27.3.1反比例函数的应用（课件）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数应用，梳理核心判定（单量×数量=总量）、四大模型及解题步骤，通过港口卸货、杠杆原理等探究活动导入，衔接函数概念，搭建从实际问题抽象数学模型的学习支架。 其亮点在于以实际问题为载体，通过工程、物理等跨学科案例培养学生用数学眼光观察现实世界，结合解题步骤训练推理能力，用函数模型表达数量关系。高频易错总结帮助学生规避错误，教师可借助经典题型提升教学效率，助力学生建立模型意识与应用能力。

新人教版9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月15日 27.3.1反比例函数的应用 第27章 反比例函数 27.3.1 反比例函数的应用（含解析） 一、核心知识点梳理 本节核心为反比例函数实际应用题，是中考解答题常考题型。区别于二次函数最值问题，反比例函数实际问题核心特征：两个变量乘积为固定总量，函数图象仅取第一象限部分。 1. 反比例函数实际问题核心判定 满足：单量 × 数量 = 总量（定值），则两个变量成反比例函数关系。 常见定值总量：总路程、总工程量、总电压、总质量、总面积、总费用等。 函数通用解析式：$$y=\dfrac{k}{x}(k>0，x>0，y>0)$$，图象为第一象限内的双曲线分支。 2. 四大必考应用模型 模型1：工程问题 工作总量一定，工作效率$$\times$$工作时间 = 工作总量（定值），效率与时间成反比。 模型2：行程问题 路程一定，速度$$\times$$时间 = 路程（定值），速度与时间成反比。 模型3：几何面积问题 图形面积一定，底与高、长与宽成反比例关系。 模型4：物理与经济问题 压力一定，压强与受力面积成反比；总价一定，单价与数量成反比。 3. 实际问题解题标准步骤 ① 审题找定值：确定题目中固定不变的总量； ② 设变量列解析式：设自变量、函数，根据“乘积=定值”列反比例函数； ③ 确定取值范围：实际变量均为正数，部分变量为正整数； ④ 代入求解：已知一个变量求另一个变量； ⑤ 作答：结合实际意义写出答案。 4. 核心性质应用 实际应用中$$k>0$$，在自变量取值范围内，$$x$$越大，$$y$$越小；$$x$$越小，$$y$$越大。 二、基础+经典必考题型 （一）选择题 1. 下列实际问题中，变量关系为反比例函数的是（） A. 正方形周长与边长 B. 路程一定，速度与时间 C. 单价一定，总价与数量 D. 圆的面积与半径 2. 某项工程总量固定，由甲队完成，工作时间$$y$$（天）与工作效率$$x$$（工程量/天）的函数关系是（） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数 3. 矩形面积为24，长为$$x$$，宽为$$y$$，则$$y$$关于$$x$$的解析式为（） A. $$y=24x$$ B. $$y=\dfrac{24}{x}$$ C. $$y=12x$$ D. $$y=\dfrac{12}{x}$$ （二）填空题 4. 从甲地到乙地路程为120km，行驶速度为$$x\ \text{km/h}$$，行驶时间为$$y\ \text{h}$$，则$$y$$与$$x$$的函数解析式为________。 5. 一批货物总重80吨，运输车辆每次运$$x$$吨，运输次数为$$y$$，$$y$$随$$x$$的增大而________。 6. 已知一定质量的气体，压强$$p$$与体积$$V$$成反比例，当$$V=10\ \text{m}^3$$时，$$p=5\ \text{Pa}$$，则解析式为________。 （三）解答题 7. 某工地需要搬运300吨砂石，设每天搬运$$x$$吨，所需天数为$$y$$天。 （1）求$$y$$与$$x$$的函数解析式；（2）若每天搬运15吨，需要多少天搬完？ 8. 某商店用600元购进一批笔记本，笔记本的单价为$$x$$元，购进数量为$$y$$本。 （1）写出$$y$$关于$$x$$的函数解析式；（2）若单价降至5元，可多购进多少本？ 三、参考答案与详细解析 1. 答案：B 解析：路程=速度×时间，路程定值，速度与时间成反比例关系；A、C为正比例函数，D为二次函数。 2. 答案：B 解析：工作总量=效率×时间，总量固定，效率与时间成反比例函数关系。 3. 答案：B 解析：矩形面积$$xy=24$$，变形得$$y=\dfrac{24}{x}$$。 4. $$y=\dfrac{120}{x}(x>0)$$答案： 解析：$$xy=120$$，实际速度为正数，故$$x>0$$。 5. 答案：减小 解析：$$y=\dfrac{80}{x}$$，$$k=80>0$$，$$x$$增大，$$y$$减小。 6. $$p=\dfrac{50}{V}(V>0)$$答案： 解析：设$$p=\dfrac{k}{V}$$，代入$$V=10，p=5$$，得$$k=50$$。 7. 解析： （1）由题意得：总砂石量=每天搬运量×天数，即$$xy=300$$， ∴ 函数解析式为：$$y=\dfrac{300}{x}(x>0)$$； （2）当$$x=15$$时，$$y=\dfrac{300}{15}=20$$。 答：需要20天搬完。 8. 解析： （1）总费用=单价×数量，即$$xy=600$$， 解析式：$$y=\dfrac{600}{x}(x>0)$$； （2）原单价无指定，默认常规对比：先算原价常规值，题目求降价增量， 当$$x=5$$时，$$y=\dfrac{600}{5}=120$$本； 补充：若原价为10元，可购60本，多购60本；本题通用标准解法：直接代入计算对应数量即可。 答：单价为5元时可购进120本。 四、高频易错总结 1. 遗漏自变量取值范围：实际问题中变量均为正数，必须标注$$x>0$$，大题会扣分； 2. 正反比例混淆：分不清“乘积定值（反比）”和“比值定值（正比）”； 3. 图象认知错误：实际反比例函数图象只有第一象限分支，不是完整双曲线； 4. 计算失误：列写解析式时写错定值，导致后续求解全部错误； 5. 脱离实际作答：忽略变量为正整数的隐含条件，出现小数、负数答案。 灵活运用反比例函数的意义和性质解决实际问题. 能从实际问题中寻找变量之间的关系，建立数学模型，解决实际问题. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围. 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度v(单位:t/h)与卸载完所有货物的总时间t(单位:h)之间有怎样的函数关系? 解：轮船上的货物总量为 700×9=6300(t)， 所以 v 关于 t 的函数解析式为. 探究新知 分析：根据“平均装货速度×装货总时间=货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物总量÷卸货总时间”，得到v 关于t 的函数解析式. 知识点1 反比例函数在实际生活中的应用 (2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物? 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载1050t.对于函数，当t>0时，t越小，v越大.因此，若货物不超过6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物. 解：把t=6代入，得 探究新知 【讨论】题目中蕴含的等量关系是什么？我们知道“至少”对应于不等号“≥”，那么需要用不等式来解决第（2）问吗？ 方法点拨：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量＝工作速度×工作时间，题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系．第（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值． 探究新知 阻力 动力 阻力臂 动力臂 古希腊科学家阿基米德(公元前287-前212)发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”.杠杆原理为: 阻力×阻力臂 = 动力×动力臂 探究新知 支点 知识点2 反比例函数在物理学中的应用 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N 和0.5m. （1） 动力 F （单位：N）与动力臂l （单位：m）有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力? 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， 所以 F 关于l 的函数解析式为 对于函数 ，当 l =1.5 m时，F =400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要400N的力. 探究新知 当 l=1.5m 时， (N). （2） 若想使动力 F 不超过题 （1） 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 分析：对于函数，当l>0时，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F =200 N 时对应的l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于3m，则动力臂至少要加长3-1.5=1.5(m). 探究新知 解：将 代入，得, 【讨论】1.什么是“杠杆定律”？已知阻力与阻力臂不变，设动力为F，动力臂为L，当F变大时，L怎么变？当F变小时，L又怎么变？ 2.在第（2）问中，根据第（1）问的答案，可得F≤200，要求出动力臂至少要加长多少，就是要求L的什么值？由此判断我们在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力？ 探究新知 知识点1 利用反比例函数解实际问题 1. 甲、乙两地相距 ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则 汽车行驶时间单位：关于行驶速度单位： 的函 数解析式是( ) B A. B. C. D. 中考考法 10 2. 随着科技的迅猛发展，智能机器人已 融入人们的日常生活中.如图，是某酒店的智能送餐 机器人，其最快移动速度 是载重后总质量 的反比例函数.已知此款智能送餐机器人载重 1 前的质量时，它的最快移动速度 ，当 其载重后总质量时，它的最快移动速度是___ . 中考考法 11 知识点2 利用反比例函数解跨学科问题 3. [2026深圳期末] 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达 到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力 的 反比例函数．已知当张力时，频率 即达到标准音高．若要使频率升高到 即达到标准 音高 ，应该如何调整张力？( ) D A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 中考考法 12 （第4题） 4. 社团活动中，同学用自制密 度计测量液体的密度，如图，密度计悬浮在 密度为 单位： 的液体中，浸在液 体中的高度单位：与液体的密度 的 关系式为 ，橘子汁的密度是水的密度 1 的 倍，密度计悬浮在水中的高度比悬浮在橘子汁中多 ．则水的密度为___． 中考考法 13 （第4题） 【点拨】 设密度计悬浮在水中的高度为 ，则悬浮 在橘子汁中的高度为 . 橘子汁的密度是水的密度的 倍， ， 解得，经检验， 是原分式方程 的解, 水的密度为 . 中考考法 14 知识点3 利用反比例函数的图象解决问题 （第5题） 5. 小颖和小亮玩掷 骰子游戏，每人分别先后掷两次 得到，，并约定点 落在如 图所示的反比例函数 图象内为小亮胜， 落在图象外则小颖胜，落在图象 A A. 小颖 B. 小亮 C. 都一样 D. 无法确定 上为平局，你认为谁获胜的希望较大？( ) 中考考法 15 【点拨】列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 中考考法 16 所有等可能的结果有36种，落在函数 图象内的 有13种，落在图象外的有19种， 小颖获胜的希望较大，故选A. （第5题） 中考考法 （第6题） 6.某气球内充满了一定质量的气 体，当温度不变时，气球内气体 的气压是气体体积 的反比例函数，其函数图象如图 所示.当气体体积为 时，气压 是____ . 48 中考考法 18 （第7题） 7. 如图，某校计划利用已有的一堵长为 的墙，用篱笆围一个面积为 的 矩形园子.设， ，则下 列说法正确的是( ) C A. 关于的函数解析式为 B. 自变量的取值范围为，且随 的增大而减小 C. 当时，的取值范围为 D. 当时， 中考考法 19 8. 如图①，区间测速是指检测 机动车在两个相邻测速监控点之间 的路段（测速区间）上平均速度的 方法.小聪发现安全驾驶且不 B A. B. C. D. 超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间 段的平均 行驶速度与行驶时间 是反比例函数关系（如图②）， 已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过 ，最低车速不得低于 ，小聪的爸爸按照此规 定通过该限速区间 段的时间可能是 ( ) 中考考法 20 9. 人工智能逐渐融入我们的生活.如图所示，某餐厅购进 一个送餐机器人，这个机器人与地面的接触面积是可以调整 的.下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间 的关系： 地面所受压强 接触面积 中考考法 21 （1）地面所受压强与接触面积 满足 怎样的函数关系？并写出压强 关 于接触面积 的函数解析式. 【解】由表格可知压强与接触面积 的 乘积为定值480，则压强与接触面积 满足反比例函数关系. 压强关于接触面积的函数解析式为 . 中考考法 （2）若送餐机器人要经过一段玻璃通 道，且这段玻璃通道能承受的最大压强 为 ，问这个机器人与地面的 接触面积至少为多少平方米? 当时， . 答：这个机器人与地面的接触面积至少为 . 中考考法 23 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值 课堂小结 实际问题中的反比例函数 $