为：， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：, 由图可知，当小明离开时，他离宿舍的距离为, 小明从自习室返回宿舍过程中的速度为：， 当小明离开宿舍时，离宿舍的距离为：． ②由①可知小明从自习室到宿舍的骑行速度为． ③当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，由图像可知，小明离宿舍的距离始终为0.8， ∴， 当时，设小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将和代入，得， 解得， ∴ 综上所述，小明离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：． 故答案为：①0.4；2；1．②0.2．③． （2）设小杰离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为：， 将和代入，得， 解得， ∴， ∵小杰在前往自习室的途中遇到了小明， ∴， 解得， 此时离宿舍的距离为：， 答：小杰在前往自习室的途中遇到小明时离宿舍的距离是． 24．(1)， (2)①，；②，；③ (3) 【分析】（1）由，得轴，再解即可求解； （2）①解求解点D坐标，重叠部分为的面积，根据面积公式求解；②可得，在中，，由折叠的性质证明是等边三角形，则，解直角三角形得，则，故，再由则，且，即可求解取值范围；③由，得，而，代入梯形面积即可求解，得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质求解最值； （3）过点C作于点T，过点D作于点M，解直角三角形求出，而，故，导角证明，则，那么，故当的面积等于面积时，，可得为中点，即可求解． 【详解】（1）解：∵三角形纸片，顶点，， ∴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵，， ∴， ∴翻折后点O的对应点E在x轴上， 当时， ∴， ∴， 由折叠知，而， ∴点E在点A左侧， ∴重叠的面积为， 故答案为：，； ②由（1）得， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 要使得重叠部分为四边形，则， ∴， ∴， 且，则， ∴ ③∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴当时，取得最大值， 故答案为：； （3）解：过点C作于点T，过点D作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴当的面积等于面积时，， ∴，而， ∴为中点， ∴． 【点睛】本题考查了折叠问题，涉及解直角三角形，等边三角形的判定与性质，二次函数最值问题，线段垂直平分线的性质等知识点，综合性较强，熟练运用解直角三角形进行边角转化是解题的关键． 25．(1)①，；②或 (2) 【分析】（）①把，代入函数解析式得，即得点坐标，再把代入函数解析式求出可得点的坐标；②过点作轴，垂足为，交于点，可得，即得，得到，即得，进而得，又由是等腰直角三角形得，即可得，解方程即可求解； （）由点的坐标为得，即得，又由得，即得，过点作，垂足为， 则，由可得，过点作，使，连接，可证，可得，即得，可知当点共线时，有最小值，最小值为，即，即得到，进而由得，即，解方程求出即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴抛物线解析式为， ∴, 当时，， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴； ②过点作轴，垂足为，交于点， 由①知， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵点横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， 解得或， ∴或； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 过点作，垂足为， 则， ∴， 解得，， ∴， 过点作，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，最小值为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 答案第2页，共20页 答案第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $